Theorem cnmptcom 14534

Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptcom.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptcom.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptcom.6	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptcom	|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, X, y   ph, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptcom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmptcom.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 14498	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmptcom.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
6		cntop2 14438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8		toptopon2 14255	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
10		cnf2 14441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
11	4, 9, 5, 10	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
12		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
13	12	fmpo 6259	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
14		ralcom 2660	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
15	13, 14	bitr3i 186	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
16	11, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
17		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A )
18	17	fmpo 6259	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
19	16, 18	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
20	19	ffnd 5408	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
21		fnovim 6031	. . . 4 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
23		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ y z
24		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x z
25		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ x w
26		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
27		nfcv 2339	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
28		nfmpo2 5990	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
29	27, 28, 23	nfov 5952	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
30		nfmpo1 5989	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A )
31	23, 30, 27	nfov 5952	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
32	29, 31	nfeq 2347	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
33	26, 32	nfim 1586	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
34		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
35		nfmpo1 5989	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
36	25, 35, 24	nfov 5952	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
37		nfmpo2 5990	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A )
38	24, 37, 25	nfov 5952	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
39	36, 38	nfeq 2347	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
40	34, 39	nfim 1586	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
41		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
42		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
43	41, 42	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
44	43	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) )
45		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
46		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
47	45, 46	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
48	47	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) )
49		rsp2 2547	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) )
50	49, 16	syl11 31	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) )
51	12	ovmpt4g 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
52	51	3com12 1209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
53	17	ovmpt4g 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A )
54	52, 53	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
55	54	3expia 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
56	50, 55	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
57	23, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56	vtocl2gaf 2831	. . . . . 6 |- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
58	57	com12 30	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
59	58	3impib 1203	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
60	59	mpoeq3dva 5986	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
61	22, 60	eqtr4d 2232	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) )
62	2, 1	cnmpt2nd 14525	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
63	2, 1	cnmpt1st 14524	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
64	2, 1, 62, 63, 5	cnmpt22f 14531	. 2 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )
65	61, 64	eqeltrd 2273	1 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   U.cuni 3839   X. cxp 4661   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   tX ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-tx 14489

This theorem is referenced by: (None)