Theorem fununi 5256

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fununi	|- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )

Distinct variable group:   f, g, A

Proof of Theorem fununi

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5205	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel f )
3	2	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A Rel f )
4		reluni 4727	. . 3 |- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Rel U. A )
6		r19.28av 2602	. . . 4 |- ( ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
7	6	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
8		ssel 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w C_ v -> ( <. x , y >. e. w -> <. x , y >. e. v ) )
9	8	anim1d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) ) )
10		dffun4 5199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun v <-> ( Rel v /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
11	10	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun v -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
12	11	19.21bbi 1547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun v -> A. z ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
13	12	19.21bi 1546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun v -> ( ( <. x , y >. e. v /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
14	9, 13	syl9r 73	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun v -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
15	14	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( w C_ v -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
16		ssel 3136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ w -> ( <. x , z >. e. v -> <. x , z >. e. w ) )
17	16	anim2d 335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) ) )
18		dffun4 5199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun w <-> ( Rel w /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) ) )
19	18	simprbi 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun w -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
20	19	19.21bbi 1547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun w -> A. z ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
21	20	19.21bi 1546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. w ) -> y = z ) )
22	17, 21	syl9r 73	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun w -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
23	22	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( v C_ w -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
24	15, 23	jaod 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun w /\ Fun v ) -> ( ( w C_ v \/ v C_ w ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
25	24	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
26	25	ralimi 2529	. . . . . . 7 |- ( A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
27	26	ralimi 2529	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) -> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
28		funeq 5208	. . . . . . . . . 10 |- ( f = w -> ( Fun f <-> Fun w ) )
29		sseq1 3165	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = w -> ( f C_ g <-> w C_ g ) )
30		sseq2 3166	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = w -> ( g C_ f <-> g C_ w ) )
31	29, 30	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 |- ( f = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ g \/ g C_ w ) ) )
32	28, 31	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( f = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) ) )
33		sseq2 3166	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( w C_ g <-> w C_ v ) )
34		sseq1 3165	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( g C_ w <-> v C_ w ) )
35	33, 34	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 |- ( g = v -> ( ( w C_ g \/ g C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
36	35	anbi2d 460	. . . . . . . . 9 |- ( g = v -> ( ( Fun w /\ ( w C_ g \/ g C_ w ) ) <-> ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
37	32, 36	cbvral2v 2705	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
38		ralcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
39		orcom 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( g C_ f \/ f C_ g ) )
40		sseq1 3165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = w -> ( g C_ f <-> w C_ f ) )
41		sseq2 3166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = w -> ( f C_ g <-> f C_ w ) )
42	40, 41	orbi12d 783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = w -> ( ( g C_ f \/ f C_ g ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) )
43	39, 42	syl5bb 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = w -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( w C_ f \/ f C_ w ) ) )
44	43	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( g = w -> ( ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) ) )
45		funeq 5208	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( Fun f <-> Fun v ) )
46		sseq2 3166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( w C_ f <-> w C_ v ) )
47		sseq1 3165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( f C_ w <-> v C_ w ) )
48	46, 47	orbi12d 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( ( w C_ f \/ f C_ w ) <-> ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
49	45, 48	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( ( Fun f /\ ( w C_ f \/ f C_ w ) ) <-> ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
50	44, 49	cbvral2v 2705	. . . . . . . . 9 |- ( A. g e. A A. f e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
51	38, 50	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
52	37, 51	anbi12i 456	. . . . . . 7 |- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
53		anidm 394	. . . . . . 7 |- ( ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) /\ A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) ) <-> A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) )
54		anandir 581	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
55	54	2ralbii 2474	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
56		r19.26-2 2595	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) )
57	55, 56	bitr2i 184	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A A. v e. A ( Fun w /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) /\ A. w e. A A. v e. A ( Fun v /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
58	52, 53, 57	3bitr3i 209	. . . . . 6 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( Fun w /\ Fun v ) /\ ( w C_ v \/ v C_ w ) ) )
59		eluni 3792	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) )
60		eluni 3792	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) )
61	59, 60	anbi12i 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) )
62		eeanv 1920	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( E. w ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ E. v ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) )
63		an4 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) )
64		ancom 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) /\ ( w e. A /\ v e. A ) ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
65	63, 64	bitri 183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
66	65	2exbii 1594	. . . . . . . . 9 |- ( E. w E. v ( ( <. x , y >. e. w /\ w e. A ) /\ ( <. x , z >. e. v /\ v e. A ) ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
67	61, 62, 66	3bitr2i 207	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) <-> E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) )
68	67	imbi1i 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
69		19.23v 1871	. . . . . . 7 |- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. w E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
70		r2al 2485	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
71		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
72	71	2albii 1459	. . . . . . . 8 |- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w A. v ( ( w e. A /\ v e. A ) -> ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) ) )
73		19.23v 1871	. . . . . . . . 9 |- ( A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
74	73	albii 1458	. . . . . . . 8 |- ( A. w A. v ( ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) )
75	70, 72, 74	3bitr2ri 208	. . . . . . 7 |- ( A. w ( E. v ( ( w e. A /\ v e. A ) /\ ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
76	68, 69, 75	3bitr2i 207	. . . . . 6 |- ( ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) <-> A. w e. A A. v e. A ( ( <. x , y >. e. w /\ <. x , z >. e. v ) -> y = z ) )
77	27, 58, 76	3imtr4i 200	. . . . 5 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
78	77	alrimiv 1862	. . . 4 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
79	78	alrimivv 1863	. . 3 |- ( A. f e. A A. g e. A ( Fun f /\ ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
80	7, 79	syl 14	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
81		dffun4 5199	. 2 |- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) )
82	5, 80, 81	sylanbrc 414	1 |- ( A. f e. A ( Fun f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1341   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   <.cop 3579   U.cuni 3789   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5257  fun11uni  5258  ennnfonelemfun  12350