Theorem nndomo 6830

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6829	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
2	1	ad2antlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3		domtr 6751	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
4	3	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
6	2, 5	mtod 653	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7		ssdomg 6744	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
8	7	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
9	6, 8	mtod 653	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10		nnord 4589	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11		ordsucss 4481	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
13	12	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
14	9, 13	mtod 653	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15		nntri1 6464	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
17	14, 16	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
18	17	ex 114	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19		ssdomg 6744	. . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
20	19	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
21	18, 20	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   ~<_ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  fisbth  6849  fientri3  6880  hashennnuni  10692  fihashdom  10716  pwf1oexmid  13879