Theorem phplem1 7147

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 4757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		nordeq 4689	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		disjsn2 3771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5	1, 4	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6		undif4 3587	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7		df-suc 4514	. . . . 5 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
8	7	equncomi 3375	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
9	8	difeq1i 3343	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
10	6, 9	eqtr4di 2289	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	5, 10	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3708  Ord word 4505  suc csuc 4508  ωcom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934  df-int 3969  df-tr 4228  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736

This theorem is referenced by:  phplem2  7148