Theorem isnsg2 13333

Description: Weaken the condition of isnsg 13332 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg2	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsg.1	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		isnsg.2	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13332	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) )
4		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
5	4	ralbii 2503	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
6	5	ralbii 2503	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
7		r19.26-2 2626	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
9		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( x .+ z ) = ( x .+ y ) )
10	9	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
11		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z .+ x ) = ( y .+ x ) )
12	11	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
14	13	cbvralvw 2733	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
15	14	ralbii 2503	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
16		ralcom 2660	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) )
17		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z .+ x ) = ( z .+ y ) )
18	17	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) )
19		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x .+ z ) = ( y .+ z ) )
20	19	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( y .+ z ) e. S ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) ) )
22	21	cbvralvw 2733	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
23	22	ralbii 2503	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
24		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
25	24	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
26		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( y .+ z ) = ( y .+ x ) )
27	26	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( y .+ z ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
28	25, 27	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
29	28	ralbidv 2497	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
30	29	cbvralvw 2733	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
31	16, 23, 30	3bitri 206	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
32	15, 31	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
33		anidm 396	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
34	8, 32, 33	3bitri 206	. . 3 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
35	34	anbi2i 457	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
36	3, 35	bitri 184	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-subg 13300  df-nsg 13301

This theorem is referenced by:  isnsg3  13337  subrngringnsg  13761