Theorem tfrlemibfn 6386

Description: The union of B is a function defined on x. Lemma for tfrlemi1 6390. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibfn	|- ( ph -> U. B Fn x )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibacc 6384	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
7	6	unissd 3863	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
8	1	recsfval 6373	. . . 4 |- recs ( F ) = U. A
9	7, 8	sseqtrrdi 3232	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( F ) )
10	1	tfrlem7 6375	. . 3 |- Fun recs ( F )
11		funss 5277	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( F ) -> ( Fun recs ( F ) -> Fun U. B ) )
12	9, 10, 11	mpisyl 1457	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
13		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> x e. On )
16		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. x )
17		onelon 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. On )
19		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
20		simpr2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
21	1, 14, 18, 19, 20	tfrlemisucfn 6382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
22		dffn2 5409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
23	21, 22	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
24		fssxp 5425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
26		eloni 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> Ord x )
27	15, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> Ord x )
28		ordsucss 4540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord x -> ( z e. x -> suc z C_ x ) )
29	27, 16, 28	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ x )
30		xpss1 4773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ x -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
32	25, 31	sstrd 3193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) )
33		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
34		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
35	2	tfrlem3-2d 6370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
36	35	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
37		opexg 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
38	34, 36, 37	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
39		snexg 4217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
41		unexg 4478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
42	33, 40, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
43		elpwg 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
45	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
46	32, 45	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) )
47	13, 46	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) )
48	47	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
49	48	exlimdv 1833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
50	49	rexlimdva 2614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
51	50	abssdv 3257	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( x X. _V ) )
52	3, 51	eqsstrid 3229	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( x X. _V ) )
53		sspwuni 4001	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( x X. _V ) <-> U. B C_ ( x X. _V ) )
54	52, 53	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( x X. _V ) )
55		dmss 4865	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( x X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
57		dmxpss 5100	. . . 4 |- dom ( x X. _V ) C_ x
58	56, 57	sstrdi 3195	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ x )
59	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibxssdm 6385	. . 3 |- ( ph -> x C_ dom U. B )
60	58, 59	eqssd 3200	. 2 |- ( ph -> dom U. B = x )
61		df-fn 5261	. 2 |- ( U. B Fn x <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = x ) )
62	12, 60, 61	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> U. B Fn x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   Ord word 4397   Oncon0 4398   suc csuc 4400   X. cxp 4661   dom cdm 4663   |` cres 4665   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  recscrecs 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-recs 6363

This theorem is referenced by:  tfrlemibex  6387  tfrlemiubacc  6388  tfrlemiex  6389