Theorem ordsucss 4462

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4338	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → Tr 𝐵)
2		trss 4071	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		snssi 3700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 4	jcad 305	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵)))
6		unss 3281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
7	5, 6	syl6ib 160	. . 3 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
8		df-suc 4331	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	sseq1i 3154	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
10	7, 9	syl6ibr 161	. 2 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100   ⊆ wss 3102  {csn 3560  Tr wtr 4062  Ord word 4322  suc csuc 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-suc 4331

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4463  tfrlemibfn  6272  tfr1onlembfn  6288  tfrcllembfn  6301  sucinc2  6390  nndomo  6806  prarloclemn  7414  ennnfonelemhom  12131  ennnfonelemrn  12135