Theorem opm 4278

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3642	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
2	1	eleq2i 2272	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
3	2	exbii 1628	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
4		abid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
5	4	exbii 1628	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
6	3, 5	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
7		19.42v 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
8		df-3an 983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
9	8	exbii 1628	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
10		df-3an 983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
11	7, 9, 10	3bitr4ri 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
12		3simpa 997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13		id 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14		snexg 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
15	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
16		prmg 3754	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
18	13, 17, 10	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
19	12, 18	impbii 126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	6, 11, 19	3bitr2i 208	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981  ∃wex 1515   ∈ wcel 2176  {cab 2191  Vcvv 2772  {csn 3633  {cpr 3634  ⟨cop 3636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642

This theorem is referenced by:  opnzi  4279  opeqex  4294  funopsn  5762  cnm  7945  setsfun0  12868