ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr1onlembfn Unicode version

Theorem tfr1onlembfn 6370
Description: Lemma for tfr1on 6376. The union of  B is a function defined on  x. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfr1onlembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfr1onlembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlembfn  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  D
)
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, z    D, f, g, x    f, G, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, z    y, g, z    B, g, h, z, w    D, h, z    h, G, z, w, f, y, x    g, X, z
Allowed substitution hints:    ph( y, w)    A( y, w)    B( x, y, f)    D( y, w)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembfn
StepHypRef Expression
1 tfr1on.f . . . . . 6  |-  F  = recs ( G )
2 tfr1on.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfr1on.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfr1on.ex . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
5 tfr1onlemsucfn.1 . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfr1onlembacc.3 . . . . . 6  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) }
7 tfr1onlembacc.u . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfr1onlembacc.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfr1onlembacc.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfr1onlembacc 6368 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
1110unissd 3848 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
125, 3tfr1onlemssrecs 6365 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
1311, 12sstrd 3180 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( G ) )
14 tfrfun 6346 . . 3  |-  Fun recs ( G )
15 funss 5254 . . 3  |-  ( U. B  C_ recs ( G )  ->  ( Fun recs ( G )  ->  Fun  U. B ) )
1613, 14, 15mpisyl 1457 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
17 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
18 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ph )
193adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  Ord  X )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  D )
218adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  D  e.  X )
2220, 21jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
z  e.  D  /\  D  e.  X )
)
23 ordtr1 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  X )
2518, 24jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( ph  /\  z  e.  X
) )
262ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  Fun  G )
273ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  Ord  X )
2843adant1r 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
29283adant1r 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x )  ->  ( G `  f )  e.  _V )
30 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  X
)
31 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  g  Fn  z
)
32 simpr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  g  e.  A
)
331, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32tfr1onlemsucfn 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z )
3425, 33sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z )
35 dffn2 5386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  Fn  suc  z  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
3634, 35sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
37 fssxp 5402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> _V 
->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
39 ordelon 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  X  /\  D  e.  X )  ->  D  e.  On )
403, 8, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
41 eloni 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  On  ->  Ord  D )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Ord  D )
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  Ord  D )
44 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  D
)
45 ordsucss 4521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
D  ->  ( z  e.  D  ->  suc  z  C_  D ) )
4643, 44, 45sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  suc  z  C_  D )
47 xpss1 4754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  z  C_  D  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  ( D  X.  _V ) )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  ( D  X.  _V ) )
4938, 48sstrd 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  _V ) )
50 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  g  e. 
_V
51 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
5218adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ph )
5324adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  X
)
54 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  g  Fn  z
)
55 fneq2 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
f  Fn  x  <->  f  Fn  z ) )
5655imbi1d 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( f  Fn  z  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
) )
5756albidv 1835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) 
<-> 
A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V ) ) )
5843expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
5958alrimiv 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
6059ralrimiva 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) )
61603ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g  Fn  z
)  ->  A. x  e.  X  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
62 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g  Fn  z
)  ->  z  e.  X )
6357, 61, 62rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g  Fn  z
)  ->  A. f
( f  Fn  z  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
64 simp3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g  Fn  z
)  ->  g  Fn  z )
65 fneq1 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  z  <->  g  Fn  z ) )
66 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
6766eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  g )  e.  _V ) )
6865, 67imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  z  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
6968spv 1871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V )  ->  ( g  Fn  z  ->  ( G `  g )  e.  _V ) )
7063, 64, 69sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g  Fn  z
)  ->  ( G `  g )  e.  _V )
7152, 53, 54, 70syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  _V )
72 opexg 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
7351, 71, 72sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  _V )
74 snexg 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
76 unexg 4461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
7750, 75, 76sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  _V )
78 elpwg 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( D  X.  _V ) ) )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  _V ) ) )
8049, 79mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  ~P ( D  X.  _V )
)
8117, 80eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  _V )
)
8281ex 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  _V ) ) )
8382exlimdv 1830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  _V ) ) )
8483rexlimdva 2607 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  _V ) ) )
8584abssdv 3244 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) } 
C_  ~P ( D  X.  _V ) )
866, 85eqsstrid 3216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P ( D  X.  _V ) )
87 sspwuni 3986 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ~P ( D  X.  _V )  <->  U. B  C_  ( D  X.  _V ) )
8886, 87sylib 122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  ( D  X.  _V ) )
89 dmss 4844 . . . . 5  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  _V )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  _V ) )
9088, 89syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  _V ) )
91 dmxpss 5077 . . . 4  |-  dom  ( D  X.  _V )  C_  D
9290, 91sstrdi 3182 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  D )
931, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfr1onlembxssdm 6369 . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
9492, 93eqssd 3187 . 2  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  D )
95 df-fn 5238 . 2  |-  ( U. B  Fn  D  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  D )
)
9616, 94, 95sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    u. cun 3142    C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   Ord word 4380   Oncon0 4381   suc csuc 4383    X. cxp 4642   dom cdm 4644    |` cres 4646   Fun wfun 5229    Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  recscrecs 6330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-recs 6331
This theorem is referenced by:  tfr1onlembex  6371  tfr1onlemubacc  6372  tfr1onlemex  6373
  Copyright terms: Public domain W3C validator