Theorem tfr1onlembfn 6605

Description: Lemma for tfr1on 6611. The union of B is a function defined on x. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfr1onlembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlembfn	|- ( ph -> U. B Fn D )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, z   D, f, g, x   f, G, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, z   y, g, z   B, g, h, z, w   D, h, z   h, G, z, w, f, y, x   g, X, z

Allowed substitution hints:   ph( y, w)   A( y, w)   B( x, y, f)   D( y, w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1on.f	. . . . . 6 |- F = recs ( G )
2		tfr1on.g	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun G )
3		tfr1on.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
4		tfr1on.ex	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
5		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfr1onlembacc.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfr1onlembacc.u	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfr1onlembacc.4	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. X )
9		tfr1onlembacc.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembacc 6603	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
11	10	unissd 3954	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
12	5, 3	tfr1onlemssrecs 6600	. . . 4 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
13	11, 12	sstrd 3258	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( G ) )
14		tfrfun 6581	. . 3 |- Fun recs ( G )
15		funss 5391	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( G ) -> ( Fun recs ( G ) -> Fun U. B ) )
16	13, 14, 15	mpisyl 1496	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
17		simpr3 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
18		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ph )
19	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> Ord X )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D e. X )
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( z e. D /\ D e. X ) )
23		ordtr1 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. X )
25	18, 24	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ph /\ z e. X ) )
26	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
27	3	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
28	4	3adant1r 1262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
29	28	3adant1r 1262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
30		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
31		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
32		simpr2 1035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
33	1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32	tfr1onlemsucfn 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
34	25, 33	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
35		dffn2 5530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
37		fssxp 5550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
39		ordelon 4523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Ord X /\ D e. X ) -> D e. On )
40	3, 8, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. On )
41		eloni 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. On -> Ord D )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Ord D )
43	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord D )
44		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
45		ordsucss 4646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord D -> ( z e. D -> suc z C_ D ) )
46	43, 44, 45	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ D )
47		xpss1 4880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ D -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
49	38, 48	sstrd 3258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) )
50		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
51		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
52	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ph )
53	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
54		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
55		fneq2 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
56	55	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
57	56	albidv 1877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
58	4	3expia 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
59	58	alrimiv 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
60	59	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
61	60	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
62		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> z e. X )
63	57, 61, 62	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
64		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> g Fn z )
65		fneq1 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
66		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
67	66	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
68	65, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
69	68	spv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
70	63, 64, 69	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
71	52, 53, 54, 70	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
72		opexg 4363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
73	51, 71, 72	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
74		snexg 4316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
76		unexg 4584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
77	50, 75, 76	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
78		elpwg 3693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
80	49, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) )
81	17, 80	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) )
82	81	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
83	82	exlimdv 1872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
84	83	rexlimdva 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
85	84	abssdv 3322	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( D X. _V ) )
86	6, 85	eqsstrid 3294	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( D X. _V ) )
87		sspwuni 4092	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( D X. _V ) <-> U. B C_ ( D X. _V ) )
88	86, 87	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( D X. _V ) )
89		dmss 4975	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( D X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
90	88, 89	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
91		dmxpss 5213	. . . 4 |- dom ( D X. _V ) C_ D
92	90, 91	sstrdi 3260	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ D )
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembxssdm 6604	. . 3 |- ( ph -> D C_ dom U. B )
94	92, 93	eqssd 3265	. 2 |- ( ph -> dom U. B = D )
95		df-fn 5375	. 2 |- ( U. B Fn D <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = D ) )
96	16, 94, 95	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> U. B Fn D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   {csn 3705   <.cop 3708   U.cuni 3930   Ord word 4502   Oncon0 4503   suc csuc 4505   X. cxp 4767   dom cdm 4769   |` cres 4771   Fun wfun 5366   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372  recscrecs 6565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-recs 6566

This theorem is referenced by:  tfr1onlembex  6606  tfr1onlemubacc  6607  tfr1onlemex  6608