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Theorem tfrcllembfn 6070
Description: Lemma for tfrcl 6077. The union of  B is a function defined on  x. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllembfn  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, g, h, z    w, B, g, z    D, h, z    h, G, z   
w, G, y    S, g, h, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w)    B( x, y, f)    D( w)    S( w)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembfn
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . . . . 7  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . . . . 7  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembacc 6068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
1110unissd 3660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
125, 3tfrcllemssrecs 6065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
1311, 12sstrd 3024 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( G ) )
14 tfrfun 6033 . . . 4  |-  Fun recs ( G )
15 funss 4996 . . . 4  |-  ( U. B  C_ recs ( G )  ->  ( Fun recs ( G )  ->  Fun  U. B ) )
1613, 14, 15mpisyl 1378 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
17 simpr3 949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
18 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ph )
193adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  Ord  X )
20 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  D )
218adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  D  e.  X )
2220, 21jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
z  e.  D  /\  D  e.  X )
)
23 ordtr1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
2419, 22, 23sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  X )
2518, 24jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( ph  /\  z  e.  X
) )
262ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Fun  G )
273ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  X )
2843adant1r 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
29283adant1r 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
30 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
31 simpr1 947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
32 simpr2 948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g  e.  A )
331, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32tfrcllemsucfn 6066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
3425, 33sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
35 fssxp 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  S
) )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( suc  z  X.  S ) )
37 ordelon 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  X  /\  D  e.  X )  ->  D  e.  On )
383, 8, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
39 eloni 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  Ord  D )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Ord  D )
4140ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  D )
42 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  D )
43 ordsucss 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord 
D  ->  ( z  e.  D  ->  suc  z  C_  D ) )
4441, 42, 43sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  suc  z  C_  D )
45 xpss1 4515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  z  C_  D  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4736, 46sstrd 3024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( D  X.  S ) )
48 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
49 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5018adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ph )
5124adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
52 simpr1 947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
53 feq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
5453imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
5554albidv 1749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
5643expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
5756alrimiv 1799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
5857ralrimiva 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
59583ad2ant1 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. x  e.  X  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
60 simp2 942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  z  e.  X )
6155, 59, 60rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
62 simp3 943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  g : z --> S )
63 feq1 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
64 fveq2 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
6564eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
6663, 65imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
6766spv 1785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
6861, 62, 67sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S )
6950, 51, 52, 68syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S )
70 opexg 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
7149, 69, 70sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  _V )
72 snexg 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
74 unexg 4241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
7548, 73, 74sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V )
76 elpwg 3423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7847, 77mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S ) )
7917, 78eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) )
8079ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8180exlimdv 1744 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8281rexlimdva 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S
) ) )
8382abssdv 3084 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) } 
C_  ~P ( D  X.  S ) )
846, 83syl5eqss 3059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P ( D  X.  S ) )
85 sspwuni 3795 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~P ( D  X.  S )  <->  U. B  C_  ( D  X.  S
) )
8684, 85sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. B  C_  ( D  X.  S ) )
87 dmss 4602 . . . . . 6  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S ) )
8886, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S
) )
89 dmxpss 4824 . . . . 5  |-  dom  ( D  X.  S )  C_  D
9088, 89syl6ss 3026 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  D )
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembxssdm 6069 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
9290, 91eqssd 3031 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  D )
93 df-fn 4981 . . 3  |-  ( U. B  Fn  D  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  D )
)
9416, 92, 93sylanbrc 408 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  D
)
95 rnss 4632 . . . 4  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S ) )
9686, 95syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S
) )
97 rnxpss 4825 . . 3  |-  ran  ( D  X.  S )  C_  S
9896, 97syl6ss 3026 . 2  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  S )
99 df-f 4982 . 2  |-  ( U. B : D --> S  <->  ( U. B  Fn  D  /\  ran  U. B  C_  S
) )
10094, 98, 99sylanbrc 408 1  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    u. cun 2986    C_ wss 2988   ~Pcpw 3415   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   Ord word 4162   Oncon0 4163   suc csuc 4165    X. cxp 4408   dom cdm 4410   ran crn 4411    |` cres 4412   Fun wfun 4972    Fn wfn 4973   -->wf 4974   ` cfv 4978  recscrecs 6017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3911  df-id 4093  df-iord 4166  df-on 4168  df-suc 4171  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-recs 6018
This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6071  tfrcllemubacc  6072  tfrcllemex  6073
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