Theorem prarloclemn 7461

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7465. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	|- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> N e. N. )
2		1pi 7277	. . . . 5 |- 1o e. N.
3		ltpiord 7281	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ N e. N. ) -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
4	2, 3	mpan 422	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
5	4	biimpa 294	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> 1o e. N )
6		piord 7273	. . . 4 |- ( N e. N. -> Ord N )
7		ordsucss 4488	. . . 4 |- ( Ord N -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> suc 1o C_ N )
10		df-2o 6396	. . . 4 |- 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3173	. . 3 |- ( 2o C_ N <-> suc 1o C_ N )
12		pinn 7271	. . . . 5 |- ( N e. N. -> N e. om )
13		2onn 6500	. . . . . 6 |- 2o e. om
14		nnawordex 6508	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ N e. om ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
15	13, 14	mpan 422	. . . . 5 |- ( N e. om -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
18	11, 17	bitr3id 193	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( suc 1o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
19	9, 18	mpbid 146	1 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   +o coa 6392   N.cnpi 7234   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-ni 7266  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7462