Theorem isocnv2 5855

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5850	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofn 5501	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
4		isof1o 5850	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
5	4, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H Fn A )
6		ralcom 2657	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
7		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8		vex 2763	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4845	. . . . . . . . 9 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11		funfvex 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( H ` x ) e. _V )
12	11	funfni 5354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
14		funfvex 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ y e. dom H ) -> ( H ` y ) e. _V )
15	14	funfni 5354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
17		brcnvg 4843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. _V /\ ( H ` y ) e. _V ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
19	10, 18	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
20	19	ralbidva 2490	. . . . . 6 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
21	20	ralbidva 2490	. . . . 5 |- ( H Fn A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
22	6, 21	bitr4id 199	. . . 4 |- ( H Fn A -> ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
23	22	anbi2d 464	. . 3 |- ( H Fn A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) ) )
24		df-isom 5263	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
25		df-isom 5263	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4g 223	. 2 |- ( H Fn A -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) ) )
27	3, 5, 26	pm5.21nii 705	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   `'ccnv 4658   Fn wfn 5249   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254   Isom wiso 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263

This theorem is referenced by:  infisoti  7091