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Theorem rexfiuz 11133
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, k, n, A   ph, j
Allowed substitution hints:   ph( k, n)
Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2690 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. (/) ph ) )
21rexralbidv 2520 . . 3 |- ( x = (/) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) )
3 raleq 2690 . . 3 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42, 3bibi12d 235 . 2 |- ( x = (/) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
5 raleq 2690 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. y ph ) )
65rexralbidv 2520 . . 3 |- ( x = y -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph ) )
7 raleq 2690 . . 3 |- ( x = y -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
86, 7bibi12d 235 . 2 |- ( x = y -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
9 raleq 2690 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
109rexralbidv 2520 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
11 raleq 2690 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 235 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
13 raleq 2690 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. A ph ) )
1413rexralbidv 2520 . . 3 |- ( x = A -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph ) )
15 raleq 2690 . . 3 |- ( x = A -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 235 . 2 |- ( x = A -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
17 0z 9328 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
18 elex2 2776 . . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> E. j j e. ZZ )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 |- E. j j e. ZZ
20 ral0 3548 . . . . 5 |- A. n e. (/) ph
2120rgen2w 2550 . . . 4 |- A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
22 r19.2m 3533 . . . 4 |- ( ( E. j j e. ZZ /\ A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph )
2319, 21, 22mp2an 426 . . 3 |- E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
24 ral0 3548 . . 3 |- A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph
2523, 242th 174 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26 anbi1 466 . . . 4 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
27 rexanuz 11132 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
28 ralunb 3340 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
2928ralbii 2500 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
3029rexbii 2501 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
31 ralsnsg 3655 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
32 sbcrex 3065 . . . . . . . . 9 |- ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
33 ralcom 2657 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
34 ralsnsg 3655 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3533, 34bitrid 192 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3635rexbidv 2495 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3732, 36bitr4id 199 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3831, 37bitrd 188 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3938elv 2764 . . . . . 6 |- ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph )
4039anbi2i 457 . . . . 5 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 212 . . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42 ralunb 3340 . . . 4 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 223 . . 3 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4443a1i 9 . 2 |- ( y e. Fin -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 6945 1 |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   [.wsbc 2985   u. cun 3151   (/)c0 3446   {csn 3618   ` cfv 5254   Fincfn 6794   0cc0 7872   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593
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