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Theorem rexfiuz 10917
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, k, n, A   ph, j
Allowed substitution hints:   ph( k, n)
Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2659 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. (/) ph ) )
21rexralbidv 2490 . . 3 |- ( x = (/) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) )
3 raleq 2659 . . 3 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42, 3bibi12d 234 . 2 |- ( x = (/) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
5 raleq 2659 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. y ph ) )
65rexralbidv 2490 . . 3 |- ( x = y -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph ) )
7 raleq 2659 . . 3 |- ( x = y -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
86, 7bibi12d 234 . 2 |- ( x = y -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
9 raleq 2659 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
109rexralbidv 2490 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
11 raleq 2659 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 234 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
13 raleq 2659 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. A ph ) )
1413rexralbidv 2490 . . 3 |- ( x = A -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph ) )
15 raleq 2659 . . 3 |- ( x = A -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 234 . 2 |- ( x = A -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
17 0z 9193 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
18 elex2 2737 . . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> E. j j e. ZZ )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 |- E. j j e. ZZ
20 ral0 3505 . . . . 5 |- A. n e. (/) ph
2120rgen2w 2520 . . . 4 |- A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
22 r19.2m 3490 . . . 4 |- ( ( E. j j e. ZZ /\ A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph )
2319, 21, 22mp2an 423 . . 3 |- E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
24 ral0 3505 . . 3 |- A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph
2523, 242th 173 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26 anbi1 462 . . . 4 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
27 rexanuz 10916 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
28 ralunb 3298 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
2928ralbii 2470 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
3029rexbii 2471 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
31 ralsnsg 3607 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
32 sbcrex 3025 . . . . . . . . 9 |- ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
33 ralcom 2627 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
34 ralsnsg 3607 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3533, 34syl5bb 191 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3635rexbidv 2465 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3732, 36bitr4id 198 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3831, 37bitrd 187 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3938elv 2725 . . . . . 6 |- ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph )
4039anbi2i 453 . . . . 5 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 211 . . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42 ralunb 3298 . . . 4 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 222 . . 3 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4443a1i 9 . 2 |- ( y e. Fin -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 6846 1 |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2721   [.wsbc 2946   u. cun 3109   (/)c0 3404   {csn 3570   ` cfv 5182   Fincfn 6697   0cc0 7744   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-er 6492  df-en 6698  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458
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