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Theorem tfrlemibfn 6040
Description: The union of  B is a function defined on  x. Lemma for tfrlemi1 6044. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemi1.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
tfrlemi1.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlemibfn  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Distinct variable groups:    f, g, h, w, x, y, z, A    f, F, g, h, w, x, y, z    ph, w, y    w, B, f, g, h, z    ph, g, h, z
Allowed substitution hints:    ph( x, f)    B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
2 tfrlemisucfn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
3 tfrlemi1.3 . . . . . 6  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
4 tfrlemi1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
5 tfrlemi1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibacc 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
76unissd 3659 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
81recsfval 6027 . . . 4  |- recs ( F )  =  U. A
97, 8syl6sseqr 3062 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( F ) )
101tfrlem7 6029 . . 3  |-  Fun recs ( F )
11 funss 4995 . . 3  |-  ( U. B  C_ recs ( F )  ->  ( Fun recs ( F )  ->  Fun  U. B ) )
129, 10, 11mpisyl 1378 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
13 simpr3 949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )
142ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
154ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  x  e.  On )
16 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  x
)
17 onelon 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
1815, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  On )
19 simpr1 947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  Fn  z
)
20 simpr2 948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  e.  A
)
211, 14, 18, 19, 20tfrlemisucfn 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z )
22 dffn2 5124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
2321, 22sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
24 fssxp 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) : suc  z --> _V 
->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
26 eloni 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
2715, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  Ord  x )
28 ordsucss 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  x  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  C_  x ) )
2927, 16, 28sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  suc  z  C_  x )
30 xpss1 4514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  z  C_  x  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  ( x  X.  _V ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  (
x  X.  _V )
)
3225, 31sstrd 3024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
)
33 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
34 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
352tfrlem3-2d 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
3635simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
37 opexg 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
3834, 36, 37sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
39 snexg 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
41 unexg 4240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
4233, 40, 41sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
43 elpwg 3422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4544ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
) )
4632, 45mpbird 165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4713, 46eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4847ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  (
( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V ) ) )
4948exlimdv 1744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5049rexlimdva 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5150abssdv 3084 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) } 
C_  ~P ( x  X.  _V ) )
523, 51syl5eqss 3059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P (
x  X.  _V )
)
53 sspwuni 3794 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ~P ( x  X.  _V )  <->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
5452, 53sylib 120 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
55 dmss 4601 . . . . 5  |-  ( U. B  C_  ( x  X.  _V )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
5654, 55syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
57 dmxpss 4823 . . . 4  |-  dom  (
x  X.  _V )  C_  x
5856, 57syl6ss 3026 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  x )
591, 2, 3, 4, 5tfrlemibxssdm 6039 . . 3  |-  ( ph  ->  x  C_  dom  U. B
)
6058, 59eqssd 3031 . 2  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  x )
61 df-fn 4980 . 2  |-  ( U. B  Fn  x  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  x )
)
6212, 60, 61sylanbrc 408 1  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986    C_ wss 2988   ~Pcpw 3414   {csn 3430   <.cop 3433   U.cuni 3635   Ord word 4161   Oncon0 4162   suc csuc 4164    X. cxp 4407   dom cdm 4409    |` cres 4411   Fun wfun 4971    Fn wfn 4972   -->wf 4973   ` cfv 4977  recscrecs 6016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3930  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-suc 4170  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-fv 4985  df-recs 6017
This theorem is referenced by:  tfrlemibex  6041  tfrlemiubacc  6042  tfrlemiex  6043
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