ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem2 Unicode version

Theorem phplem2 6798
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1  |-  A  e. 
_V
phplem2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
phplem2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 phplem2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 phplem2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
31, 2opex 4189 . . . . . . 7  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43snex 4146 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. }  e.  _V
51, 2f1osn 5454 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6 f1oen3g 6699 . . . . . 6  |-  ( ( { <. B ,  A >. }  e.  _V  /\  {
<. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } )  ->  { B }  ~~  { A }
)
74, 5, 6mp2an 423 . . . . 5  |-  { B }  ~~  { A }
8 difss 3233 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
92, 8ssexi 4102 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { B }
)  e.  _V
109enref 6710 . . . . 5  |-  ( A 
\  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } )
117, 10pm3.2i 270 . . . 4  |-  ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } ) )
12 incom 3299 . . . . . 6  |-  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )
13 ssrin 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( A  \  { B } )  i^i 
{ A } ) 
C_  ( A  i^i  { A } ) )
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  ( A  i^i  { A }
)
15 nnord 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
16 orddisj 4505 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) )
1814, 17sseqtrid 3178 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/) )
19 ss0 3434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/)  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2112, 20syl5eq 2202 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/) )
22 disjdif 3466 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/)
2321, 22jctil 310 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )
24 unen 6761 . . . 4  |-  ( ( ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B } )  ~~  ( A  \  { B }
) )  /\  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )  -> 
( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
2511, 23, 24sylancr 411 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B }
) ) )
2625adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
27 uncom 3251 . . 3  |-  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )
28 nndifsnid 6454 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
2927, 28syl5eq 2202 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  A )
30 phplem1 6797 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
3126, 29, 303brtr3d 3995 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    \ cdif 3099    u. cun 3100    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   class class class wbr 3965   Ord word 4322   suc csuc 4325   omcom 4549   -1-1-onto->wf1o 5169    ~~ cen 6683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-en 6686
This theorem is referenced by:  phplem3  6799
  Copyright terms: Public domain W3C validator