Theorem nndomo 6842

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 6841	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
2	1	ad2antlr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3		domtr 6763	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
4	3	expcom 115	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
5	4	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
6	2, 5	mtod 658	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7		ssdomg 6756	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
8	7	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
9	6, 8	mtod 658	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10		nnord 4596	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11		ordsucss 4488	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
13	12	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
14	9, 13	mtod 658	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15		nntri1 6475	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
16	15	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
17	14, 16	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
18	17	ex 114	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19		ssdomg 6756	. . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
20	19	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
21	18, 20	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  fisbth  6861  fientri3  6892  hashennnuni  10713  fihashdom  10738  pwf1oexmid  14032