Theorem tfrcllembfn 6333

Description: Lemma for tfrcl 6340. The union of B is a function defined on x. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfrcllembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfrcllembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllembfn	|- ( ph -> U. B : D --> S )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, y, z   D, f, g, x, y   f, G, x, y   S, f, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, y, z   B, g, h, z   w, B, g, z   D, h, z   h, G, z   w, G, y   S, g, h, z   z, X

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w)   B( x, y, f)   D( w)   S( w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrcl.f	. . . . . . 7 |- F = recs ( G )
2		tfrcl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun G )
3		tfrcl.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> Ord X )
4		tfrcl.ex	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
5		tfrcllemsucfn.1	. . . . . . 7 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfrcllembacc.3	. . . . . . 7 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfrcllembacc.u	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfrcllembacc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. X )
9		tfrcllembacc.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g : z --> S /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembacc 6331	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ A )
11	10	unissd 3818	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
12	5, 3	tfrcllemssrecs 6328	. . . . 5 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
13	11, 12	sstrd 3157	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ recs ( G ) )
14		tfrfun 6296	. . . 4 |- Fun recs ( G )
15		funss 5215	. . . 4 |- ( U. B C_ recs ( G ) -> ( Fun recs ( G ) -> Fun U. B ) )
16	13, 14, 15	mpisyl 1439	. . 3 |- ( ph -> Fun U. B )
17		simpr3 1000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
18		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ph )
19	3	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> Ord X )
20		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
21	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D e. X )
22	20, 21	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( z e. D /\ D e. X ) )
23		ordtr1 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. X )
25	18, 24	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ph /\ z e. X ) )
26	2	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
27	3	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
28	4	3adant1r 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
29	28	3adant1r 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
30		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
31		simpr1 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g : z --> S )
32		simpr2 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
33	1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32	tfrcllemsucfn 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
34	25, 33	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
35		fssxp 5363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. S ) )
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. S ) )
37		ordelon 4366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Ord X /\ D e. X ) -> D e. On )
38	3, 8, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. On )
39		eloni 4358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. On -> Ord D )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Ord D )
41	40	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord D )
42		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
43		ordsucss 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Ord D -> ( z e. D -> suc z C_ D ) )
44	41, 42, 43	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ D )
45		xpss1 4719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc z C_ D -> ( suc z X. S ) C_ ( D X. S ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. S ) C_ ( D X. S ) )
47	36, 46	sstrd 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) )
48		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
49		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
50	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ph )
51	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
52		simpr1 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g : z --> S )
53		feq2 5329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
54	53	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
55	54	albidv 1817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
56	4	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
57	56	alrimiv 1867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
58	57	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
59	58	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
60		simp2 993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> z e. X )
61	55, 59, 60	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
62		simp3 994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> g : z --> S )
63		feq1 5328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
64		fveq2 5494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
65	64	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
66	63, 65	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
67	66	spv 1853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
68	61, 62, 67	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g : z --> S ) -> ( G ` g ) e. S )
69	50, 51, 52, 68	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( G ` g ) e. S )
70		opexg 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
71	49, 69, 70	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
72		snexg 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
73	71, 72	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
74		unexg 4426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
75	48, 73, 74	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
76		elpwg 3572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. S ) ) )
78	47, 77	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. S ) )
79	17, 78	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) )
80	79	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
81	80	exlimdv 1812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
82	81	rexlimdva 2587	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. S ) ) )
83	82	abssdv 3221	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g : z --> S /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( D X. S ) )
84	6, 83	eqsstrid 3193	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ ~P ( D X. S ) )
85		sspwuni 3955	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~P ( D X. S ) <-> U. B C_ ( D X. S ) )
86	84, 85	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> U. B C_ ( D X. S ) )
87		dmss 4808	. . . . . 6 |- ( U. B C_ ( D X. S ) -> dom U. B C_ dom ( D X. S ) )
88	86, 87	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( D X. S ) )
89		dmxpss 5039	. . . . 5 |- dom ( D X. S ) C_ D
90	88, 89	sstrdi 3159	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ D )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfrcllembxssdm 6332	. . . 4 |- ( ph -> D C_ dom U. B )
92	90, 91	eqssd 3164	. . 3 |- ( ph -> dom U. B = D )
93		df-fn 5199	. . 3 |- ( U. B Fn D <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = D ) )
94	16, 92, 93	sylanbrc 415	. 2 |- ( ph -> U. B Fn D )
95		rnss 4839	. . . 4 |- ( U. B C_ ( D X. S ) -> ran U. B C_ ran ( D X. S ) )
96	86, 95	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran U. B C_ ran ( D X. S ) )
97		rnxpss 5040	. . 3 |- ran ( D X. S ) C_ S
98	96, 97	sstrdi 3159	. 2 |- ( ph -> ran U. B C_ S )
99		df-f 5200	. 2 |- ( U. B : D --> S <-> ( U. B Fn D /\ ran U. B C_ S ) )
100	94, 98, 99	sylanbrc 415	1 |- ( ph -> U. B : D --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   u. cun 3119   C_ wss 3121   ~Pcpw 3564   {csn 3581   <.cop 3584   U.cuni 3794   Ord word 4345   Oncon0 4346   suc csuc 4348   X. cxp 4607   dom cdm 4609   ran crn 4610   |` cres 4611   Fun wfun 5190   Fn wfn 5191   -->wf 5192   ` cfv 5196  recscrecs 6280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-recs 6281

This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6334  tfrcllemubacc  6335  tfrcllemex  6336