ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndomo Unicode version

Theorem nndomo 6726
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php5dom 6725 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  ~<_  B )
21ad2antlr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  ~<_  B )
3 domtr 6647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  B  ~<_  A  /\  A  ~<_  B )  ->  suc  B  ~<_  B )
43expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( suc  B  ~<_  A  ->  suc  B  ~<_  B ) )
54adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( suc  B  ~<_  A  ->  suc  B  ~<_  B ) )
62, 5mtod 637 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  ~<_  A )
7 ssdomg 6640 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  B  C_  A  ->  suc 
B  ~<_  A ) )
87ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( suc  B  C_  A  ->  suc  B  ~<_  A ) )
96, 8mtod 637 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  suc  B  C_  A )
10 nnord 4495 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
11 ordsucss 4390 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  suc 
B  C_  A )
)
1312ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A
) )
149, 13mtod 637 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  -.  B  e.  A
)
15 nntri1 6360 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1615adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1714, 16mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  ~<_  B )  ->  A  C_  B )
1817ex 114 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
19 ssdomg 6640 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
2019adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
2118, 20impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   Ord word 4254   suc csuc 4257   omcom 4474    ~<_ cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  fisbth  6745  fientri3  6771  hashennnuni  10493  fihashdom  10517  pwf1oexmid  13121
  Copyright terms: Public domain W3C validator