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Theorem rexfiuz 10387
Description: Combine finitely many different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
rexfiuz  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, A    ph, j
Allowed substitution hints:    ph( k, n)

Proof of Theorem rexfiuz
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2562 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  (/)  ph )
)
21rexralbidv 2404 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
)
3 raleq 2562 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
42, 3bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
5 raleq 2562 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  y  ph ) )
65rexralbidv 2404 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph ) )
7 raleq 2562 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
86, 7bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
9 raleq 2562 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
109rexralbidv 2404 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
11 raleq 2562 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1210, 11bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
13 raleq 2562 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  A  ph ) )
1413rexralbidv 2404 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph ) )
15 raleq 2562 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
1614, 15bibi12d 233 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  x  ph  <->  A. n  e.  x  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
17 0z 8731 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
18 elex2 2635 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  E. j 
j  e.  ZZ )
1917, 18ax-mp 7 . . . 4  |-  E. j 
j  e.  ZZ
20 ral0 3379 . . . . 5  |-  A. n  e.  (/)  ph
2120rgen2w 2431 . . . 4  |-  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
22 r19.2m 3365 . . . 4  |-  ( ( E. j  j  e.  ZZ  /\  A. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph )
2319, 21, 22mp2an 417 . . 3  |-  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph
24 ral0 3379 . . 3  |-  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph
2523, 242th 172 . 2  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (/)  ph  <->  A. n  e.  (/)  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
26 anbi1 454 . . . 4  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) ) )
27 rexanuz 10386 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
28 ralunb 3179 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } ph ) )
2928ralbii 2384 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
3029rexbii 2385 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( A. n  e.  y  ph  /\ 
A. n  e.  {
z } ph )
)
31 vex 2622 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
32 ralsnsg 3475 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
33 ralcom 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
34 ralsnsg 3475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<-> 
[. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3533, 34syl5bb 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  [. z  /  n ]. A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph ) )
3635rexbidv 2381 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph  <->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
37 sbcrex 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  [. z  /  n ]. A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph )
3836, 37syl6rbbr 197 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  n ]. E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
3932, 38bitrd 186 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4031, 39ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph )
4140anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  { z } ph ) )
4227, 30, 413bitr4i 210 . . . 4  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  /\  A. n  e.  { z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
)
43 ralunb 3179 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  <->  ( A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  /\  A. n  e. 
{ z } E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4426, 42, 433bitr4g 221 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph  <->  A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  { z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
4544a1i 9 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  y  ph 
<-> 
A. n  e.  y  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  (
y  u.  { z } ) ph  <->  A. n  e.  ( y  u.  {
z } ) E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
) )
464, 8, 12, 16, 25, 45findcard2 6585 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. n  e.  A  ph  <->  A. n  e.  A  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   [.wsbc 2838    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   ` cfv 5002   Fincfn 6437   0cc0 7329   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989
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