Theorem tfrlemibfn 6474

Description: The union of B is a function defined on x. Lemma for tfrlemi1 6478. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibfn	|- ( ph -> U. B Fn x )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibacc 6472	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
7	6	unissd 3912	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
8	1	recsfval 6461	. . . 4 |- recs ( F ) = U. A
9	7, 8	sseqtrrdi 3273	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( F ) )
10	1	tfrlem7 6463	. . 3 |- Fun recs ( F )
11		funss 5337	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( F ) -> ( Fun recs ( F ) -> Fun U. B ) )
12	9, 10, 11	mpisyl 1489	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
13		simpr3 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> x e. On )
16		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. x )
17		onelon 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. On )
19		simpr1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
20		simpr2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
21	1, 14, 18, 19, 20	tfrlemisucfn 6470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
22		dffn2 5475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
23	21, 22	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
24		fssxp 5491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
26		eloni 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> Ord x )
27	15, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> Ord x )
28		ordsucss 4596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord x -> ( z e. x -> suc z C_ x ) )
29	27, 16, 28	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ x )
30		xpss1 4829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ x -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
32	25, 31	sstrd 3234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) )
33		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
34		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
35	2	tfrlem3-2d 6458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
36	35	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
37		opexg 4314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
38	34, 36, 37	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
39		snexg 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
41		unexg 4534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
42	33, 40, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
43		elpwg 3657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
46	32, 45	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) )
47	13, 46	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) )
48	47	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
49	48	exlimdv 1865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
50	49	rexlimdva 2648	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
51	50	abssdv 3298	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( x X. _V ) )
52	3, 51	eqsstrid 3270	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( x X. _V ) )
53		sspwuni 4050	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( x X. _V ) <-> U. B C_ ( x X. _V ) )
54	52, 53	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( x X. _V ) )
55		dmss 4922	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( x X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
57		dmxpss 5159	. . . 4 |- dom ( x X. _V ) C_ x
58	56, 57	sstrdi 3236	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ x )
59	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibxssdm 6473	. . 3 |- ( ph -> x C_ dom U. B )
60	58, 59	eqssd 3241	. 2 |- ( ph -> dom U. B = x )
61		df-fn 5321	. 2 |- ( U. B Fn x <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = x ) )
62	12, 60, 61	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> U. B Fn x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   {csn 3666   <.cop 3669   U.cuni 3888   Ord word 4453   Oncon0 4454   suc csuc 4456   X. cxp 4717   dom cdm 4719   |` cres 4721   Fun wfun 5312   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  recscrecs 6450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-recs 6451

This theorem is referenced by:  tfrlemibex  6475  tfrlemiubacc  6476  tfrlemiex  6477