Theorem ordsucss 4428

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4308	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → Tr 𝐵)
2		trss 4043	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		snssi 3672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 4	jcad 305	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵)))
6		unss 3255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
7	5, 6	syl6ib 160	. . 3 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
8		df-suc 4301	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	sseq1i 3128	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
10	7, 9	syl6ibr 161	. 2 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074   ⊆ wss 3076  {csn 3532  Tr wtr 4034  Ord word 4292  suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4429  tfrlemibfn  6233  tfr1onlembfn  6249  tfrcllembfn  6262  sucinc2  6350  nndomo  6766  prarloclemn  7331  ennnfonelemhom  11964  ennnfonelemrn  11968