Proof of Theorem opm
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-op 3590 |
. . . . 5
⊢
〈𝐴, 𝐵〉 = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} |
2 | 1 | eleq2i 2237 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}) |
3 | 2 | exbii 1598 |
. . 3
⊢
(∃𝑥 𝑥 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}) |
4 | | abid 2158 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
5 | 4 | exbii 1598 |
. . 3
⊢
(∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
6 | 3, 5 | bitri 183 |
. 2
⊢
(∃𝑥 𝑥 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
7 | | 19.42v 1899 |
. . 3
⊢
(∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
8 | | df-3an 975 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
9 | 8 | exbii 1598 |
. . 3
⊢
(∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
10 | | df-3an 975 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
11 | 7, 9, 10 | 3bitr4ri 212 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
12 | | 3simpa 989 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) |
13 | | id 19 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) |
14 | | snexg 4168 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V) |
15 | 14 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴} ∈ V) |
16 | | prmg 3702 |
. . . . 5
⊢ ({𝐴} ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) |
17 | 15, 16 | syl 14 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) |
18 | 13, 17, 10 | sylanbrc 415 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})) |
19 | 12, 18 | impbii 125 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) |
20 | 6, 11, 19 | 3bitr2i 207 |
1
⊢
(∃𝑥 𝑥 ∈ 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) |