ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opm Unicode version

Theorem opm 4217
Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opm  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem opm
StepHypRef Expression
1 df-op 3590 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }
21eleq2i 2237 . . . 4  |-  ( x  e.  <. A ,  B >.  <-> 
x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
32exbii 1598 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x  x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
4 abid 2158 . . . 4  |-  ( x  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
54exbii 1598 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  {
x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
63, 5bitri 183 . 2  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
7 19.42v 1899 . . 3  |-  ( E. x ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
8 df-3an 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
98exbii 1598 . . 3  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
10 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
117, 9, 103bitr4ri 212 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
12 3simpa 989 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
14 snexg 4168 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
1514adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  e.  _V )
16 prmg 3702 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  _V  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1813, 17, 10sylanbrc 415 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
1912, 18impbii 125 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
206, 11, 193bitr2i 207 1  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973   E.wex 1485    e. wcel 2141   {cab 2156   _Vcvv 2730   {csn 3581   {cpr 3582   <.cop 3584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590
This theorem is referenced by:  opnzi  4218  opeqex  4232  cnm  7783  setsfun0  12441
  Copyright terms: Public domain W3C validator