Theorem ordsucss 4505

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4380	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → Tr 𝐵)
2		trss 4112	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		snssi 3738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 4	jcad 307	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵)))
6		unss 3311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
7	5, 6	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
8		df-suc 4373	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	sseq1i 3183	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
10	7, 9	imbitrrdi 162	. 2 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  {csn 3594  Tr wtr 4103  Ord word 4364  suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4506  tfrlemibfn  6331  tfr1onlembfn  6347  tfrcllembfn  6360  sucinc2  6449  nndomo  6866  prarloclemn  7500  ennnfonelemhom  12418  ennnfonelemrn  12422