Theorem prarloclemn 7856

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7860. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	|- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> N e. N. )
2		1pi 7672	. . . . 5 |- 1o e. N.
3		ltpiord 7676	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ N e. N. ) -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
4	2, 3	mpan 428	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
5	4	biimpa 296	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> 1o e. N )
6		piord 7668	. . . 4 |- ( N e. N. -> Ord N )
7		ordsucss 4646	. . . 4 |- ( Ord N -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> suc 1o C_ N )
10		df-2o 6678	. . . 4 |- 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3274	. . 3 |- ( 2o C_ N <-> suc 1o C_ N )
12		pinn 7666	. . . . 5 |- ( N e. N. -> N e. om )
13		2onn 6784	. . . . . 6 |- 2o e. om
14		nnawordex 6792	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ N e. om ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
15	13, 14	mpan 428	. . . . 5 |- ( N e. om -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
18	11, 17	bitr3id 194	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( suc 1o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
19	9, 18	mpbid 147	1 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   Ord word 4502   suc csuc 4505   omcom 4732  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   +o coa 6674   N.cnpi 7629   <N clti 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-ni 7661  df-lti 7664

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7857