Theorem phplem1 6908

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		nordeq 4576	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		disjsn2 3681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5	1, 4	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6		undif4 3509	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7		df-suc 4402	. . . . 5 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
8	7	equncomi 3305	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
9	8	difeq1i 3273	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
10	6, 9	eqtr4di 2244	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	5, 10	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3150   ∪ cun 3151   ∩ cin 3152  ∅c0 3446  {csn 3618  Ord word 4393  suc csuc 4396  ωcom 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-int 3871  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623

This theorem is referenced by:  phplem2  6909