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Theorem tfrcllembfn 6371
Description: Lemma for tfrcl 6378. The union of  B is a function defined on  x. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllembfn  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, g, h, z    w, B, g, z    D, h, z    h, G, z   
w, G, y    S, g, h, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w)    B( x, y, f)    D( w)    S( w)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembfn
StepHypRef Expression
1 tfrcl.f . . . . . . 7  |-  F  = recs ( G )
2 tfrcl.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  G )
3 tfrcl.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Ord  X )
4 tfrcl.ex . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
5 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6 tfrcllembacc.3 . . . . . . 7  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7 tfrcllembacc.u . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
8 tfrcllembacc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
9 tfrcllembacc.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembacc 6369 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
1110unissd 3845 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. B  C_  U. A
)
125, 3tfrcllemssrecs 6366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. A  C_ recs ( G ) )
1311, 12sstrd 3177 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. B  C_ recs ( G ) )
14 tfrfun 6334 . . . 4  |-  Fun recs ( G )
15 funss 5247 . . . 4  |-  ( U. B  C_ recs ( G )  ->  ( Fun recs ( G )  ->  Fun  U. B ) )
1613, 14, 15mpisyl 1456 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  U. B )
17 simpr3 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
18 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ph )
193adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  Ord  X )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  D )
218adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  D  e.  X )
2220, 21jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
z  e.  D  /\  D  e.  X )
)
23 ordtr1 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  z  e.  X )
2518, 24jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( ph  /\  z  e.  X
) )
262ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Fun  G )
273ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  X )
2843adant1r 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
29283adant1r 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S
)
30 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
31 simpr1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
32 simpr2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g  e.  A )
331, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32tfrcllemsucfn 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
3425, 33sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S )
35 fssxp 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) : suc  z --> S  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( suc  z  X.  S
) )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( suc  z  X.  S ) )
37 ordelon 4395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  X  /\  D  e.  X )  ->  D  e.  On )
383, 8, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  On )
39 eloni 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  Ord  D )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Ord  D )
4140ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  Ord  D )
42 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  D )
43 ordsucss 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord 
D  ->  ( z  e.  D  ->  suc  z  C_  D ) )
4441, 42, 43sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  suc  z  C_  D )
45 xpss1 4748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( suc  z  C_  D  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( suc  z  X.  S
)  C_  ( D  X.  S ) )
4736, 46sstrd 3177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) 
C_  ( D  X.  S ) )
48 vex 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
49 vex 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5018adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ph )
5124adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  z  e.  X )
52 simpr1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  g : z --> S )
53 feq2 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
5453imbi1d 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
5554albidv 1834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
5643expia 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
5756alrimiv 1884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
5857ralrimiva 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
59583ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. x  e.  X  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
60 simp2 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  z  e.  X )
6155, 59, 60rspcdva 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
62 simp3 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  g : z --> S )
63 feq1 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
64 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
6564eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
6663, 65imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
6766spv 1870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
6861, 62, 67sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S )
6950, 51, 52, 68syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S )
70 opexg 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
7149, 69, 70sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g ) >.  e.  _V )
72 snexg 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
7371, 72syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
74 unexg 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
7548, 73, 74sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V )
76 elpwg 3595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S
)  <->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  C_  ( D  X.  S ) ) )
7847, 77mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  ~P ( D  X.  S ) )
7917, 78eqeltrd 2264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  (
g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) )
8079ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8180exlimdv 1829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S ) ) )
8281rexlimdva 2604 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  h  e.  ~P ( D  X.  S
) ) )
8382abssdv 3241 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) } 
C_  ~P ( D  X.  S ) )
846, 83eqsstrid 3213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P ( D  X.  S ) )
85 sspwuni 3983 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~P ( D  X.  S )  <->  U. B  C_  ( D  X.  S
) )
8684, 85sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. B  C_  ( D  X.  S ) )
87 dmss 4838 . . . . . 6  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S ) )
8886, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  dom  ( D  X.  S
) )
89 dmxpss 5071 . . . . 5  |-  dom  ( D  X.  S )  C_  D
9088, 89sstrdi 3179 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  U. B  C_  D )
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9tfrcllembxssdm 6370 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
9290, 91eqssd 3184 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  U. B  =  D )
93 df-fn 5231 . . 3  |-  ( U. B  Fn  D  <->  ( Fun  U. B  /\  dom  U. B  =  D )
)
9416, 92, 93sylanbrc 417 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  D
)
95 rnss 4869 . . . 4  |-  ( U. B  C_  ( D  X.  S )  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S ) )
9686, 95syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  ran  ( D  X.  S
) )
97 rnxpss 5072 . . 3  |-  ran  ( D  X.  S )  C_  S
9896, 97sstrdi 3179 . 2  |-  ( ph  ->  ran  U. B  C_  S )
99 df-f 5232 . 2  |-  ( U. B : D --> S  <->  ( U. B  Fn  D  /\  ran  U. B  C_  S
) )
10094, 98, 99sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  U. B : D --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979   A.wal 1361    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   {cab 2173   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749    u. cun 3139    C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   {csn 3604   <.cop 3607   U.cuni 3821   Ord word 4374   Oncon0 4375   suc csuc 4377    X. cxp 4636   dom cdm 4638   ran crn 4639    |` cres 4640   Fun wfun 5222    Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228  recscrecs 6318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-recs 6319
This theorem is referenced by:  tfrcllembex  6372  tfrcllemubacc  6373  tfrcllemex  6374
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