Theorem isocnv2 6008

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 6003	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofn 5635	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
4		isof1o 6003	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
5	4, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H Fn A )
6		ralcom 2714	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
7		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4958	. . . . . . . . 9 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11		funfvex 5707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( H ` x ) e. _V )
12	11	funfni 5478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
14		funfvex 5707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ y e. dom H ) -> ( H ` y ) e. _V )
15	14	funfni 5478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
16	15	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
17		brcnvg 4956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. _V /\ ( H ` y ) e. _V ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
19	10, 18	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
20	19	ralbidva 2546	. . . . . 6 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
21	20	ralbidva 2546	. . . . 5 |- ( H Fn A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
22	6, 21	bitr4id 199	. . . 4 |- ( H Fn A -> ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
23	22	anbi2d 468	. . 3 |- ( H Fn A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) ) )
24		df-isom 5381	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
25		df-isom 5381	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4g 223	. 2 |- ( H Fn A -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) ) )
27	3, 5, 26	pm5.21nii 716	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   Fn wfn 5367   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372   Isom wiso 5373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381

This theorem is referenced by:  infisoti  7362