Theorem isnsg2 13735

Description: Weaken the condition of isnsg 13734 to only one side of the implication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg2	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsg.1	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		isnsg.2	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3	1, 2	isnsg 13734	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) )
4		dfbi2 388	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
5	4	ralbii 2536	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
6	5	ralbii 2536	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
7		r19.26-2 2660	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) )
9		oveq2 6008	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( x .+ z ) = ( x .+ y ) )
10	9	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
11		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z .+ x ) = ( y .+ x ) )
12	11	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
14	13	cbvralvw 2769	. . . . . 6 |- ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
15	14	ralbii 2536	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
16		ralcom 2694	. . . . . 6 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) )
17		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z .+ x ) = ( z .+ y ) )
18	17	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( z .+ y ) e. S ) )
19		oveq1 6007	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x .+ z ) = ( y .+ z ) )
20	19	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( y .+ z ) e. S ) )
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) ) )
22	21	cbvralvw 2769	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
23	22	ralbii 2536	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. x e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) )
24		oveq1 6007	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z .+ y ) = ( x .+ y ) )
25	24	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( z .+ y ) e. S <-> ( x .+ y ) e. S ) )
26		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( y .+ z ) = ( y .+ x ) )
27	26	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( y .+ z ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) )
28	25, 27	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
29	28	ralbidv 2530	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
30	29	cbvralvw 2769	. . . . . 6 |- ( A. z e. X A. y e. X ( ( z .+ y ) e. S -> ( y .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
31	16, 23, 30	3bitri 206	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
32	15, 31	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S -> ( z .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( z .+ x ) e. S -> ( x .+ z ) e. S ) ) <-> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
33		anidm 396	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
34	8, 32, 33	3bitri 206	. . 3 |- ( A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) )
35	34	anbi2i 457	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )
36	3, 35	bitri 184	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S -> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   +g cplusg 13105  SubGrpcsubg 13699  NrmSGrpcnsg 13700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-subg 13702  df-nsg 13703

This theorem is referenced by:  isnsg3  13739  subrngringnsg  14163