Theorem peano5set 15670

Description: Version of peano5 4635 when ω ∩ 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 15664	. . . . 5 ⊢ Ind ω
2		bj-indind 15662	. . . . 5 ⊢ ((Ind ω ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → Ind (ω ∩ 𝐴))
3	1, 2	mpan 424	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → Ind (ω ∩ 𝐴))
4		bj-omssind 15665	. . . . 5 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → (Ind (ω ∩ 𝐴) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴)))
5	4	imp 124	. . . 4 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ Ind (ω ∩ 𝐴)) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
6	3, 5	sylan2 286	. . 3 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
7		inss2 3385	. . 3 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
8	6, 7	sstrdi 3196	. 2 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ 𝐴)
9	8	ex 115	1 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  suc csuc 4401  ωcom 4627  Ind wind 15656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4160  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-bd0 15543  ax-bdor 15546  ax-bdex 15549  ax-bdeq 15550  ax-bdel 15551  ax-bdsb 15552  ax-bdsep 15614

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-suc 4407  df-iom 4628  df-bdc 15571  df-bj-ind 15657

This theorem is referenced by:  bdpeano5  15673  speano5  15674