Theorem phplem2 6831

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem2	|- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phplem2.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		phplem2.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	1, 2	opex 4214	. . . . . . 7 |- <. B , A >. e. _V
4	3	snex 4171	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } e. _V
5	1, 2	f1osn 5482	. . . . . 6 |- { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6		f1oen3g 6732	. . . . . 6 |- ( ( { <. B , A >. } e. _V /\ { <. B , A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } ) -> { B } ~~ { A } )
7	4, 5, 6	mp2an 424	. . . . 5 |- { B } ~~ { A }
8		difss 3253	. . . . . . 7 |- ( A \ { B } ) C_ A
9	2, 8	ssexi 4127	. . . . . 6 |- ( A \ { B } ) e. _V
10	9	enref 6743	. . . . 5 |- ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } )
11	7, 10	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) )
12		incom 3319	. . . . . 6 |- ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) i^i { A } )
13		ssrin 3352	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } ) )
14	8, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ ( A i^i { A } )
15		nnord 4596	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> Ord A )
16		orddisj 4530	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( A i^i { A } ) = (/) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A i^i { A } ) = (/) )
18	14, 17	sseqtrid 3197	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) )
19		ss0 3455	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) C_ (/) -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( ( A \ { B } ) i^i { A } ) = (/) )
21	12, 20	eqtrid 2215	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) )
22		disjdif 3487	. . . . 5 |- ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/)
23	21, 22	jctil 310	. . . 4 |- ( A e. om -> ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) )
24		unen 6794	. . . 4 |- ( ( ( { B } ~~ { A } /\ ( A \ { B } ) ~~ ( A \ { B } ) ) /\ ( ( { B } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) /\ ( { A } i^i ( A \ { B } ) ) = (/) ) ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
25	11, 23, 24	sylancr 412	. . 3 |- ( A e. om -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
26	25	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) ~~ ( { A } u. ( A \ { B } ) ) )
27		uncom 3271	. . 3 |- ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = ( ( A \ { B } ) u. { B } )
28		nndifsnid 6486	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
29	27, 28	eqtrid 2215	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { B } u. ( A \ { B } ) ) = A )
30		phplem1 6830	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> ( { A } u. ( A \ { B } ) ) = ( suc A \ { B } ) )
31	26, 29, 30	3brtr3d 4020	1 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   -1-1-onto->wf1o 5197   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719

This theorem is referenced by:  phplem3  6832