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Theorem rexfiuz 11001
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, k, n, A   ph, j
Allowed substitution hints:   ph( k, n)
Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2673 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. (/) ph ) )
21rexralbidv 2503 . . 3 |- ( x = (/) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) )
3 raleq 2673 . . 3 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42, 3bibi12d 235 . 2 |- ( x = (/) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
5 raleq 2673 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. y ph ) )
65rexralbidv 2503 . . 3 |- ( x = y -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph ) )
7 raleq 2673 . . 3 |- ( x = y -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
86, 7bibi12d 235 . 2 |- ( x = y -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
9 raleq 2673 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
109rexralbidv 2503 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
11 raleq 2673 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 235 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
13 raleq 2673 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. A ph ) )
1413rexralbidv 2503 . . 3 |- ( x = A -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph ) )
15 raleq 2673 . . 3 |- ( x = A -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 235 . 2 |- ( x = A -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
17 0z 9267 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
18 elex2 2755 . . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> E. j j e. ZZ )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 |- E. j j e. ZZ
20 ral0 3526 . . . . 5 |- A. n e. (/) ph
2120rgen2w 2533 . . . 4 |- A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
22 r19.2m 3511 . . . 4 |- ( ( E. j j e. ZZ /\ A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph )
2319, 21, 22mp2an 426 . . 3 |- E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
24 ral0 3526 . . 3 |- A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph
2523, 242th 174 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26 anbi1 466 . . . 4 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
27 rexanuz 11000 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
28 ralunb 3318 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
2928ralbii 2483 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
3029rexbii 2484 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
31 ralsnsg 3631 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
32 sbcrex 3044 . . . . . . . . 9 |- ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
33 ralcom 2640 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
34 ralsnsg 3631 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3533, 34bitrid 192 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3635rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3732, 36bitr4id 199 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3831, 37bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3938elv 2743 . . . . . 6 |- ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph )
4039anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 212 . . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42 ralunb 3318 . . . 4 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 223 . . 3 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4443a1i 9 . 2 |- ( y e. Fin -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 6892 1 |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   [.wsbc 2964   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   ` cfv 5218   Fincfn 6743   0cc0 7814   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532
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