Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  peano5set GIF version

Theorem peano5set 11492
Description: Version of peano5 4403 when ω ∩ 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
peano5set ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem peano5set
StepHypRef Expression
1 bj-omind 11486 . . . . 5 Ind ω
2 bj-indind 11484 . . . . 5 ((Ind ω ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴))) → Ind (ω ∩ 𝐴))
31, 2mpan 415 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → Ind (ω ∩ 𝐴))
4 bj-omssind 11487 . . . . 5 ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → (Ind (ω ∩ 𝐴) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴)))
54imp 122 . . . 4 (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ Ind (ω ∩ 𝐴)) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
63, 5sylan2 280 . . 3 (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴))) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
7 inss2 3219 . . 3 (ω ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
86, 7syl6ss 3035 . 2 (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴))) → ω ⊆ 𝐴)
98ex 113 1 ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  wral 2359  cin 2996  wss 2997  c0 3284  suc csuc 4183  ωcom 4395  Ind wind 11478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-nul 3957  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-bd0 11361  ax-bdor 11364  ax-bdex 11367  ax-bdeq 11368  ax-bdel 11369  ax-bdsb 11370  ax-bdsep 11432
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396  df-bdc 11389  df-bj-ind 11479
This theorem is referenced by:  bdpeano5  11495  speano5  11496
  Copyright terms: Public domain W3C validator