Theorem opm 4369

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3714	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
2	1	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
3	2	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
4		abid 2226	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
5	4	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
6	3, 5	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
7		19.42v 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
8		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
9	8	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
10		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
11	7, 9, 10	3bitr4ri 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
12		3simpa 1025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13		id 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14		snexg 4316	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
16		prmg 3830	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
18	13, 17, 10	sylanbrc 421	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
19	12, 18	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	6, 11, 19	3bitr2i 208	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821  {csn 3705  {cpr 3706  ⟨cop 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714

This theorem is referenced by:  opnzi  4370  opeqex  4385  funopsn  5882  cnm  8189  setsfun0  13366