Theorem isocnv2 5721

Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv2	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5716	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1ofn 5376	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
4		isof1o 5716	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
5	4, 2	syl 14	. 2 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) -> H Fn A )
6		ralcom 2597	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
7		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
8		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4730	. . . . . . . . 9 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11		funfvex 5446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( H ` x ) e. _V )
12	11	funfni 5231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
13	12	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` x ) e. _V )
14		funfvex 5446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ y e. dom H ) -> ( H ` y ) e. _V )
15	14	funfni 5231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
16	15	adantlr 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. _V )
17		brcnvg 4728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` x ) e. _V /\ ( H ` y ) e. _V ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` x ) `' S ( H ` y ) <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) )
19	10, 18	bibi12d 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( H Fn A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
20	19	ralbidva 2434	. . . . . 6 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
21	20	ralbidva 2434	. . . . 5 |- ( H Fn A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
22	6, 21	bitr4id 198	. . . 4 |- ( H Fn A -> ( A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
23	22	anbi2d 460	. . 3 |- ( H Fn A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) ) )
24		df-isom 5140	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. y e. A A. x e. A ( y R x <-> ( H ` y ) S ( H ` x ) ) ) )
25		df-isom 5140	. . 3 |- ( H Isom `' R , `' S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x `' R y <-> ( H ` x ) `' S ( H ` y ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4g 222	. 2 |- ( H Fn A -> ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) ) )
27	3, 5, 26	pm5.21nii 694	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom `' R , `' S ( A , B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   Fn wfn 5126   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131   Isom wiso 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140

This theorem is referenced by:  infisoti  6927