Theorem phplem2 6755

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	1, 2	opex 4159	. . . . . . 7 |- <. B , A >. e. _V
4	3	snex 4117	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } e. _V
5	1, 2	f1osn 5415	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6		f1oen3g 6656	. . . . . 6 |- ( ( { <. B , A >. } e. _V /\ { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } ) -> { B } ~~ { A } )
7	4, 5, 6	mp2an 423	. . . . 5 |- { B } ~~ { A }
8		difss 3207	. . . . . . 7 |- ( A \ { B } ) C_ A
9	2, 8	ssexi 4074	. . . . . 6 |- ( A \ { B } ) e. _V
10	9	enref 6667	. . . . 5 |- ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } )
11	7, 10	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) )
12		incom 3273	. . . . . 6 |- ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) i^i { A } )
13		ssrin 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } ) )
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } )
15		nnord 4533	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
16		orddisj 4469	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A i^i { A } ) = (/) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A i^i { A } ) = (/) )
18	14, 17	sseqtrid 3152	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) )
19		ss0 3408	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
21	12, 20	syl5eq 2185	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) )
22		disjdif 3440	. . . . 5 |- ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/)
23	21, 22	jctil 310	. . . 4 |- ( A e. om -> ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) )
24		unen 6718	. . . 4 |- ( ( ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) ) /\ ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
25	11, 23, 24	sylancr 411	. . 3 |- ( A e. om -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
26	25	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
27		uncom 3225	. . 3 |- ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) u. { B } )
28		nndifsnid 6411	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
29	27, 28	syl5eq 2185	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = A )
30		phplem1 6754	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
31	26, 29, 30	3brtr3d 3967	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   class class class wbr 3937   Ord word 4292   suc csuc 4295   omcom 4512   -1-1-onto->wf1o 5130   ~~ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-en 6643

This theorem is referenced by:  phplem3  6756