Theorem opm 4235

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3602	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
2	1	eleq2i 2244	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
3	2	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
4		abid 2165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
5	4	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
6	3, 5	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
7		19.42v 1906	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
8		df-3an 980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
9	8	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
10		df-3an 980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
11	7, 9, 10	3bitr4ri 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
12		3simpa 994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13		id 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14		snexg 4185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
16		prmg 3714	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
18	13, 17, 10	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
19	12, 18	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	6, 11, 19	3bitr2i 208	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2738  {csn 3593  {cpr 3594  ⟨cop 3596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602

This theorem is referenced by:  opnzi  4236  opeqex  4250  cnm  7831  setsfun0  12498