Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsnen Unicode version

Theorem xpsnen 6593
 Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton. Proposition 4.22(c) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsnen.1
xpsnen.2
Assertion
Ref Expression
xpsnen

Proof of Theorem xpsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsnen.1 . . 3
2 xpsnen.2 . . . 4
32snex 4028 . . 3
41, 3xpex 4568 . 2
5 elxp 4471 . . 3
6 inteq 3699 . . . . . . . 8
76inteqd 3701 . . . . . . 7
8 vex 2625 . . . . . . . 8
9 vex 2625 . . . . . . . 8
108, 9op1stb 4315 . . . . . . 7
117, 10syl6eq 2137 . . . . . 6
1211, 8syl6eqel 2179 . . . . 5
1312adantr 271 . . . 4
1413exlimivv 1825 . . 3
155, 14sylbi 120 . 2
168, 2opex 4067 . . 3
1716a1i 9 . 2
18 eqvisset 2632 . . . . 5
19 ancom 263 . . . . . . . . . . 11
20 anass 394 . . . . . . . . . . 11
21 velsn 3469 . . . . . . . . . . . 12
2221anbi1i 447 . . . . . . . . . . 11
2319, 20, 223bitr3i 209 . . . . . . . . . 10
2423exbii 1542 . . . . . . . . 9
25 opeq2 3631 . . . . . . . . . . . 12
2625eqeq2d 2100 . . . . . . . . . . 11
2726anbi1d 454 . . . . . . . . . 10
282, 27ceqsexv 2661 . . . . . . . . 9
29 inteq 3699 . . . . . . . . . . . . . 14
3029inteqd 3701 . . . . . . . . . . . . 13
318, 2op1stb 4315 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl6req 2138 . . . . . . . . . . . 12
3332pm4.71ri 385 . . . . . . . . . . 11
3433anbi1i 447 . . . . . . . . . 10
35 anass 394 . . . . . . . . . 10
3634, 35bitri 183 . . . . . . . . 9
3724, 28, 363bitri 205 . . . . . . . 8
3837exbii 1542 . . . . . . 7
395, 38bitri 183 . . . . . 6
40 opeq1 3630 . . . . . . . . 9
4140eqeq2d 2100 . . . . . . . 8
42 eleq1 2151 . . . . . . . 8
4341, 42anbi12d 458 . . . . . . 7
4443ceqsexgv 2749 . . . . . 6
4539, 44syl5bb 191 . . . . 5
4618, 45syl 14 . . . 4
4746pm5.32ri 444 . . 3
4832adantr 271 . . . . 5
4948pm4.71i 384 . . . 4
5043pm5.32ri 444 . . . 4
5149, 50bitr2i 184 . . 3
52 ancom 263 . . 3
5347, 51, 523bitri 205 . 2
544, 1, 15, 17, 53en2i 6543 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wb 104   wceq 1290  wex 1427   wcel 1439  cvv 2622  csn 3452  cop 3455  cint 3696   class class class wbr 3853   cxp 4452   cen 6511 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-en 6514 This theorem is referenced by:  xpsneng  6594  endisj  6596
 Copyright terms: Public domain W3C validator