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Theorem tfrlemibfn 6193
Description: The union of  B is a function defined on  x. Lemma for tfrlemi1 6197. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemi1.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
tfrlemi1.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlemibfn  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Distinct variable groups:    f, g, h, w, x, y, z, A    f, F, g, h, w, x, y, z    ph, w, y    w, B, f, g, h, z    ph, g, h, z
Allowed substitution hints:    ph( x, f)    B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
2 tfrlemisucfn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
3 tfrlemi1.3 . . . . . 6  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
4 tfrlemi1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
5 tfrlemi1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibacc 6191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
76unissd 3730 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
81recsfval 6180 . . . 4  |- recs ( F )  =  U. A
97, 8sseqtrrdi 3116 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( F ) )
101tfrlem7 6182 . . 3  |-  Fun recs ( F )
11 funss 5112 . . 3  |-  ( U. B  C_ recs ( F )  ->  ( Fun recs ( F )  ->  Fun  U. B ) )
129, 10, 11mpisyl 1407 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
13 simpr3 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )
142ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
154ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  x  e.  On )
16 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  x
)
17 onelon 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
1815, 16, 17syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  z  e.  On )
19 simpr1 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  Fn  z
)
20 simpr2 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  g  e.  A
)
211, 14, 18, 19, 20tfrlemisucfn 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z )
22 dffn2 5244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
2321, 22sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) : suc  z
--> _V )
24 fssxp 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) : suc  z --> _V 
->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  _V )
)
26 eloni 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
2715, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  Ord  x )
28 ordsucss 4390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord  x  ->  ( z  e.  x  ->  suc  z  C_  x ) )
2927, 16, 28sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  suc  z  C_  x )
30 xpss1 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  z  C_  x  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  ( x  X.  _V ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  _V )  C_  (
x  X.  _V )
)
3225, 31sstrd 3077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
)
33 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
34 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
352tfrlem3-2d 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
3635simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
37 opexg 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
3834, 36, 37sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
39 snexg 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
41 unexg 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
4233, 40, 41sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
43 elpwg 3488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) 
C_  ( x  X.  _V ) ) )
4544ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } )  C_  (
x  X.  _V )
) )
4632, 45mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4713, 46eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V )
)
4847ex 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  (
( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( x  X.  _V ) ) )
4948exlimdv 1775 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  x )  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5049rexlimdva 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P (
x  X.  _V )
) )
5150abssdv 3141 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) } 
C_  ~P ( x  X.  _V ) )
523, 51eqsstrid 3113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P (
x  X.  _V )
)
53 sspwuni 3867 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ~P ( x  X.  _V )  <->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
5452, 53sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  (
x  X.  _V )
)
55 dmss 4708 . . . . 5  |-  ( U. B  C_  ( x  X.  _V )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
5654, 55syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( x  X.  _V ) )
57 dmxpss 4939 . . . 4  |-  dom  (
x  X.  _V )  C_  x
5856, 57sstrdi 3079 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  x )
591, 2, 3, 4, 5tfrlemibxssdm 6192 . . 3  |-  ( ph  ->  x  C_  dom  U. B
)
6058, 59eqssd 3084 . 2  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  x )
61 df-fn 5096 . 2  |-  ( U. B  Fn  x  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  x )
)
6212, 60, 61sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    u. cun 3039    C_ wss 3041   ~Pcpw 3480   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   Ord word 4254   Oncon0 4255   suc csuc 4257    X. cxp 4507   dom cdm 4509    |` cres 4511   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  recscrecs 6169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-recs 6170
This theorem is referenced by:  tfrlemibex  6194  tfrlemiubacc  6195  tfrlemiex  6196
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