ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem1 GIF version

Theorem phplem1 6548
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
phplem1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1
StepHypRef Expression
1 nnord 4416 . . 3 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2 nordeq 4350 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
3 disjsn2 3500 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
42, 3syl 14 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
51, 4sylan 277 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6 undif4 3342 . . 3 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7 df-suc 4189 . . . . 5 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
87equncomi 3144 . . . 4 suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
98difeq1i 3112 . . 3 (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
106, 9syl6eqr 2138 . 2 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
115, 10syl 14 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  cdif 2994  cun 2995  cin 2996  c0 3284  {csn 3441  Ord word 4180  suc csuc 4183  ωcom 4395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396
This theorem is referenced by:  phplem2  6549
  Copyright terms: Public domain W3C validator