Theorem issod 4422

Description: An irreflexive, transitive, trichotomous relation is a linear ordering (in the sense of df-iso 4400). (Contributed by NM, 21-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issod.1	|- ( ph -> R Po A )
issod.2	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )

Assertion

Ref	Expression
issod	|- ( ph -> R Or A )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, A, y   ph, x, y

Proof of Theorem issod

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issod.1	. 2 |- ( ph -> R Po A )
2		issod.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
3	2	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
4		orc 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x R y -> ( x R y \/ y R z ) )
5	4	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y -> ( x R y \/ y R z ) ) )
6		simp3r 1053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> x R z )
7		breq1 4096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x R z <-> y R z ) )
8	6, 7	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x = y -> y R z ) )
9		olc 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y R z -> ( x R y \/ y R z ) )
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x = y -> ( x R y \/ y R z ) ) )
11		simp1 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ph )
12		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> y e. A )
13		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> x e. A )
14		simp3l 1052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> z e. A )
15	12, 13, 14	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) )
16		potr 4411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Po A /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) )
17	1, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) )
18	17	expcomd 1487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z -> ( y R x -> y R z ) ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A /\ z e. A ) ) /\ x R z ) -> ( y R x -> y R z ) )
20	11, 15, 6, 19	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y R x -> y R z ) )
21	20, 9	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( y R x -> ( x R y \/ y R z ) ) )
22	5, 10, 21	3jaod 1341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> ( x R y \/ y R z ) ) )
23	3, 22	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ y R z ) )
24	23	3expa 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ ( z e. A /\ x R z ) ) -> ( x R y \/ y R z ) )
25	24	expr 375	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
26	25	ralrimiva 2606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
27	26	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
28	27	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. A A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
29		ralcom 2697	. . . 4 |- ( A. y e. A A. z e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
30	28, 29	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
31	30	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) )
32		df-iso 4400	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. z e. A A. y e. A ( x R z -> ( x R y \/ y R z ) ) ) )
33	1, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> R Or A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   Po wpo 4397   Or wor 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-po 4399  df-iso 4400

This theorem is referenced by:  ltsopi  7600  ltsonq  7678