Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1tonninf Unicode version

Theorem 1tonninf 10321
 Description: The mapping of one into ℕ∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g frec
fxnn0nninf.f
fxnn0nninf.i
Assertion
Ref Expression
1tonninf
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem 1tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5
21fveq1i 5466 . . . 4
3 1nn0 9089 . . . . . 6
4 nn0xnn0 9140 . . . . . 6 NN0*
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 NN0*
6 nn0nepnf 9144 . . . . . . 7
73, 6ax-mp 5 . . . . . 6
87necomi 2412 . . . . 5
9 fvunsng 5658 . . . . 5 NN0*
105, 8, 9mp2an 423 . . . 4
11 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 frec
1211frechashgf1o 10309 . . . . . . 7
13 f1ocnv 5424 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 f1of 5411 . . . . . 6
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5
17 fvco3 5536 . . . . 5
1816, 3, 17mp2an 423 . . . 4
192, 10, 183eqtri 2182 . . 3
20 df-1o 6357 . . . . . . 7
2120fveq2i 5468 . . . . . 6
22 0zd 9162 . . . . . . . . 9
23 peano1 4551 . . . . . . . . . 10
2423a1i 9 . . . . . . . . 9
2522, 11, 24frec2uzsucd 10282 . . . . . . . 8
2625mptru 1344 . . . . . . 7
2722, 11frec2uz0d 10280 . . . . . . . . 9
2827mptru 1344 . . . . . . . 8
2928oveq1i 5828 . . . . . . 7
3026, 29eqtri 2178 . . . . . 6
31 0p1e1 8930 . . . . . 6
3221, 30, 313eqtri 2182 . . . . 5
33 1onn 6460 . . . . . 6
34 f1ocnvfv 5724 . . . . . 6
3512, 33, 34mp2an 423 . . . . 5
3632, 35ax-mp 5 . . . 4
3736fveq2i 5468 . . 3
38 eleq2 2221 . . . . . . 7
3938ifbid 3526 . . . . . 6
4039mpteq2dv 4055 . . . . 5
41 fxnn0nninf.f . . . . 5
42 omex 4550 . . . . . 6
4342mptex 5690 . . . . 5
4440, 41, 43fvmpt3i 5545 . . . 4
4533, 44ax-mp 5 . . 3
4619, 37, 453eqtri 2182 . 2
47 el1o 6378 . . . 4
48 ifbi 3525 . . . 4
4947, 48ax-mp 5 . . 3
5049mpteq2i 4051 . 2
51 eqeq1 2164 . . . 4
5251ifbid 3526 . . 3
5352cbvmptv 4060 . 2
5446, 50, 533eqtri 2182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 104   wceq 1335   wtru 1336   wcel 2128   wne 2327   cun 3100  c0 3394  cif 3505  csn 3560  cop 3563   cmpt 4025   csuc 4324  com 4547   cxp 4581  ccnv 4582   ccom 4587  wf 5163  wf1o 5166  cfv 5167  (class class class)co 5818  freccfrec 6331  c1o 6350  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cpnf 7892  cn0 9073  NN0*cxnn0 9136  cz 9150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-recs 6246  df-frec 6332  df-1o 6357  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-xnn0 9137  df-z 9151  df-uz 9423 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator