Theorem nndomo 7155

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 7154	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
2	1	ad2antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3		domtr 7062	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
4	3	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
6	2, 5	mtod 673	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7		ssdomg 7055	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
8	7	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
9	6, 8	mtod 673	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10		nnord 4754	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11		ordsucss 4646	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
13	12	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
14	9, 13	mtod 673	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15		nntri1 6759	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
18	17	ex 115	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19		ssdomg 7055	. . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
21	18, 20	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   Ord word 4502   suc csuc 4505   omcom 4732   ~<_ cdom 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  1ndom2  7156  fisbth  7177  fientri3  7212  hashennnuni  11196  fihashdom  11221  pwf1oexmid  16943