Theorem 1tonninf 10675

Description: The mapping of one into ℕ_∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
1tonninf	|- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   i, n   x, i

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 1tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5630	. . . 4 |- ( I ` 1 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 )
3		1nn0 9396	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
4		nn0xnn0 9447	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN0 -> 1 e. NN0* )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 e. NN0*
6		nn0nepnf 9451	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN0 -> 1 =/= +oo )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 =/= +oo
8	7	necomi 2485	. . . . 5 |- +oo =/= 1
9		fvunsng 5837	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0* /\ +oo =/= 1 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 ) )
10	5, 8, 9	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 )
11		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
12	11	frechashgf1o 10662	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
13		f1ocnv 5587	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
15		f1of 5574	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
17		fvco3 5707	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
19	2, 10, 18	3eqtri 2254	. . 3 |- ( I ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
20		df-1o 6568	. . . . . . 7 |- 1o = suc (/)
21	20	fveq2i 5632	. . . . . 6 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
22		0zd 9469	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
23		peano1 4686	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (/) e. om )
25	22, 11, 24	frec2uzsucd 10635	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
26	25	mptru 1404	. . . . . . 7 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
27	22, 11	frec2uz0d 10633	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
28	27	mptru 1404	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
29	28	oveq1i 6017	. . . . . . 7 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
30	26, 29	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( G ` suc (/) ) = ( 0 + 1 )
31		0p1e1 9235	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
32	21, 30, 31	3eqtri 2254	. . . . 5 |- ( G ` 1o ) = 1
33		1onn 6674	. . . . . 6 |- 1o e. om
34		f1ocnvfv 5909	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
35	12, 33, 34	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
37	36	fveq2i 5632	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 1 ) ) = ( F ` 1o )
38		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( n = 1o -> ( i e. n <-> i e. 1o ) )
39	38	ifbid 3624	. . . . . 6 |- ( n = 1o -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
40	39	mpteq2dv 4175	. . . . 5 |- ( n = 1o -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
41		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
42		omex 4685	. . . . . 6 |- om e. _V
43	42	mptex 5869	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
44	40, 41, 43	fvmpt3i 5716	. . . 4 |- ( 1o e. om -> ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
45	33, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
46	19, 37, 45	3eqtri 2254	. 2 |- ( I ` 1 ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
47		el1o 6591	. . . 4 |- ( i e. 1o <-> i = (/) )
48		ifbi 3623	. . . 4 |- ( ( i e. 1o <-> i = (/) ) -> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) )
50	49	mpteq2i 4171	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
51		eqeq1 2236	. . . 4 |- ( i = x -> ( i = (/) <-> x = (/) ) )
52	51	ifbid 3624	. . 3 |- ( i = x -> if ( i = (/) , 1o , (/) ) = if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 4180	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
54	46, 50, 53	3eqtri 2254	1 |- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   =/= wne 2400   u. cun 3195   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   <.cop 3669   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   o. ccom 4723   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542   1oc1o 6561   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   +oocpnf 8189   NN0cn0 9380  NN0*cxnn0 9443   ZZcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-xnn0 9444  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by: (None)