Theorem prarloclemn 7300

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7304. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	|- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> N e. N. )
2		1pi 7116	. . . . 5 |- 1o e. N.
3		ltpiord 7120	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ N e. N. ) -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
4	2, 3	mpan 420	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
5	4	biimpa 294	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> 1o e. N )
6		piord 7112	. . . 4 |- ( N e. N. -> Ord N )
7		ordsucss 4415	. . . 4 |- ( Ord N -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
9	1, 5, 8	sylc 62	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> suc 1o C_ N )
10		df-2o 6307	. . . 4 |- 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3118	. . 3 |- ( 2o C_ N <-> suc 1o C_ N )
12		pinn 7110	. . . . 5 |- ( N e. N. -> N e. om )
13		2onn 6410	. . . . . 6 |- 2o e. om
14		nnawordex 6417	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ N e. om ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
15	13, 14	mpan 420	. . . . 5 |- ( N e. om -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
17	16	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
18	11, 17	syl5bbr 193	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( suc 1o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
19	9, 18	mpbid 146	1 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   Ord word 4279   suc csuc 4282   omcom 4499  (class class class)co 5767   1oc1o 6299   2oc2o 6300   +o coa 6303   N.cnpi 7073   <N clti 7076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-ni 7105  df-lti 7108

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7301