Theorem tfr1onlembfn 6370

Description: Lemma for tfr1on 6376. The union of B is a function defined on x. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfr1onlembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlembfn	|- ( ph -> U. B Fn D )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, z   D, f, g, x   f, G, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, z   y, g, z   B, g, h, z, w   D, h, z   h, G, z, w, f, y, x   g, X, z

Allowed substitution hints:   ph( y, w)   A( y, w)   B( x, y, f)   D( y, w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1on.f	. . . . . 6 |- F = recs ( G )
2		tfr1on.g	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun G )
3		tfr1on.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
4		tfr1on.ex	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
5		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfr1onlembacc.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfr1onlembacc.u	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfr1onlembacc.4	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. X )
9		tfr1onlembacc.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembacc 6368	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
11	10	unissd 3848	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
12	5, 3	tfr1onlemssrecs 6365	. . . 4 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
13	11, 12	sstrd 3180	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( G ) )
14		tfrfun 6346	. . 3 |- Fun recs ( G )
15		funss 5254	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( G ) -> ( Fun recs ( G ) -> Fun U. B ) )
16	13, 14, 15	mpisyl 1457	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
17		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
18		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ph )
19	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> Ord X )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D e. X )
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( z e. D /\ D e. X ) )
23		ordtr1 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. X )
25	18, 24	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ph /\ z e. X ) )
26	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
27	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
28	4	3adant1r 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
29	28	3adant1r 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
31		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
32		simpr2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
33	1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32	tfr1onlemsucfn 6366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
34	25, 33	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
35		dffn2 5386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
37		fssxp 5402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
39		ordelon 4401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Ord X /\ D e. X ) -> D e. On )
40	3, 8, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. On )
41		eloni 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. On -> Ord D )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Ord D )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord D )
44		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
45		ordsucss 4521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord D -> ( z e. D -> suc z C_ D ) )
46	43, 44, 45	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ D )
47		xpss1 4754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ D -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
49	38, 48	sstrd 3180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) )
50		vex 2755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
51		vex 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
52	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ph )
53	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
54		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
55		fneq2 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
56	55	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
57	56	albidv 1835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
58	4	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
59	58	alrimiv 1885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
60	59	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
61	60	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
62		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> z e. X )
63	57, 61, 62	rspcdva 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
64		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> g Fn z )
65		fneq1 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
66		fveq2 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
67	66	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
68	65, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
69	68	spv 1871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
70	63, 64, 69	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
71	52, 53, 54, 70	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
72		opexg 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
73	51, 71, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
74		snexg 4202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
76		unexg 4461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
77	50, 75, 76	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
78		elpwg 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
80	49, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) )
81	17, 80	eqeltrd 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) )
82	81	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
83	82	exlimdv 1830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
84	83	rexlimdva 2607	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
85	84	abssdv 3244	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( D X. _V ) )
86	6, 85	eqsstrid 3216	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( D X. _V ) )
87		sspwuni 3986	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( D X. _V ) <-> U. B C_ ( D X. _V ) )
88	86, 87	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( D X. _V ) )
89		dmss 4844	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( D X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
90	88, 89	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
91		dmxpss 5077	. . . 4 |- dom ( D X. _V ) C_ D
92	90, 91	sstrdi 3182	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ D )
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembxssdm 6369	. . 3 |- ( ph -> D C_ dom U. B )
94	92, 93	eqssd 3187	. 2 |- ( ph -> dom U. B = D )
95		df-fn 5238	. 2 |- ( U. B Fn D <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = D ) )
96	16, 94, 95	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> U. B Fn D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   u. cun 3142   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   Ord word 4380   Oncon0 4381   suc csuc 4383   X. cxp 4642   dom cdm 4644   |` cres 4646   Fun wfun 5229   Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  recscrecs 6330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-recs 6331

This theorem is referenced by:  tfr1onlembex  6371  tfr1onlemubacc  6372  tfr1onlemex  6373