ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllembfn Unicode version

Theorem tfrcllembfn 6222
Description: Lemma for tfrcl 6229. The union of  B is a function defined on  x. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllembfn  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, g, h, z    w, B, g, z    D, h, z    h, G, z   
w, G, y    S, g, h, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w)    B( x, y, f)    D( w)    S( w)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembfn
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . . . . 7  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . . . . 7  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembacc 6220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
1110unissd 3730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
125, 3tfrcllemssrecs 6217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
1311, 12sstrd 3077 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( G ) )
14 tfrfun 6185 . . . 4  |-  Fun recs ( G )
15 funss 5112 . . . 4  |-  ( U. B  C_ recs ( G )  ->  ( Fun recs ( G )  ->  Fun  U. B ) )
1613, 14, 15mpisyl 1407 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
17 simpr3 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
18 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ph )
193adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  Ord  X )
20 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  D )
218adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  D  e.  X )
2220, 21jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
z  e.  D  /\  D  e.  X )
)
23 ordtr1 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  X )
2518, 24jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( ph  /\  z  e.  X
) )
262ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Fun  G )
273ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  X )
2843adant1r 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
29283adant1r 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
30 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
31 simpr1 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
32 simpr2 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g  e.  A )
331, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32tfrcllemsucfn 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
3425, 33sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
35 fssxp 5260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  S
) )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( suc  z  X.  S ) )
37 ordelon 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  X  /\  D  e.  X )  ->  D  e.  On )
383, 8, 37syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
39 eloni 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  Ord  D )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Ord  D )
4140ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  D )
42 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  D )
43 ordsucss 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord 
D  ->  ( z  e.  D  ->  suc  z  C_  D ) )
4441, 42, 43sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  suc  z  C_  D )
45 xpss1 4619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  z  C_  D  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4736, 46sstrd 3077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( D  X.  S ) )
48 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
49 vex 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5018adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ph )
5124adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
52 simpr1 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
53 feq2 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
5453imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
5554albidv 1780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
5643expia 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
5756alrimiv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
5857ralrimiva 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
59583ad2ant1 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. x  e.  X  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
60 simp2 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  z  e.  X )
6155, 59, 60rspcdva 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
62 simp3 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  g : z --> S )
63 feq1 5225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
64 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
6564eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
6663, 65imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
6766spv 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
6861, 62, 67sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S )
6950, 51, 52, 68syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S )
70 opexg 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
7149, 69, 70sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  _V )
72 snexg 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
74 unexg 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
7548, 73, 74sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V )
76 elpwg 3488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7847, 77mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S ) )
7917, 78eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) )
8079ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8180exlimdv 1775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8281rexlimdva 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S
) ) )
8382abssdv 3141 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) } 
C_  ~P ( D  X.  S ) )
846, 83eqsstrid 3113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P ( D  X.  S ) )
85 sspwuni 3867 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~P ( D  X.  S )  <->  U. B  C_  ( D  X.  S
) )
8684, 85sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. B  C_  ( D  X.  S ) )
87 dmss 4708 . . . . . 6  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S ) )
8886, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S
) )
89 dmxpss 4939 . . . . 5  |-  dom  ( D  X.  S )  C_  D
9088, 89sstrdi 3079 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  D )
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembxssdm 6221 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
9290, 91eqssd 3084 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  D )
93 df-fn 5096 . . 3  |-  ( U. B  Fn  D  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  D )
)
9416, 92, 93sylanbrc 413 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  D
)
95 rnss 4739 . . . 4  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S ) )
9686, 95syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S
) )
97 rnxpss 4940 . . 3  |-  ran  ( D  X.  S )  C_  S
9896, 97sstrdi 3079 . 2  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  S )
99 df-f 5097 . 2  |-  ( U. B : D --> S  <->  ( U. B  Fn  D  /\  ran  U. B  C_  S
) )
10094, 98, 99sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660    u. cun 3039    C_ wss 3041   ~Pcpw 3480   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   Ord word 4254   Oncon0 4255   suc csuc 4257    X. cxp 4507   dom cdm 4509   ran crn 4510    |` cres 4511   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   -->wf 5089   ` cfv 5093  recscrecs 6169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-recs 6170
This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6223  tfrcllemubacc  6224  tfrcllemex  6225
  Copyright terms: Public domain W3C validator