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Theorem rexfiuz 10650
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Distinct variable groups:   j, k, n, A   ph, j
Allowed substitution hints:   ph( k, n)
Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2600 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. (/) ph ) )
21rexralbidv 2435 . . 3 |- ( x = (/) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) )
3 raleq 2600 . . 3 |- ( x = (/) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42, 3bibi12d 234 . 2 |- ( x = (/) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
5 raleq 2600 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. y ph ) )
65rexralbidv 2435 . . 3 |- ( x = y -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph ) )
7 raleq 2600 . . 3 |- ( x = y -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
86, 7bibi12d 234 . 2 |- ( x = y -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
9 raleq 2600 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
109rexralbidv 2435 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph ) )
11 raleq 2600 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 234 . 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
13 raleq 2600 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. n e. x ph <-> A. n e. A ph ) )
1413rexralbidv 2435 . . 3 |- ( x = A -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph ) )
15 raleq 2600 . . 3 |- ( x = A -> ( A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 234 . 2 |- ( x = A -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. x ph <-> A. n e. x E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
17 0z 8966 . . . . 5 |- 0 e. ZZ
18 elex2 2673 . . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> E. j j e. ZZ )
1917, 18ax-mp 7 . . . 4 |- E. j j e. ZZ
20 ral0 3430 . . . . 5 |- A. n e. (/) ph
2120rgen2w 2462 . . . 4 |- A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
22 r19.2m 3415 . . . 4 |- ( ( E. j j e. ZZ /\ A. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph ) -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph )
2319, 21, 22mp2an 420 . . 3 |- E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph
24 ral0 3430 . . 3 |- A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph
2523, 242th 173 . 2 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. (/) ph <-> A. n e. (/) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
26 anbi1 459 . . . 4 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
27 rexanuz 10649 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
28 ralunb 3223 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
2928ralbii 2415 . . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
3029rexbii 2416 . . . . 5 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( A. n e. y ph /\ A. n e. { z } ph ) )
31 ralsnsg 3527 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
32 ralcom 2568 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
33 ralsnsg 3527 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3432, 33syl5bb 191 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. _V -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
3534rexbidv 2412 . . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
36 sbcrex 2956 . . . . . . . . 9 |- ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ [. z / n ]. A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph )
3735, 36syl6rbbr 198 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / n ]. E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3831, 37bitrd 187 . . . . . . 7 |- ( z e. _V -> ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
3938elv 2661 . . . . . 6 |- ( A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph )
4039anbi2i 450 . . . . 5 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. { z } ph ) )
4127, 30, 403bitr4i 211 . . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
42 ralunb 3223 . . . 4 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> ( A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ A. n e. { z } E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4326, 41, 423bitr4g 222 . . 3 |- ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
4443a1i 9 . 2 |- ( y e. Fin -> ( ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. y ph <-> A. n e. y E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. ( y u. { z } ) ph <-> A. n e. ( y u. { z } ) E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) ) )
454, 8, 12, 16, 25, 44findcard2 6736 1 |- ( A e. Fin -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) A. n e. A ph <-> A. n e. A E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   A.wral 2390   E.wrex 2391   _Vcvv 2657   [.wsbc 2878   u. cun 3035   (/)c0 3329   {csn 3493   ` cfv 5081   Fincfn 6588   0cc0 7544   ZZcz 8955   ZZ>=cuz 9225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-addcom 7642  ax-addass 7644  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-inn 8628  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226
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