Theorem issod 4416

Description: An irreflexive, transitive, trichotomous relation is a linear ordering (in the sense of df-iso 4394). (Contributed by NM, 21-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issod.1	|- ( ph -> R Po A )
issod.2	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )

Assertion

Ref	Expression
issod	|- ( ph -> R Or A )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem issod

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issod.1	. 2 |- ( ph -> R Po A )
2		issod.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
3	2	3adant3 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
4		orc 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x R y -> ( x R y \/ y R z ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y -> ( x R y \/ y R z ) ) )
6		simp3r 1052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> x R z )
7		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x R z <-> y R z ) )
8	6, 7	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x = y -> y R z ) )
9		olc 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y R z -> ( x R y \/ y R z ) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x = y -> ( x R y \/ y R z ) ) )
11		simp1 1023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ph )
12		simp2r 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> y e. A )
13		simp2l 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> x e. A )
14		simp3l 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> z e. A )
15	12, 13, 14	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) )
16		potr 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Po A /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) )
17	1, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) )
18	17	expcomd 1486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z -> ( y R x -> y R z ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) /\ x R z ) -> ( y R x -> y R z ) )
20	11, 15, 6, 19	syl21anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y R x -> y R z ) )
21	20, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y R x -> ( x R y \/ y R z ) ) )
22	5, 10, 21	3jaod 1340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> ( x R y \/ y R z ) ) )
23	3, 22	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ y R z ) )
24	23	3expa 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ y R z ) )
25	24	expr 375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
26	25	ralrimiva 2605	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
27	26	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
28	27	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. A A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
29		ralcom 2696	. . . 4 |- ( A. y e. A A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
31	30	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
32		df-iso 4394	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) ) )
33	1, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> R Or A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   \/ w3o 1003   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   Po wpo 4391   Or wor 4392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-po 4393  df-iso 4394

This theorem is referenced by:  ltsopi  7539  ltsonq  7617