Theorem cnmptcom 15163

Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptcom.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptcom.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptcom.6	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptcom	|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, X, y   ph, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptcom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmptcom.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 15127	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmptcom.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
6		cntop2 15067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8		toptopon2 14884	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
10		cnf2 15070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
11	4, 9, 5, 10	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
12		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpo 6397	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
14		ralcom 2706	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
15	13, 14	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
16	11, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
17		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A )
18	17	fmpo 6397	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
20	19	ffnd 5509	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
21		fnovim 6162	. . . 4 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
23		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ y z
24		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x z
25		nfcv 2384	. . . . . . 7 |- F/_ x w
26		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
27		nfcv 2384	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
28		nfmpo2 6121	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
29	27, 28, 23	nfov 6080	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
30		nfmpo1 6120	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A )
31	23, 30, 27	nfov 6080	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
32	29, 31	nfeq 2392	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
33	26, 32	nfim 1621	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
34		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
35		nfmpo1 6120	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
36	25, 35, 24	nfov 6080	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
37		nfmpo2 6121	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A )
38	24, 37, 25	nfov 6080	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
39	36, 38	nfeq 2392	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
40	34, 39	nfim 1621	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
41		oveq2 6058	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
42		oveq1 6057	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
43	41, 42	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
44	43	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) )
45		oveq1 6057	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
46		oveq2 6058	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
47	45, 46	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
48	47	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) )
49		rsp2 2592	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) )
50	49, 16	syl11 31	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) )
51	12	ovmpt4g 6176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
52	51	3com12 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	17	ovmpt4g 6176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A )
54	52, 53	eqtr4d 2268	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
55	54	3expia 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
56	50, 55	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
57	23, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56	vtocl2gaf 2882	. . . . . 6 |- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
58	57	com12 30	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
59	58	3impib 1228	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
60	59	mpoeq3dva 6117	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
61	22, 60	eqtr4d 2268	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) )
62	2, 1	cnmpt2nd 15154	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
63	2, 1	cnmpt1st 15153	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
64	2, 1, 62, 63, 5	cnmpt22f 15160	. 2 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )
65	61, 64	eqeltrd 2309	1 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   U.cuni 3914   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050   tX ctx 15117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053  df-tx 15118

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