ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opm Unicode version

Theorem opm 4052
Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opm  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem opm
StepHypRef Expression
1 df-op 3450 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }
21eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( x  e.  <. A ,  B >.  <-> 
x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
32exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x  x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
4 abid 2076 . . . 4  |-  ( x  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
54exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  {
x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
63, 5bitri 182 . 2  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
7 19.42v 1834 . . 3  |-  ( E. x ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
8 df-3an 926 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
98exbii 1541 . . 3  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
10 df-3an 926 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
117, 9, 103bitr4ri 211 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
12 3simpa 940 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
14 snexg 4010 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
1514adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  e.  _V )
16 prmg 3556 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  _V  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1813, 17, 10sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
1912, 18impbii 124 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
206, 11, 193bitr2i 206 1  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   _Vcvv 2619   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450
This theorem is referenced by:  opnzi  4053  opeqex  4067
  Copyright terms: Public domain W3C validator