Theorem nndomo 6766

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6765	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
2	1	ad2antlr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3		domtr 6687	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
4	3	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
6	2, 5	mtod 653	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7		ssdomg 6680	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
8	7	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
9	6, 8	mtod 653	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10		nnord 4533	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11		ordsucss 4428	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
13	12	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
14	9, 13	mtod 653	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15		nntri1 6400	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
17	14, 16	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
18	17	ex 114	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19		ssdomg 6680	. . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
20	19	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
21	18, 20	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512   ~<_ cdom 6641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644

This theorem is referenced by:  fisbth  6785  fientri3  6811  hashennnuni  10557  fihashdom  10581  pwf1oexmid  13367