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Theorem issod 4236
Description: An irreflexive, transitive, trichotomous relation is a linear ordering (in the sense of df-iso 4214). (Contributed by NM, 21-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issod.1  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
issod.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
Assertion
Ref Expression
issod  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Distinct variable groups:    x, y, R   
x, A, y    ph, x, y

Proof of Theorem issod
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issod.1 . 2  |-  ( ph  ->  R  Po  A )
2 issod.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
323adant3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
4 orc 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x R y  ->  (
x R y  \/  y R z ) )
54a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x R y  ->  ( x R y  \/  y R z ) ) )
6 simp3r 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  x R z )
7 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x R z  <->  y R
z ) )
86, 7syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x  =  y  ->  y R
z ) )
9 olc 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) )
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x  =  y  ->  ( x R y  \/  y R z ) ) )
11 simp1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ph )
12 simp2r 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  y  e.  A
)
13 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  x  e.  A
)
14 simp3l 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  z  e.  A
)
1512, 13, 143jca 1161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A  /\  z  e.  A ) )
16 potr 4225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( y R x  /\  x R z )  ->  y R
z ) )
171, 16sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( y R x  /\  x R z )  ->  y R z ) )
1817expcomd 1417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( x R z  ->  ( y R x  ->  y R
z ) ) )
1918imp 123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  x  e.  A  /\  z  e.  A )
)  /\  x R
z )  ->  (
y R x  -> 
y R z ) )
2011, 15, 6, 19syl21anc 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( y R x  ->  y R
z ) )
2120, 9syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( y R x  ->  ( x R y  \/  y R z ) ) )
225, 10, 213jaod 1282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  -> 
( x R y  \/  y R z ) ) )
233, 22mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x R y  \/  y R z ) )
24233expa 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  ( z  e.  A  /\  x R z ) )  ->  ( x R y  \/  y R z ) )
2524expr 372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  -> 
( x R y  \/  y R z ) ) )
2625ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  A. z  e.  A  ( x R z  ->  ( x R y  \/  y R z ) ) )
2726anassrs 397 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A )  ->  A. z  e.  A  ( x R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) ) )
2827ralrimiva 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) ) )
29 ralcom 2592 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R z  -> 
( x R y  \/  y R z ) )  <->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( x R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) ) )
3028, 29sylib 121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( x R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) ) )
3130ralrimiva 2503 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( x R z  ->  ( x R y  \/  y R z ) ) )
32 df-iso 4214 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. z  e.  A  A. y  e.  A  ( x R z  ->  (
x R y  \/  y R z ) ) ) )
331, 31, 32sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    \/ w3o 961    /\ w3a 962    e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924    Po wpo 4211    Or wor 4212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-po 4213  df-iso 4214
This theorem is referenced by:  ltsopi  7121  ltsonq  7199
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