ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndomo Unicode version
Theorem nndomo 7052
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )
Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php5dom 7051 . . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
21ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3 domtr 6961 . . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
43expcom 116 . . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
54adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
62, 5mtod 669 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7 ssdomg 6954 . . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
87ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
96, 8mtod 669 . . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10 nnord 4709 . . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11 ordsucss 4601 . . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
1312ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
149, 13mtod 669 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15 nntri1 6666 . . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
1615adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
1714, 16mpbird 167 . . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
1817ex 115 . 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19 ssdomg 6954 . . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
2019adantl 277 . 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
2118, 20impbid 129 1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2201   C_ wss 3199   class class class wbr 4087   Ord word 4458   suc csuc 4461   omcom 4687   ~<_ cdom 6910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-br 4088  df-opab 4150  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913
This theorem is referenced by:  1ndom2  7053  fisbth  7074  fientri3  7109  hashennnuni  11044  fihashdom  11069  pwf1oexmid  16658
  Copyright terms: Public domain W3C validator