Theorem tfrcllembfn 6410

Description: Lemma for tfrcl 6417. The union of B is a function defined on x. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllembfn	|- ( ph -> U. B : D --> S )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, g, h, z   w, B, g, z   D, h, z   h, G, z   w, G, y   S, g, h, z   z, X

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w)   B( x, y, f)   D( w)   S( w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . . . . 7 |- F = recs ( G )
2		tfrcl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun G )
3		tfrcl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> Ord X )
4		tfrcl.ex	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
5		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . 7 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfrcllembacc.3	. . . . . . 7 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfrcllembacc.u	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfrcllembacc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. X )
9		tfrcllembacc.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembacc 6408	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ A )
11	10	unissd 3859	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
12	5, 3	tfrcllemssrecs 6405	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
13	11, 12	sstrd 3189	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ recs ( G ) )
14		tfrfun 6373	. . . 4 |- Fun recs ( G )
15		funss 5273	. . . 4 |- ( U. B C_ recs ( G ) -> ( Fun recs ( G ) -> Fun U. B ) )
16	13, 14, 15	mpisyl 1457	. . 3 |- ( ph -> Fun U. B )
17		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
18		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ph )
19	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> Ord X )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
21	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D e. X )
22	20, 21	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( z e. D /\ D e. X ) )
23		ordtr1 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. X )
25	18, 24	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ph /\ z e. X ) )
26	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
27	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
28	4	3adant1r 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
29	28	3adant1r 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
31		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g : z --> S )
32		simpr2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
33	1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32	tfrcllemsucfn 6406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
34	25, 33	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
35		fssxp 5421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. S ) )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. S ) )
37		ordelon 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Ord X /\ D e. X ) -> D e. On )
38	3, 8, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. On )
39		eloni 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. On -> Ord D )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Ord D )
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord D )
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
43		ordsucss 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Ord D -> ( z e. D -> suc z C_ D ) )
44	41, 42, 43	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ D )
45		xpss1 4769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc z C_ D -> ( suc z X. S ) C_ ( D X. S ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. S ) C_ ( D X. S ) )
47	36, 46	sstrd 3189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) )
48		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
49		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
50	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ph )
51	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
52		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g : z --> S )
53		feq2 5387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
54	53	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
55	54	albidv 1835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
56	4	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
57	56	alrimiv 1885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
58	57	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
59	58	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
60		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> z e. X )
61	55, 59, 60	rspcdva 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
62		simp3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> g : z --> S )
63		feq1 5386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
64		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
65	64	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
66	63, 65	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
67	66	spv 1871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
68	61, 62, 67	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
69	50, 51, 52, 68	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
70		opexg 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
71	49, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
72		snexg 4213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
74		unexg 4474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
75	48, 73, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
76		elpwg 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) ) )
78	47, 77	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) )
79	17, 78	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
81	80	exlimdv 1830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
82	81	rexlimdva 2611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
83	82	abssdv 3253	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( D X. S ) )
84	6, 83	eqsstrid 3225	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ ~P ( D X. S ) )
85		sspwuni 3997	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~P ( D X. S ) <-> U. B C_ ( D X. S ) )
86	84, 85	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> U. B C_ ( D X. S ) )
87		dmss 4861	. . . . . 6 |- ( U. B C_ ( D X. S ) -> dom U. B C_ dom ( D X. S ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( D X. S ) )
89		dmxpss 5096	. . . . 5 |- dom ( D X. S ) C_ D
90	88, 89	sstrdi 3191	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ D )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembxssdm 6409	. . . 4 |- ( ph -> D C_ dom U. B )
92	90, 91	eqssd 3196	. . 3 |- ( ph -> dom U. B = D )
93		df-fn 5257	. . 3 |- ( U. B Fn D <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = D ) )
94	16, 92, 93	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> U. B Fn D )
95		rnss 4892	. . . 4 |- ( U. B C_ ( D X. S ) -> ran U. B C_ ran ( D X. S ) )
96	86, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran U. B C_ ran ( D X. S ) )
97		rnxpss 5097	. . 3 |- ran ( D X. S ) C_ S
98	96, 97	sstrdi 3191	. 2 |- ( ph -> ran U. B C_ S )
99		df-f 5258	. 2 |- ( U. B : D --> S <-> ( U. B Fn D /\ ran U. B C_ S ) )
100	94, 98, 99	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> U. B : D --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   {csn 3618   <.cop 3621   U.cuni 3835   Ord word 4393   Oncon0 4394   suc csuc 4396   X. cxp 4657   dom cdm 4659   ran crn 4660   |` cres 4661   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  recscrecs 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-recs 6358

This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6411  tfrcllemubacc  6412  tfrcllemex  6413