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Theorem rexfiuz 11612
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, k, n, A   ph, j
Allowed substitution hints:   ph( k, n)
Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2731 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. (/) ph ) )
21rexralbidv 2559 . . 3 |- ( x = (/) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) )
3 raleq 2731 . . 3 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42, 3bibi12d 235 . 2 |- ( x = (/) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
5 raleq 2731 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. y ph ) )
65rexralbidv 2559 . . 3 |- ( x = y -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph ) )
7 raleq 2731 . . 3 |- ( x = y -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
86, 7bibi12d 235 . 2 |- ( x = y -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
9 raleq 2731 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
109rexralbidv 2559 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
11 raleq 2731 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 235 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
13 raleq 2731 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. A ph ) )
1413rexralbidv 2559 . . 3 |- ( x = A -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph ) )
15 raleq 2731 . . 3 |- ( x = A -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 235 . 2 |- ( x = A -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
17 0z 9534 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
18 elex2 2820 . . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> E. j j e. ZZ )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 |- E. j j e. ZZ
20 ral0 3598 . . . . 5 |- A. n e. (/) ph
2120rgen2w 2589 . . . 4 |- A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
22 r19.2m 3583 . . . 4 |- ( ( E. j j e. ZZ /\ A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph )
2319, 21, 22mp2an 426 . . 3 |- E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
24 ral0 3598 . . 3 |- A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph
2523, 242th 174 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26 anbi1 466 . . . 4 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
27 rexanuz 11611 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
28 ralunb 3390 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
2928ralbii 2539 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
3029rexbii 2540 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
31 ralsnsg 3710 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
32 sbcrex 3112 . . . . . . . . 9 |- ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
33 ralcom 2697 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
34 ralsnsg 3710 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3533, 34bitrid 192 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3635rexbidv 2534 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3732, 36bitr4id 199 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3831, 37bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3938elv 2807 . . . . . 6 |- ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph )
4039anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 212 . . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42 ralunb 3390 . . . 4 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 223 . . 3 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4443a1i 9 . 2 |- ( y e. Fin -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 7121 1 |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   [.wsbc 3032   u. cun 3199   (/)c0 3496   {csn 3673   ` cfv 5333   Fincfn 6952   0cc0 8075   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800
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