Theorem isnsg2 13016

Description: Weaken the condition of isnsg 13015 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg2	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsg.1	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		isnsg.2	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13015	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) )
4		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
5	4	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
6	5	ralbii 2483	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
7		r19.26-2 2606	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
9		oveq2 5882	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( x .+ z ) = ( x .+ y ) )
10	9	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
11		oveq1 5881	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z .+ x ) = ( y .+ x ) )
12	11	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
14	13	cbvralvw 2707	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
15	14	ralbii 2483	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
16		ralcom 2640	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) )
17		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z .+ x ) = ( z .+ y ) )
18	17	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) )
19		oveq1 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x .+ z ) = ( y .+ z ) )
20	19	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( y .+ z ) e. S ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) ) )
22	21	cbvralvw 2707	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
23	22	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
24		oveq1 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
25	24	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
26		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( y .+ z ) = ( y .+ x ) )
27	26	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( y .+ z ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
28	25, 27	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
29	28	ralbidv 2477	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
30	29	cbvralvw 2707	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
31	16, 23, 30	3bitri 206	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
32	15, 31	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
33		anidm 396	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
34	8, 32, 33	3bitri 206	. . 3 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
35	34	anbi2i 457	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
36	3, 35	bitri 184	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530  SubGrpcsubg 12980  NrmSGrpcnsg 12981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-subg 12983  df-nsg 12984

This theorem is referenced by:  isnsg3  13020