ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndomo Unicode version

Theorem nndomo 6822
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php5dom 6821 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  ~<_  B )
21ad2antlr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  ~<_  B )
3 domtr 6743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  B  ~<_  A  /\  A  ~<_  B )  ->  suc  B  ~<_  B )
43expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( suc  B  ~<_  A  ->  suc  B  ~<_  B ) )
54adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( suc  B  ~<_  A  ->  suc  B  ~<_  B ) )
62, 5mtod 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  ~<_  A )
7 ssdomg 6736 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  B  C_  A  ->  suc 
B  ~<_  A ) )
87ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( suc  B  C_  A  ->  suc  B  ~<_  A ) )
96, 8mtod 653 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  C_  A )
10 nnord 4584 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
11 ordsucss 4476 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  suc 
B  C_  A )
)
1312ad2antrr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A
) )
149, 13mtod 653 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  B  e.  A
)
15 nntri1 6456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1615adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1714, 16mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  A  C_  B )
1817ex 114 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
19 ssdomg 6736 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
2019adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
2118, 20impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2135    C_ wss 3112   class class class wbr 3977   Ord word 4335   suc csuc 4338   omcom 4562    ~<_ cdom 6697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-er 6493  df-en 6699  df-dom 6700
This theorem is referenced by:  fisbth  6841  fientri3  6872  hashennnuni  10682  fihashdom  10706  pwf1oexmid  13741
  Copyright terms: Public domain W3C validator