Theorem 1tonninf 9995

Description: The mapping of one into ℕ_∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
1tonninf	|- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Distinct variable groups:   i, n   x, i

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem 1tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
2	1	fveq1i 5341	. . . 4 |- ( I ` 1 ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 )
3		1nn0 8787	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
4		nn0xnn0 8838	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN0 -> 1 e. NN0* )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- 1 e. NN0*
6		nn0nepnf 8842	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN0 -> 1 =/= +oo )
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 1 =/= +oo
8	7	necomi 2347	. . . . 5 |- +oo =/= 1
9		fvunsng 5530	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0* /\ +oo =/= 1 ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 ) )
10	5, 8, 9	mp2an 418	. . . 4 |- ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` 1 ) = ( ( F o. `' G ) ` 1 )
11		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
12	11	frechashgf1o 9984	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> NN0
13		f1ocnv 5301	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 |- `' G : NN0 -1-1-onto-> om
15		f1of 5288	. . . . . 6 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- `' G : NN0 --> om
17		fvco3 5410	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN0 --> om /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) ) )
18	16, 3, 17	mp2an 418	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
19	2, 10, 18	3eqtri 2119	. . 3 |- ( I ` 1 ) = ( F ` ( `' G ` 1 ) )
20		df-1o 6219	. . . . . . 7 |- 1o = suc (/)
21	20	fveq2i 5343	. . . . . 6 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
22		0zd 8860	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
23		peano1 4437	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
24	23	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (/) e. om )
25	22, 11, 24	frec2uzsucd 9957	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
26	25	mptru 1305	. . . . . . 7 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
27	22, 11	frec2uz0d 9955	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
28	27	mptru 1305	. . . . . . . 8 |- ( G ` (/) ) = 0
29	28	oveq1i 5700	. . . . . . 7 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
30	26, 29	eqtri 2115	. . . . . 6 |- ( G ` suc (/) ) = ( 0 + 1 )
31		0p1e1 8634	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
32	21, 30, 31	3eqtri 2119	. . . . 5 |- ( G ` 1o ) = 1
33		1onn 6319	. . . . . 6 |- 1o e. om
34		f1ocnvfv 5596	. . . . . 6 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
35	12, 33, 34	mp2an 418	. . . . 5 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
36	32, 35	ax-mp 7	. . . 4 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
37	36	fveq2i 5343	. . 3 |- ( F ` ( `' G ` 1 ) ) = ( F ` 1o )
38		eleq2 2158	. . . . . . 7 |- ( n = 1o -> ( i e. n <-> i e. 1o ) )
39	38	ifbid 3432	. . . . . 6 |- ( n = 1o -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
40	39	mpteq2dv 3951	. . . . 5 |- ( n = 1o -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
41		fxnn0nninf.f	. . . . 5 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
42		omex 4436	. . . . . 6 |- om e. _V
43	42	mptex 5562	. . . . 5 |- ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) e. _V
44	40, 41, 43	fvmpt3i 5419	. . . 4 |- ( 1o e. om -> ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) )
45	33, 44	ax-mp 7	. . 3 |- ( F ` 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
46	19, 37, 45	3eqtri 2119	. 2 |- ( I ` 1 ) = ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) )
47		el1o 6239	. . . 4 |- ( i e. 1o <-> i = (/) )
48		ifbi 3431	. . . 4 |- ( ( i e. 1o <-> i = (/) ) -> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
49	47, 48	ax-mp 7	. . 3 |- if ( i e. 1o , 1o , (/) ) = if ( i = (/) , 1o , (/) )
50	49	mpteq2i 3947	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i e. 1o , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) )
51		eqeq1 2101	. . . 4 |- ( i = x -> ( i = (/) <-> x = (/) ) )
52	51	ifbid 3432	. . 3 |- ( i = x -> if ( i = (/) , 1o , (/) ) = if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
53	52	cbvmptv 3956	. 2 |- ( i e. om |-> if ( i = (/) , 1o , (/) ) ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )
54	46, 50, 53	3eqtri 2119	1 |- ( I ` 1 ) = ( x e. om |-> if ( x = (/) , 1o , (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1296   T. wtru 1297   e. wcel 1445   =/= wne 2262   u. cun 3011   (/)c0 3302   ifcif 3413   {csn 3466   <.cop 3469   |-> cmpt 3921   suc csuc 4216   omcom 4433   X. cxp 4465   `'ccnv 4466   o. ccom 4471   -->wf 5045   -1-1-onto->wf1o 5048   ` cfv 5049  (class class class)co 5690  freccfrec 6193   1oc1o 6212   0cc0 7447   1c1 7448   + caddc 7450   +oocpnf 7616   NN0cn0 8771  NN0*cxnn0 8834   ZZcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-recs 6108  df-frec 6194  df-1o 6219  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-xnn0 8835  df-z 8849  df-uz 9119

This theorem is referenced by: (None)