Theorem cnmptcom 14466

Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptcom.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptcom.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptcom.6	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptcom	|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, X, y   ph, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptcom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmptcom.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 14430	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmptcom.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
6		cntop2 14370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8		toptopon2 14187	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
10		cnf2 14373	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
11	4, 9, 5, 10	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
12		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpo 6254	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
14		ralcom 2657	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
15	13, 14	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
16	11, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
17		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A )
18	17	fmpo 6254	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
20	19	ffnd 5404	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
21		fnovim 6027	. . . 4 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
23		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ y z
24		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ x z
25		nfcv 2336	. . . . . . 7 |- F/_ x w
26		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
27		nfcv 2336	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
28		nfmpo2 5986	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
29	27, 28, 23	nfov 5948	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
30		nfmpo1 5985	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A )
31	23, 30, 27	nfov 5948	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
32	29, 31	nfeq 2344	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
33	26, 32	nfim 1583	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
34		nfv 1539	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
35		nfmpo1 5985	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
36	25, 35, 24	nfov 5948	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
37		nfmpo2 5986	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A )
38	24, 37, 25	nfov 5948	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
39	36, 38	nfeq 2344	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
40	34, 39	nfim 1583	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
41		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
42		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
43	41, 42	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
44	43	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) )
45		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
46		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
47	45, 46	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
48	47	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) )
49		rsp2 2544	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) )
50	49, 16	syl11 31	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) )
51	12	ovmpt4g 6041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
52	51	3com12 1209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	17	ovmpt4g 6041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A )
54	52, 53	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
55	54	3expia 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
56	50, 55	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
57	23, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56	vtocl2gaf 2827	. . . . . 6 |- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
58	57	com12 30	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
59	58	3impib 1203	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
60	59	mpoeq3dva 5982	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
61	22, 60	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) )
62	2, 1	cnmpt2nd 14457	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
63	2, 1	cnmpt1st 14456	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
64	2, 1, 62, 63, 5	cnmpt22f 14463	. 2 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )
65	61, 64	eqeltrd 2270	1 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   U.cuni 3835   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   tX ctx 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-topgen 12871  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cn 14356  df-tx 14421

This theorem is referenced by: (None)