Theorem nndomo 7118

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nndomo	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem nndomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5dom 7117	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B ~<_ B )
2	1	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ B )
3		domtr 7025	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc B ~<_ A /\ A ~<_ B ) -> suc B ~<_ B )
4	3	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B ~<_ A -> suc B ~<_ B ) )
6	2, 5	mtod 669	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B ~<_ A )
7		ssdomg 7018	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( suc B C_ A -> suc B ~<_ A ) )
9	6, 8	mtod 669	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. suc B C_ A )
10		nnord 4734	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> Ord A )
11		ordsucss 4626	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
13	12	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
14	9, 13	mtod 669	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> -. B e. A )
15		nntri1 6729	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
17	14, 16	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ A ~<_ B ) -> A C_ B )
18	17	ex 115	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B -> A C_ B ) )
19		ssdomg 7018	. . 3 |- ( B e. om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
20	19	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
21	18, 20	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ~<_ B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   Ord word 4483   suc csuc 4486   omcom 4712   ~<_ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  1ndom2  7119  fisbth  7140  fientri3  7175  hashennnuni  11142  fihashdom  11167  pwf1oexmid  16773