Theorem opm 4369

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	|- ( E. x x e. <. A , B >. <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3714	. . . . 5 |- <. A , B >. = { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) }
2	1	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( x e. <. A , B >. <-> x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } )
3	2	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> E. x x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } )
4		abid 2226	. . . 4 |- ( x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } <-> ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
5	4	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x x e. { x | ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) } <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
6	3, 5	bitri 184	. 2 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
7		19.42v 1962	. . 3 |- ( E. x ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
8		df-3an 1011	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
9	8	exbii 1658	. . 3 |- ( E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) <-> E. x ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
10		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
11	7, 9, 10	3bitr4ri 213	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> E. x ( A e. _V /\ B e. _V /\ x e. { { A } , { A , B } } ) )
12		3simpa 1025	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14		snexg 4316	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A } e. _V )
16		prmg 3830	. . . . 5 |- ( { A } e. _V -> E. x x e. { { A } , { A , B } } )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> E. x x e. { { A } , { A , B } } )
18	13, 17, 10	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) )
19	12, 18	impbii 126	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V /\ E. x x e. { { A } , { A , B } } ) <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
20	6, 11, 19	3bitr2i 208	1 |- ( E. x x e. <. A , B >. <-> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   {csn 3705   {cpr 3706   <.cop 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714

This theorem is referenced by:  opnzi  4370  opeqex  4385  funopsn  5882  cnm  8189  setsfun0  13366