Theorem phplem1 7108

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4736	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		nordeq 4668	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		disjsn2 3754	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5	1, 4	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6		undif4 3573	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7		df-suc 4494	. . . . 5 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
8	7	equncomi 3367	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
9	8	difeq1i 3335	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
10	6, 9	eqtr4di 2285	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	5, 10	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3210   ∪ cun 3211   ∩ cin 3212  ∅c0 3510  {csn 3691  Ord word 4485  suc csuc 4488  ωcom 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-int 3952  df-tr 4211  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715

This theorem is referenced by:  phplem2  7109