Theorem 1tonninf 10878

Description: The mapping of one into ℕ_∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
1tonninf	|- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   i, n   x, i

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 1tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5696	. . . 4 |- ( I ` 1 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 )
3		1nn0 9579	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
4		nn0xnn0 9634	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN0 -> 1 e. NN0* )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 e. NN0*
6		nn0nepnf 9638	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN0 -> 1 =/= +oo )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 =/= +oo
8	7	necomi 2505	. . . . 5 |- +oo =/= 1
9		fvunsng 5909	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0* /\ +oo =/= 1 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 ) )
10	5, 8, 9	mp2an 430	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 )
11		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
12	11	frechashgf1o 10865	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
13		f1ocnv 5652	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
15		f1of 5639	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
17		fvco3 5776	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) ) )
18	16, 3, 17	mp2an 430	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
19	2, 10, 18	3eqtri 2263	. . 3 |- ( I ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
20		df-1o 6687	. . . . . . 7 |- 1o = suc (/)
21	20	fveq2i 5698	. . . . . 6 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
22		0zd 9656	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
23		peano1 4741	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (/) e. om )
25	22, 11, 24	frec2uzsucd 10838	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
26	25	mptru 1411	. . . . . . 7 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
27	22, 11	frec2uz0d 10836	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
28	27	mptru 1411	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
29	28	oveq1i 6095	. . . . . . 7 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
30	26, 29	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( G ` suc (/) ) = ( 0 + 1 )
31		0p1e1 9418	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
32	21, 30, 31	3eqtri 2263	. . . . 5 |- ( G ` 1o ) = 1
33		1onn 6793	. . . . . 6 |- 1o e. om
34		f1ocnvfv 5985	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
35	12, 33, 34	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
37	36	fveq2i 5698	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 1 ) ) = ( F ` 1o )
38		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( n = 1o -> ( i e. n <-> i e. 1o ) )
39	38	ifbid 3662	. . . . . 6 |- ( n = 1o -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
40	39	mpteq2dv 4222	. . . . 5 |- ( n = 1o -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
41		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
42		omex 4740	. . . . . 6 |- om e. _V
43	42	mptex 5943	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
44	40, 41, 43	fvmpt3i 5785	. . . 4 |- ( 1o e. om -> ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
45	33, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
46	19, 37, 45	3eqtri 2263	. 2 |- ( I ` 1 ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
47		el1o 6710	. . . 4 |- ( i e. 1o <-> i = (/) )
48		ifbi 3661	. . . 4 |- ( ( i e. 1o <-> i = (/) ) -> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) )
50	49	mpteq2i 4218	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
51		eqeq1 2245	. . . 4 |- ( i = x -> ( i = (/) <-> x = (/) ) )
52	51	ifbid 3662	. . 3 |- ( i = x -> if ( i = (/) , 1o , (/) ) = if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 4227	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
54	46, 50, 53	3eqtri 2263	1 |- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   u. cun 3218   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   |-> cmpt 4192   suc csuc 4510   omcom 4737   X. cxp 4772   `'ccnv 4773   o. ccom 4778   -->wf 5373   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661   1oc1o 6680   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   +oocpnf 8357   NN0cn0 9563  NN0*cxnn0 9630   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-xnn0 9631  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by: (None)