Theorem 1tonninf 10691

Description: The mapping of one into ℕ_∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
1tonninf	|- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   i, n   x, i

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 1tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5634	. . . 4 |- ( I ` 1 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 )
3		1nn0 9406	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
4		nn0xnn0 9457	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN0 -> 1 e. NN0* )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- 1 e. NN0*
6		nn0nepnf 9461	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN0 -> 1 =/= +oo )
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 =/= +oo
8	7	necomi 2485	. . . . 5 |- +oo =/= 1
9		fvunsng 5841	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0* /\ +oo =/= 1 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 ) )
10	5, 8, 9	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 )
11		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
12	11	frechashgf1o 10678	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
13		f1ocnv 5591	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
15		f1of 5578	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
17		fvco3 5711	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
19	2, 10, 18	3eqtri 2254	. . 3 |- ( I ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
20		df-1o 6575	. . . . . . 7 |- 1o = suc (/)
21	20	fveq2i 5636	. . . . . 6 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
22		0zd 9479	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
23		peano1 4688	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (/) e. om )
25	22, 11, 24	frec2uzsucd 10651	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
26	25	mptru 1404	. . . . . . 7 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
27	22, 11	frec2uz0d 10649	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
28	27	mptru 1404	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
29	28	oveq1i 6021	. . . . . . 7 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
30	26, 29	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( G ` suc (/) ) = ( 0 + 1 )
31		0p1e1 9245	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
32	21, 30, 31	3eqtri 2254	. . . . 5 |- ( G ` 1o ) = 1
33		1onn 6681	. . . . . 6 |- 1o e. om
34		f1ocnvfv 5913	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
35	12, 33, 34	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
37	36	fveq2i 5636	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 1 ) ) = ( F ` 1o )
38		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( n = 1o -> ( i e. n <-> i e. 1o ) )
39	38	ifbid 3625	. . . . . 6 |- ( n = 1o -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
40	39	mpteq2dv 4176	. . . . 5 |- ( n = 1o -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
41		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
42		omex 4687	. . . . . 6 |- om e. _V
43	42	mptex 5873	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
44	40, 41, 43	fvmpt3i 5720	. . . 4 |- ( 1o e. om -> ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
45	33, 44	ax-mp 5	. . 3 |- ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
46	19, 37, 45	3eqtri 2254	. 2 |- ( I ` 1 ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
47		el1o 6598	. . . 4 |- ( i e. 1o <-> i = (/) )
48		ifbi 3624	. . . 4 |- ( ( i e. 1o <-> i = (/) ) -> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . 3 |- if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) )
50	49	mpteq2i 4172	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
51		eqeq1 2236	. . . 4 |- ( i = x -> ( i = (/) <-> x = (/) ) )
52	51	ifbid 3625	. . 3 |- ( i = x -> if ( i = (/) , 1o , (/) ) = if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 4181	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
54	46, 50, 53	3eqtri 2254	1 |- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   =/= wne 2400   u. cun 3196   (/)c0 3492   ifcif 3603   {csn 3667   <.cop 3670   |-> cmpt 4146   suc csuc 4458   omcom 4684   X. cxp 4719   `'ccnv 4720   o. ccom 4725   -->wf 5318   -1-1-onto->wf1o 5321   ` cfv 5322  (class class class)co 6011  freccfrec 6549   1oc1o 6568   0cc0 8020   1c1 8021   + caddc 8023   +oocpnf 8199   NN0cn0 9390  NN0*cxnn0 9453   ZZcz 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-n0 9391  df-xnn0 9454  df-z 9468  df-uz 9744

This theorem is referenced by: (None)