Theorem cnmptcom 12669

Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptcom.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptcom.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptcom.6	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptcom	|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, X, y   ph, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptcom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmptcom.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 12633	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmptcom.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
6		cntop2 12573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8		toptopon2 12388	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
9	7, 8	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
10		cnf2 12576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
11	4, 9, 5, 10	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
12		eqid 2157	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpo 6146	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
14		ralcom 2620	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
15	13, 14	bitr3i 185	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
16	11, 15	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
17		eqid 2157	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A )
18	17	fmpo 6146	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
19	16, 18	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
20	19	ffnd 5319	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
21		fnovim 5926	. . . 4 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
23		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ y z
24		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ x z
25		nfcv 2299	. . . . . . 7 |- F/_ x w
26		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
27		nfcv 2299	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
28		nfmpo2 5886	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
29	27, 28, 23	nfov 5848	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
30		nfmpo1 5885	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A )
31	23, 30, 27	nfov 5848	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
32	29, 31	nfeq 2307	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
33	26, 32	nfim 1552	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
34		nfv 1508	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
35		nfmpo1 5885	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
36	25, 35, 24	nfov 5848	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
37		nfmpo2 5886	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A )
38	24, 37, 25	nfov 5848	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
39	36, 38	nfeq 2307	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
40	34, 39	nfim 1552	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
41		oveq2 5829	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
42		oveq1 5828	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
43	41, 42	eqeq12d 2172	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
44	43	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) )
45		oveq1 5828	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
46		oveq2 5829	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
47	45, 46	eqeq12d 2172	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
48	47	imbi2d 229	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) )
49		rsp2 2507	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) )
50	49, 16	syl11 31	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) )
51	12	ovmpt4g 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
52	51	3com12 1189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	17	ovmpt4g 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A )
54	52, 53	eqtr4d 2193	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
55	54	3expia 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
56	50, 55	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
57	23, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56	vtocl2gaf 2779	. . . . . 6 |- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
58	57	com12 30	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
59	58	3impib 1183	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
60	59	mpoeq3dva 5882	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
61	22, 60	eqtr4d 2193	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) )
62	2, 1	cnmpt2nd 12660	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
63	2, 1	cnmpt1st 12659	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
64	2, 1, 62, 63, 5	cnmpt22f 12666	. 2 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )
65	61, 64	eqeltrd 2234	1 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   U.cuni 3772   X. cxp 4583   Fn wfn 5164   -->wf 5165   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   e. cmpo 5823   Topctop 12366  TopOnctopon 12379   Cn ccn 12556   tX ctx 12623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-map 6592  df-topgen 12343  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-cn 12559  df-tx 12624

This theorem is referenced by: (None)