ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem2 Unicode version

Theorem phplem2 6831
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1  |-  A  e. 
_V
phplem2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
phplem2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 phplem2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 phplem2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
31, 2opex 4214 . . . . . . 7  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43snex 4171 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. }  e.  _V
51, 2f1osn 5482 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6 f1oen3g 6732 . . . . . 6  |-  ( ( { <. B ,  A >. }  e.  _V  /\  {
<. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } )  ->  { B }  ~~  { A }
)
74, 5, 6mp2an 424 . . . . 5  |-  { B }  ~~  { A }
8 difss 3253 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
92, 8ssexi 4127 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { B }
)  e.  _V
109enref 6743 . . . . 5  |-  ( A 
\  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } )
117, 10pm3.2i 270 . . . 4  |-  ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } ) )
12 incom 3319 . . . . . 6  |-  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )
13 ssrin 3352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( A  \  { B } )  i^i 
{ A } ) 
C_  ( A  i^i  { A } ) )
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  ( A  i^i  { A }
)
15 nnord 4596 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
16 orddisj 4530 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) )
1814, 17sseqtrid 3197 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/) )
19 ss0 3455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/)  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2112, 20eqtrid 2215 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/) )
22 disjdif 3487 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/)
2321, 22jctil 310 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )
24 unen 6794 . . . 4  |-  ( ( ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B } )  ~~  ( A  \  { B }
) )  /\  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )  -> 
( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
2511, 23, 24sylancr 412 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B }
) ) )
2625adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
27 uncom 3271 . . 3  |-  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )
28 nndifsnid 6486 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
2927, 28eqtrid 2215 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  A )
30 phplem1 6830 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
3126, 29, 303brtr3d 4020 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    \ cdif 3118    u. cun 3119    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Ord word 4347   suc csuc 4350   omcom 4574   -1-1-onto->wf1o 5197    ~~ cen 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719
This theorem is referenced by:  phplem3  6832
  Copyright terms: Public domain W3C validator