Theorem ordsucss 4596

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4469	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → Tr 𝐵)
2		trss 4191	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		snssi 3812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 4	jcad 307	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵)))
6		unss 3378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
7	5, 6	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
8		df-suc 4462	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	sseq1i 3250	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
10	7, 9	imbitrrdi 162	. 2 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  {csn 3666  Tr wtr 4182  Ord word 4453  suc csuc 4456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-uni 3889  df-tr 4183  df-iord 4457  df-suc 4462

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4597  tfrlemibfn  6480  tfr1onlembfn  6496  tfrcllembfn  6509  sucinc2  6600  nndomo  7033  prarloclemn  7694  ennnfonelemhom  12994  ennnfonelemrn  12998