Theorem opm 4320

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	|- ( E. x x e. <. A , B >. <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3675	. . . . 5 |- <. A , B >. = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) }
2	1	eleq2i 2296	. . . 4 |- ( x e. <. A , B >. <-> x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } )
3	2	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> E. x x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } )
4		abid 2217	. . . 4 |- ( x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } <-> ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
5	4	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
6	3, 5	bitri 184	. 2 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
7		19.42v 1953	. . 3 |- ( E. x ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
8		df-3an 1004	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
9	8	exbii 1651	. . 3 |- ( E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> E. x ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
10		df-3an 1004	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
11	7, 9, 10	3bitr4ri 213	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
12		3simpa 1018	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14		snexg 4268	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A } e. _V )
16		prmg 3789	. . . . 5 |- ( { A } e. _V -> E. x x e. { { A } , { A , B } } )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> E. x x e. { { A } , { A , B } } )
18	13, 17, 10	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
19	12, 18	impbii 126	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
20	6, 11, 19	3bitr2i 208	1 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   {csn 3666   {cpr 3667   <.cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  opnzi  4321  opeqex  4336  funopsn  5817  cnm  8019  setsfun0  13068