ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn Unicode version

Theorem prarloclemn 7498
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x
)  =  N )
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  N  e.  N. )
2 1pi 7314 . . . . 5  |-  1o  e.  N.
3 ltpiord 7318 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  N  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  N  <->  1o  e.  N ) )
42, 3mpan 424 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1o  <N  N  <->  1o  e.  N ) )
54biimpa 296 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  1o  e.  N )
6 piord 7310 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  Ord  N )
7 ordsucss 4504 . . . 4  |-  ( Ord 
N  ->  ( 1o  e.  N  ->  suc  1o  C_  N ) )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 1o  e.  N  ->  suc  1o  C_  N ) )
91, 5, 8sylc 62 . 2  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  suc  1o  C_  N )
10 df-2o 6418 . . . 4  |-  2o  =  suc  1o
1110sseq1i 3182 . . 3  |-  ( 2o  C_  N  <->  suc  1o  C_  N
)
12 pinn 7308 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  N  e.  om )
13 2onn 6522 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
14 nnawordex 6530 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  N  e.  om )  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1513, 14mpan 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  om  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1612, 15syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  ( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1716adantr 276 . . 3  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  -> 
( 2o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
1811, 17bitr3id 194 . 2  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  -> 
( suc  1o  C_  N  <->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x )  =  N ) )
199, 18mpbid 147 1  |-  ( ( N  e.  N.  /\  1o  <N  N )  ->  E. x  e.  om  ( 2o  +o  x
)  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456    C_ wss 3130   class class class wbr 4004   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4590  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411    +o coa 6414   N.cnpi 7271    <N clti 7274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-ni 7303  df-lti 7306
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7499
  Copyright terms: Public domain W3C validator