Theorem isocnv2 5935

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5930	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofn 5572	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
4		isof1o 5930	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
5	4, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H Fn A )
6		ralcom 2694	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
7		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8		vex 2802	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4904	. . . . . . . . 9 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11		funfvex 5643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( H ` x ) e. _V )
12	11	funfni 5422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
14		funfvex 5643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ y e. dom H ) -> ( H ` y ) e. _V )
15	14	funfni 5422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
16	15	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
17		brcnvg 4902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. _V /\ ( H ` y ) e. _V ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
19	10, 18	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
20	19	ralbidva 2526	. . . . . 6 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
21	20	ralbidva 2526	. . . . 5 |- ( H Fn A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
22	6, 21	bitr4id 199	. . . 4 |- ( H Fn A -> ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
23	22	anbi2d 464	. . 3 |- ( H Fn A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) ) )
24		df-isom 5326	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
25		df-isom 5326	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4g 223	. 2 |- ( H Fn A -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) ) )
27	3, 5, 26	pm5.21nii 709	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   `'ccnv 4717   Fn wfn 5312   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317   Isom wiso 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326

This theorem is referenced by:  infisoti  7195