Theorem rmodislmodlem 13634

Description: Lemma for rmodislmod 13635. This is the part of the proof of rmodislmod 13635 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	|- V = ( Base ` R )
rmodislmod.a	|- .+ = ( +g ` R )
rmodislmod.s	|- .x. = ( .s ` R )
rmodislmod.f	|- F = (Scalar ` R )
rmodislmod.k	|- K = ( Base ` F )
rmodislmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
rmodislmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
rmodislmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )
rmodislmod.r	|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
rmodislmod.m	|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
rmodislmod.l	|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. )

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Distinct variable groups:   .X. , q, r, w, x   .X. , s, v   .x. , q, r, w, x   .x. , s, v   K, q, r, x   K, s, v   V, q, r, w, x   V, s, v   r, a, w   s, a, v   q, b, r, w   s, b, v   s, c, v   w, c

Allowed substitution hints:   .+ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .+^ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   R( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .x. ( a, b, c)   .X. ( a, b, c)   .1. ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   F( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .* ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   K( w, a, b, c)   L( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   V( a, b, c)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 |- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
2		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
3	2	2ralimi 2554	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
4	3	2ralimi 2554	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
5		ralrot3 2655	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
6	1	simp1i 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. Grp
7		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
8		eqid 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9	7, 8	grpidcl 12946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. V )
10		elex2 2768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` R ) e. V -> E. j j e. V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> E. j j e. V )
12		r19.3rmv 3528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j j e. V -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) ) )
13	6, 11, 12	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
14	13	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
15		oveq1 5899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( q .X. r ) = ( b .X. r ) )
16	15	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. r ) ) )
17		oveq2 5900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( w .x. q ) = ( w .x. b ) )
18	17	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( ( w .x. q ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) )
19	16, 18	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = b -> ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) ) )
20		oveq2 5900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( b .X. r ) = ( b .X. a ) )
21	20	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. a ) ) )
22		oveq2 5900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( ( w .x. b ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) )
23	21, 22	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = a -> ( ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) ) )
24		oveq1 5899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
25		oveq1 5899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) )
26	25	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) .x. a ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
27	24, 26	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
28	19, 23, 27	rspc3v 2872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ a e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
29	28	3com12 1209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
30	14, 29	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
31	5, 30	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
32		eqcom 2191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
33	31, 32	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
35	34	3ad2ant3 1022	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
36	1, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
37	36	adantl 277	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
38		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
39		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 |- .X. = ( .r ` F )
40	38, 39	crngcom 13336	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. CRing /\ b e. K /\ a e. K ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
41	40	3expb 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. CRing /\ ( b e. K /\ a e. K ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
42	41	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( ( b e. K /\ a e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
43	42	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
44	43	3adant3 1019	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
46	45	oveq2d 5908	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
47	37, 46	eqtrd 2222	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
48		rmodislmod.m	. . . . . . 7 |- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
49	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) )
50		oveq12 5901	. . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
52	51	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
53		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K )
54		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V )
55		vex 2755	. . . . . . . 8 |- c e. _V
56		rmodislmod.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` R )
57		vscaslid 12647	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 12514	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( .s ` R ) e. _V )
59	6, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` R ) e. _V
60	56, 59	eqeltri 2262	. . . . . . . 8 |- .x. e. _V
61		vex 2755	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62		ovexg 5926	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ b e. _V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
63	55, 60, 61, 62	mp3an 1348	. . . . . . 7 |- ( c .x. b ) e. _V
64	63	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
65	49, 52, 53, 54, 64	ovmpod 6020	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) )
66	65	oveq2d 5908	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( a .* ( c .x. b ) ) )
67		oveq12 5901	. . . . . . 7 |- ( ( v = ( c .x. b ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
70		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K )
71		simpl1 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V )
72	71	2ralimi 2554	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
73	72	2ralimi 2554	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
74	1	simp2i 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. Ring
75		ringgrp 13323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
76		eqid 2189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
77	38, 76	grpidcl 12946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Grp -> ( 0g ` F ) e. K )
78	74, 75, 77	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) e. K
79		elex2 2768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> E. j j e. K )
80		r19.3rmv 3528	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. K -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
81	78, 79, 80	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
82	81	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
83		ralcom 2653	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
84		r19.3rmv 3528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j j e. V -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
85	6, 11, 84	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
86	85	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
87		oveq2 5900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) )
88	87	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = b -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. b ) e. V ) )
89	25	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) e. V <-> ( c .x. b ) e. V ) )
90	88, 89	rspc2v 2869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( c .x. b ) e. V ) )
91	86, 90	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
92	83, 91	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
93	73, 82, 92	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
94	93	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
96	95	3adant1 1017	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
97		vex 2755	. . . . . . 7 |- a e. _V
98		ovexg 5926	. . . . . . 7 |- ( ( ( c .x. b ) e. _V /\ .x. e. _V /\ a e. _V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
99	63, 60, 97, 98	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V
100	99	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
101	49, 69, 70, 96, 100	ovmpod 6020	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( c .x. b ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
102	66, 101	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
103	102	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
104		oveq12 5901	. . . . . 6 |- ( ( v = c /\ s = ( a .X. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
105	104	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
106	105	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
107	38, 39	ringcl 13335	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Ring /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
108	107	3expib 1208	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
109	108	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
110	1, 109	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
111	110	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .X. b ) e. K )
112		mulrslid 12616	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
113	112	slotex 12514	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Ring -> ( .r ` F ) e. _V )
114	74, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) e. _V
115	39, 114	eqeltri 2262	. . . . . . 7 |- .X. e. _V
116		ovexg 5926	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ .X. e. _V /\ b e. _V ) -> ( a .X. b ) e. _V )
117	97, 115, 61, 116	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( a .X. b ) e. _V
118		ovexg 5926	. . . . . 6 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ ( a .X. b ) e. _V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
119	55, 60, 117, 118	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V
120	119	a1i 9	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
121	49, 106, 111, 54, 120	ovmpod 6020	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
122	121	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
123	47, 103, 122	3eqtr4rd 2233	1 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   _Vcvv 2752   <.cop 3610   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   e. cmpo 5894   ndxcnx 12484   sSet csts 12485   Basecbs 12487   +g cplusg 12562   .rcmulr 12563  Scalarcsca 12565   .scvsca 12566   0gc0g 12734   Grpcgrp 12918   1rcur 13281   Ringcrg 13318   CRingccrg 13319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-ltxr 8017  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-sets 12494  df-plusg 12575  df-mulr 12576  df-vsca 12579  df-0g 12736  df-mgm 12805  df-sgrp 12838  df-mnd 12851  df-grp 12921  df-cmn 13193  df-mgp 13243  df-ring 13320  df-cring 13321

This theorem is referenced by:  rmodislmod  13635