Theorem phplem2 7158

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	1, 2	opex 4371	. . . . . . 7 |- <. B , A >. e. _V
4	3	snex 4324	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } e. _V
5	1, 2	f1osn 5684	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6		f1oen3g 7044	. . . . . 6 |- ( ( { <. B , A >. } e. _V /\ { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } ) -> { B } ~~ { A } )
7	4, 5, 6	mp2an 430	. . . . 5 |- { B } ~~ { A }
8		difss 3355	. . . . . . 7 |- ( A \ { B } ) C_ A
9	2, 8	ssexi 4273	. . . . . 6 |- ( A \ { B } ) e. _V
10	9	enref 7055	. . . . 5 |- ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } )
11	7, 10	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) )
12		incom 3421	. . . . . 6 |- ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) i^i { A } )
13		ssrin 3456	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } ) )
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } )
15		nnord 4761	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
16		orddisj 4695	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A i^i { A } ) = (/) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A i^i { A } ) = (/) )
18	14, 17	sseqtrid 3298	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) )
19		ss0 3563	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
21	12, 20	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) )
22		disjdif 3599	. . . . 5 |- ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/)
23	21, 22	jctil 312	. . . 4 |- ( A e. om -> ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) )
24		unen 7109	. . . 4 |- ( ( ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) ) /\ ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
25	11, 23, 24	sylancr 418	. . 3 |- ( A e. om -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
26	25	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
27		uncom 3373	. . 3 |- ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) u. { B } )
28		nndifsnid 6784	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
29	27, 28	eqtrid 2283	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = A )
30		phplem1 7157	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
31	26, 29, 30	3brtr3d 4162	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4131   Ord word 4509   suc csuc 4512   omcom 4739   -1-1-onto->wf1o 5379   ~~ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7027

This theorem is used by:  phplem3  7159