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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cnmptcom | Unicode version |
Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
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cnmptcom.3 |
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cnmptcom.4 |
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cnmptcom.6 |
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Ref | Expression |
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cnmptcom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnmptcom.3 |
. . . . . . . . 9
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2 | cnmptcom.4 |
. . . . . . . . 9
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3 | txtopon 13693 |
. . . . . . . . 9
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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5 | cnmptcom.6 |
. . . . . . . . . 10
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6 | cntop2 13633 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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8 | toptopon2 13450 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | sylib 122 |
. . . . . . . 8
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10 | cnf2 13636 |
. . . . . . . 8
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11 | 4, 9, 5, 10 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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12 | eqid 2177 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | fmpo 6201 |
. . . . . . . 8
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14 | ralcom 2640 |
. . . . . . . 8
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15 | 13, 14 | bitr3i 186 |
. . . . . . 7
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16 | 11, 15 | sylib 122 |
. . . . . 6
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17 | eqid 2177 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | fmpo 6201 |
. . . . . 6
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19 | 16, 18 | sylib 122 |
. . . . 5
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20 | 19 | ffnd 5366 |
. . . 4
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21 | fnovim 5982 |
. . . 4
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . 3
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23 | nfcv 2319 |
. . . . . . 7
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24 | nfcv 2319 |
. . . . . . 7
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25 | nfcv 2319 |
. . . . . . 7
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26 | nfv 1528 |
. . . . . . . 8
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27 | nfcv 2319 |
. . . . . . . . . 10
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28 | nfmpo2 5942 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28, 23 | nfov 5904 |
. . . . . . . . 9
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30 | nfmpo1 5941 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 23, 30, 27 | nfov 5904 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 31 | nfeq 2327 |
. . . . . . . 8
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33 | 26, 32 | nfim 1572 |
. . . . . . 7
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34 | nfv 1528 |
. . . . . . . 8
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35 | nfmpo1 5941 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 25, 35, 24 | nfov 5904 |
. . . . . . . . 9
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37 | nfmpo2 5942 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 24, 37, 25 | nfov 5904 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 38 | nfeq 2327 |
. . . . . . . 8
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40 | 34, 39 | nfim 1572 |
. . . . . . 7
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41 | oveq2 5882 |
. . . . . . . . 9
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42 | oveq1 5881 |
. . . . . . . . 9
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43 | 41, 42 | eqeq12d 2192 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | imbi2d 230 |
. . . . . . 7
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45 | oveq1 5881 |
. . . . . . . . 9
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46 | oveq2 5882 |
. . . . . . . . 9
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47 | 45, 46 | eqeq12d 2192 |
. . . . . . . 8
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48 | 47 | imbi2d 230 |
. . . . . . 7
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49 | rsp2 2527 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49, 16 | syl11 31 |
. . . . . . . 8
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51 | 12 | ovmpt4g 5996 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 51 | 3com12 1207 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 17 | ovmpt4g 5996 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 52, 53 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . 9
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55 | 54 | 3expia 1205 |
. . . . . . . 8
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56 | 50, 55 | syld 45 |
. . . . . . 7
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57 | 23, 24, 25, 33, 40, 44, 48, 56 | vtocl2gaf 2804 |
. . . . . 6
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58 | 57 | com12 30 |
. . . . 5
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59 | 58 | 3impib 1201 |
. . . 4
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60 | 59 | mpoeq3dva 5938 |
. . 3
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61 | 22, 60 | eqtr4d 2213 |
. 2
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62 | 2, 1 | cnmpt2nd 13720 |
. . 3
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63 | 2, 1 | cnmpt1st 13719 |
. . 3
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64 | 2, 1, 62, 63, 5 | cnmpt22f 13726 |
. 2
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65 | 61, 64 | eqeltrd 2254 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-id 4293 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-map 6649 df-topgen 12703 df-top 13429 df-topon 13442 df-bases 13474 df-cn 13619 df-tx 13684 |
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