Theorem isocnv2 5859

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5854	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofn 5505	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
4		isof1o 5854	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
5	4, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H Fn A )
6		ralcom 2660	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
7		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4849	. . . . . . . . 9 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11		funfvex 5575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( H ` x ) e. _V )
12	11	funfni 5358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
14		funfvex 5575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ y e. dom H ) -> ( H ` y ) e. _V )
15	14	funfni 5358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
17		brcnvg 4847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. _V /\ ( H ` y ) e. _V ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
19	10, 18	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
20	19	ralbidva 2493	. . . . . 6 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
21	20	ralbidva 2493	. . . . 5 |- ( H Fn A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
22	6, 21	bitr4id 199	. . . 4 |- ( H Fn A -> ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
23	22	anbi2d 464	. . 3 |- ( H Fn A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) ) )
24		df-isom 5267	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
25		df-isom 5267	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4g 223	. 2 |- ( H Fn A -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) ) )
27	3, 5, 26	pm5.21nii 705	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   `'ccnv 4662   Fn wfn 5253   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258   Isom wiso 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267

This theorem is referenced by:  infisoti  7098