Proof of Theorem tfr1onlembfn
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tfr1on.f |
. . . . . 6
recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | | tfr1on.g |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | tfr1on.x |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | tfr1on.ex |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![f f](_f.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | | tfr1onlemsucfn.1 |
. . . . . 6
![{ {](lbrace.gif) ![E. E.](exists.gif)
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![` `](backtick.gif) ![y y](_y.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![y y](_y.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![} }](rbrace.gif) |
6 | | tfr1onlembacc.3 |
. . . . . 6
![{ {](lbrace.gif) ![E. E.](exists.gif)
![E. E.](exists.gif) ![g g](_g.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![} }](rbrace.gif) |
7 | | tfr1onlembacc.u |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![U. U.](bigcup.gif) ![X X](_cx.gif)
![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | | tfr1onlembacc.4 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | | tfr1onlembacc.5 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![E. E.](exists.gif) ![g g](_g.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![g g](_g.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | tfr1onlembacc 6247 |
. . . . 5
![( (](lp.gif)
![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 10 | unissd 3768 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
)](rp.gif) |
12 | 5, 3 | tfr1onlemssrecs 6244 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 11, 12 | sstrd 3112 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | tfrfun 6225 |
. . 3
recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | | funss 5150 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) recs![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | 13, 14, 15 | mpisyl 1423 |
. 2
![( (](lp.gif) ![U. U.](bigcup.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | | simpr3 990 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | 8 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 20, 21 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
23 | | ordtr1 4318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![X X](_cx.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | 19, 22, 23 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | 18, 24 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 2 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 3 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 4 | 3adant1r 1210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif)
![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![`
`](backtick.gif) ![f f](_f.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 28 | 3adant1r 1210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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`](backtick.gif) ![f f](_f.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![( (](lp.gif)
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)](rp.gif) |
31 | | simpr1 988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![z z](_z.gif) ![)
)](rp.gif) |
32 | | simpr2 989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
)](rp.gif) |
33 | 1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32 | tfr1onlemsucfn 6245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![( (](lp.gif)
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{](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
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34 | 25, 33 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![z z](_z.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | | dffn2 5282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif)
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-->](longrightarrow.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 34, 35 | sylib 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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{](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![z z](_z.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | | fssxp 5298 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![z z](_z.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![( (](lp.gif)
![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
38 | 36, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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{](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![( (](lp.gif)
![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
39 | | ordelon 4313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![On On](_on.gif) ![) )](rp.gif) |
40 | 3, 8, 39 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![On On](_on.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | | eloni 4305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 40, 41 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
43 | 42 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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)](rp.gif) |
45 | | ordsucss 4428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
46 | 43, 44, 45 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
47 | | xpss1 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | 46, 47 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
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>.](rangle.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![( (](lp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | 38, 48 | sstrd 3112 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![<. <.](langle.gif) ![z z](_z.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![g g](_g.gif) ![) )](rp.gif) ![>.
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51 | | vex 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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88 | 86, 87 | sylib 121 |
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89 | | dmss 4746 |
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90 | 88, 89 | syl 14 |
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91 | | dmxpss 4977 |
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92 | 90, 91 | sstrdi 3114 |
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93 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | tfr1onlembxssdm 6248 |
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94 | 92, 93 | eqssd 3119 |
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95 | | df-fn 5134 |
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96 | 16, 94, 95 | sylanbrc 414 |
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