ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem1 GIF version

Theorem phplem1 6870
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
phplem1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1
StepHypRef Expression
1 nnord 4626 . . 3 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2 nordeq 4558 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
3 disjsn2 3670 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
42, 3syl 14 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
51, 4sylan 283 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6 undif4 3500 . . 3 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7 df-suc 4386 . . . . 5 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
87equncomi 3296 . . . 4 suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
98difeq1i 3264 . . 3 (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
106, 9eqtr4di 2240 . 2 (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
115, 10syl 14 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  cdif 3141  cun 3142  cin 3143  c0 3437  {csn 3607  Ord word 4377  suc csuc 4380  ωcom 4604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605
This theorem is referenced by:  phplem2  6871
  Copyright terms: Public domain W3C validator