ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem2 Unicode version

Theorem phplem2 6853
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus one of its elements. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1  |-  A  e. 
_V
phplem2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
phplem2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )

Proof of Theorem phplem2
StepHypRef Expression
1 phplem2.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 phplem2.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
31, 2opex 4230 . . . . . . 7  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43snex 4186 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. }  e.  _V
51, 2f1osn 5502 . . . . . 6  |-  { <. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A }
6 f1oen3g 6754 . . . . . 6  |-  ( ( { <. B ,  A >. }  e.  _V  /\  {
<. B ,  A >. } : { B } -1-1-onto-> { A } )  ->  { B }  ~~  { A }
)
74, 5, 6mp2an 426 . . . . 5  |-  { B }  ~~  { A }
8 difss 3262 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
92, 8ssexi 4142 . . . . . 6  |-  ( A 
\  { B }
)  e.  _V
109enref 6765 . . . . 5  |-  ( A 
\  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } )
117, 10pm3.2i 272 . . . 4  |-  ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B }
)  ~~  ( A  \  { B } ) )
12 incom 3328 . . . . . 6  |-  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )
13 ssrin 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  A  ->  ( ( A  \  { B } )  i^i 
{ A } ) 
C_  ( A  i^i  { A } ) )
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  ( A  i^i  { A }
)
15 nnord 4612 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
16 orddisj 4546 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  i^i  { A } )  =  (/) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  i^i  { A }
)  =  (/) )
1814, 17sseqtrid 3206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/) )
19 ss0 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { B } )  i^i  { A } )  C_  (/)  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  \  { B } )  i^i  { A } )  =  (/) )
2112, 20eqtrid 2222 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( { A }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/) )
22 disjdif 3496 . . . . 5  |-  ( { B }  i^i  ( A  \  { B }
) )  =  (/)
2321, 22jctil 312 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )
24 unen 6816 . . . 4  |-  ( ( ( { B }  ~~  { A }  /\  ( A  \  { B } )  ~~  ( A  \  { B }
) )  /\  (
( { B }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/)  /\  ( { A }  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  (/) ) )  -> 
( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
2511, 23, 24sylancr 414 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B }
) ) )
2625adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  ~~  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) ) )
27 uncom 3280 . . 3  |-  ( { B }  u.  ( A  \  { B }
) )  =  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )
28 nndifsnid 6508 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
2927, 28eqtrid 2222 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { B }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  A )
30 phplem1 6852 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  ( { A }  u.  ( A  \  { B } ) )  =  ( suc  A  \  { B } ) )
3126, 29, 303brtr3d 4035 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  A )  ->  A  ~~  ( suc 
A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2738    \ cdif 3127    u. cun 3128    i^i cin 3129    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004   Ord word 4363   suc csuc 4366   omcom 4590   -1-1-onto->wf1o 5216    ~~ cen 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741
This theorem is referenced by:  phplem3  6854
  Copyright terms: Public domain W3C validator