Theorem prarloclemn 7037

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7041. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	|- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Distinct variable group:   x, N

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> N e. N. )
2		1pi 6853	. . . . 5 |- 1o e. N.
3		ltpiord 6857	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ N e. N. ) -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
4	2, 3	mpan 415	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1o <N N <-> 1o e. N ) )
5	4	biimpa 290	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> 1o e. N )
6		piord 6849	. . . 4 |- ( N e. N. -> Ord N )
7		ordsucss 4311	. . . 4 |- ( Ord N -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1o e. N -> suc 1o C_ N ) )
9	1, 5, 8	sylc 61	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> suc 1o C_ N )
10		df-2o 6164	. . . 4 |- 2o = suc 1o
11	10	sseq1i 3048	. . 3 |- ( 2o C_ N <-> suc 1o C_ N )
12		pinn 6847	. . . . 5 |- ( N e. N. -> N e. om )
13		2onn 6260	. . . . . 6 |- 2o e. om
14		nnawordex 6267	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ N e. om ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
15	13, 14	mpan 415	. . . . 5 |- ( N e. om -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
17	16	adantr 270	. . 3 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( 2o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
18	11, 17	syl5bbr 192	. 2 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> ( suc 1o C_ N <-> E. x e. om ( 2o +o x ) = N ) )
19	9, 18	mpbid 145	1 |- ( ( N e. N. /\ 1o <N N ) -> E. x e. om ( 2o +o x ) = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   C_ wss 2997   class class class wbr 3837   Ord word 4180   suc csuc 4183   omcom 4395  (class class class)co 5634   1oc1o 6156   2oc2o 6157   +o coa 6160   N.cnpi 6810   <N clti 6813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-ni 6842  df-lti 6845

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7038