ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1tonninf Unicode version

Theorem 1tonninf 10396
Description: The mapping of one into ℕ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
1tonninf  |-  ( I `
 1 )  =  ( x  e.  om  |->  if ( x  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
Distinct variable groups:    i, n    x, i
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem 1tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
21fveq1i 5497 . . . 4  |-  ( I `
 1 )  =  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo , 
( om  X.  { 1o } ) >. } ) `
 1 )
3 1nn0 9151 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
4 nn0xnn0 9202 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN0  ->  1  e. NN0*
)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  1  e. NN0*
6 nn0nepnf 9206 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  1  =/= +oo )
73, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  =/= +oo
87necomi 2425 . . . . 5  |- +oo  =/=  1
9 fvunsng 5690 . . . . 5  |-  ( ( 1  e. NN0*  /\ +oo  =/=  1 )  ->  (
( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` 
1 )  =  ( ( F  o.  `' G ) `  1
) )
105, 8, 9mp2an 424 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } ) ` 
1 )  =  ( ( F  o.  `' G ) `  1
)
11 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
1211frechashgf1o 10384 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> NN0
13 f1ocnv 5455 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' G : NN0
-1-1-onto-> om )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6  |-  `' G : NN0
-1-1-onto-> om
15 f1of 5442 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN0 --> om )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  `' G : NN0 --> om
17 fvco3 5567 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN0 --> om  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( ( F  o.  `' G ) `  1
)  =  ( F `
 ( `' G `  1 ) ) )
1816, 3, 17mp2an 424 . . . 4  |-  ( ( F  o.  `' G
) `  1 )  =  ( F `  ( `' G `  1 ) )
192, 10, 183eqtri 2195 . . 3  |-  ( I `
 1 )  =  ( F `  ( `' G `  1 ) )
20 df-1o 6395 . . . . . . 7  |-  1o  =  suc  (/)
2120fveq2i 5499 . . . . . 6  |-  ( G `
 1o )  =  ( G `  suc  (/) )
22 0zd 9224 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  0  e.  ZZ )
23 peano1 4578 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
2423a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  (/)  e.  om )
2522, 11, 24frec2uzsucd 10357 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( G `  suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 ) )
2625mptru 1357 . . . . . . 7  |-  ( G `
 suc  (/) )  =  ( ( G `  (/) )  +  1 )
2722, 11frec2uz0d 10355 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( G `  (/) )  =  0 )
2827mptru 1357 . . . . . . . 8  |-  ( G `
 (/) )  =  0
2928oveq1i 5863 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  (/) )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
3026, 29eqtri 2191 . . . . . 6  |-  ( G `
 suc  (/) )  =  ( 0  +  1 )
31 0p1e1 8992 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3221, 30, 313eqtri 2195 . . . . 5  |-  ( G `
 1o )  =  1
33 1onn 6499 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
34 f1ocnvfv 5758 . . . . . 6  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN0  /\  1o  e.  om )  ->  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o ) )
3512, 33, 34mp2an 424 . . . . 5  |-  ( ( G `  1o )  =  1  ->  ( `' G `  1 )  =  1o )
3632, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' G `  1 )  =  1o
3736fveq2i 5499 . . 3  |-  ( F `
 ( `' G `  1 ) )  =  ( F `  1o )
38 eleq2 2234 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1o  ->  (
i  e.  n  <->  i  e.  1o ) )
3938ifbid 3547 . . . . . 6  |-  ( n  =  1o  ->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) )
4039mpteq2dv 4080 . . . . 5  |-  ( n  =  1o  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
41 fxnn0nninf.f . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
42 omex 4577 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
4342mptex 5722 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) )  e.  _V
4440, 41, 43fvmpt3i 5576 . . . 4  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( F `  1o )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
4533, 44ax-mp 5 . . 3  |-  ( F `
 1o )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) )
4619, 37, 453eqtri 2195 . 2  |-  ( I `
 1 )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) )
47 el1o 6416 . . . 4  |-  ( i  e.  1o  <->  i  =  (/) )
48 ifbi 3546 . . . 4  |-  ( ( i  e.  1o  <->  i  =  (/) )  ->  if (
i  e.  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . 3  |-  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  =  (/) ,  1o ,  (/) )
5049mpteq2i 4076 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
51 eqeq1 2177 . . . 4  |-  ( i  =  x  ->  (
i  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
5251ifbid 3547 . . 3  |-  ( i  =  x  ->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  (/) )  =  if ( x  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
5352cbvmptv 4085 . 2  |-  ( i  e.  om  |->  if ( i  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )  =  ( x  e.  om  |->  if ( x  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
5446, 50, 533eqtri 2195 1  |-  ( I `
 1 )  =  ( x  e.  om  |->  if ( x  =  (/) ,  1o ,  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348   T. wtru 1349    e. wcel 2141    =/= wne 2340    u. cun 3119   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586    |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574    X. cxp 4609   `'ccnv 4610    o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  freccfrec 6369   1oc1o 6388   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777   +oocpnf 7951   NN0cn0 9135  NN0*cxnn0 9198   ZZcz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-xnn0 9199  df-z 9213  df-uz 9488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator