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Theorem cnmptcom 12362
Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptcom.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptcom.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptcom.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptcom  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, L   
x, X, y    ph, x, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptcom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptcom.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 12326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmptcom.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
6 cntop2 12266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
8 toptopon2 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
97, 8sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
10 cnf2 12269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
114, 9, 5, 10syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
12 eqid 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpo 6065 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
14 ralcom 2569 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1513, 14bitr3i 185 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1611, 15sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
17 eqid 2115 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
1817fmpo 6065 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
1916, 18sylib 121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
2019ffnd 5241 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X ) )
21 fnovim 5845 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X )  -> 
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
2220, 21syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
23 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ y
z
24 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ x
z
25 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ x w
26 nfv 1491 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
27 nfcv 2256 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
x
28 nfmpo2 5805 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
2927, 28, 23nfov 5767 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
30 nfmpo1 5804 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3123, 30, 27nfov 5767 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3229, 31nfeq 2264 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3326, 32nfim 1534 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
34 nfv 1491 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
35 nfmpo1 5804 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
3625, 35, 24nfov 5767 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
37 nfmpo2 5805 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3824, 37, 25nfov 5767 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
3936, 38nfeq 2264 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
4034, 39nfim 1534 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
41 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
42 oveq1 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
4341, 42eqeq12d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
4443imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) ) )
45 oveq1 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
46 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
4745, 46eqeq12d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( w ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
4847imbi2d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) ) )
49 rsp2 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  ->  (
( y  e.  Y  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  U. L ) )
5049, 16syl11 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  A  e.  U. L ) )
5112ovmpt4g 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
52513com12 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5317ovmpt4g 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
5452, 53eqtr4d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
55543expia 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  U. L  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
5650, 55syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
5723, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56vtocl2gaf 2725 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
5857com12 30 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
59583impib 1162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y  /\  w  e.  X
)  ->  ( w
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
6059mpoeq3dva 5801 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
6122, 60eqtr4d 2151 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) ) )
622, 1cnmpt2nd 12353 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  w )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
632, 1cnmpt1st 12352 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  z )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
642, 1, 62, 63, 5cnmpt22f 12359 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
6561, 64eqeltrd 2192 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   U.cuni 3704    X. cxp 4505    Fn wfn 5086   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    e. cmpo 5742   Topctop 12059  TopOnctopon 12072    Cn ccn 12249    tX ctx 12316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-map 6510  df-topgen 12036  df-top 12060  df-topon 12073  df-bases 12105  df-cn 12252  df-tx 12317
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