Theorem prarloclemn 7440

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7444. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	|- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> N e. N. )
2		1pi 7256	. . . . 5 |- 1o e. N.
3		ltpiord 7260	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ N e. N. ) -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
4	2, 3	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
5	4	biimpa 294	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> 1o e. N )
6		piord 7252	. . . 4 |- ( N e. N. -> Ord N )
7		ordsucss 4481	. . . 4 |- ( Ord N -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> suc 1o C_ N )
10		df-2o 6385	. . . 4 |- 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3168	. . 3 |- ( 2o C_ N <-> suc 1o C_ N )
12		pinn 7250	. . . . 5 |- ( N e. N. -> N e. om )
13		2onn 6489	. . . . . 6 |- 2o e. om
14		nnawordex 6496	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ N e. om ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
15	13, 14	mpan 421	. . . . 5 |- ( N e. om -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
18	11, 17	bitr3id 193	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( suc 1o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
19	9, 18	mpbid 146	1 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   +o coa 6381   N.cnpi 7213   <N clti 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-ni 7245  df-lti 7248

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7441