Theorem phplem2 6798

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	1, 2	opex 4189	. . . . . . 7 |- <. B , A >. e. _V
4	3	snex 4146	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } e. _V
5	1, 2	f1osn 5454	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6		f1oen3g 6699	. . . . . 6 |- ( ( { <. B , A >. } e. _V /\ { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } ) -> { B } ~~ { A } )
7	4, 5, 6	mp2an 423	. . . . 5 |- { B } ~~ { A }
8		difss 3233	. . . . . . 7 |- ( A \ { B } ) C_ A
9	2, 8	ssexi 4102	. . . . . 6 |- ( A \ { B } ) e. _V
10	9	enref 6710	. . . . 5 |- ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } )
11	7, 10	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) )
12		incom 3299	. . . . . 6 |- ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) i^i { A } )
13		ssrin 3332	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } ) )
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } )
15		nnord 4571	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
16		orddisj 4505	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A i^i { A } ) = (/) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A i^i { A } ) = (/) )
18	14, 17	sseqtrid 3178	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) )
19		ss0 3434	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
21	12, 20	syl5eq 2202	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) )
22		disjdif 3466	. . . . 5 |- ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/)
23	21, 22	jctil 310	. . . 4 |- ( A e. om -> ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) )
24		unen 6761	. . . 4 |- ( ( ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) ) /\ ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
25	11, 23, 24	sylancr 411	. . 3 |- ( A e. om -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
26	25	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
27		uncom 3251	. . 3 |- ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) u. { B } )
28		nndifsnid 6454	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
29	27, 28	syl5eq 2202	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = A )
30		phplem1 6797	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
31	26, 29, 30	3brtr3d 3995	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   \ cdif 3099   u. cun 3100   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3965   Ord word 4322   suc csuc 4325   omcom 4549   -1-1-onto->wf1o 5169   ~~ cen 6683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-en 6686

This theorem is referenced by:  phplem3  6799