Theorem peano5set 16561

Description: Version of peano5 4696 when ω ∩ 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 16555	. . . . 5 ⊢ Ind ω
2		bj-indind 16553	. . . . 5 ⊢ ((Ind ω ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → Ind (ω ∩ 𝐴))
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → Ind (ω ∩ 𝐴))
4		bj-omssind 16556	. . . . 5 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → (Ind (ω ∩ 𝐴) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴)))
5	4	imp 124	. . . 4 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ Ind (ω ∩ 𝐴)) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
6	3, 5	sylan2 286	. . 3 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
7		inss2 3428	. . 3 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
8	6, 7	sstrdi 3239	. 2 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ 𝐴)
9	8	ex 115	1 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  suc csuc 4462  ωcom 4688  Ind wind 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4215  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-bd0 16434  ax-bdor 16437  ax-bdex 16440  ax-bdeq 16441  ax-bdel 16442  ax-bdsb 16443  ax-bdsep 16505

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-suc 4468  df-iom 4689  df-bdc 16462  df-bj-ind 16548

This theorem is referenced by:  bdpeano5  16564  speano5  16565