Theorem rmodislmodlem 13539

Description: Lemma for rmodislmod 13540. This is the part of the proof of rmodislmod 13540 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	|- V = ( Base ` R )
rmodislmod.a	|- .+ = ( +g ` R )
rmodislmod.s	|- .x. = ( .s ` R )
rmodislmod.f	|- F = (Scalar ` R )
rmodislmod.k	|- K = ( Base ` F )
rmodislmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
rmodislmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
rmodislmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )
rmodislmod.r	|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
rmodislmod.m	|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
rmodislmod.l	|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. )

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Distinct variable groups:   .X. , q, r, w, x   .X. , s, v   .x. , q, r, w, x   .x. , s, v   K, q, r, x   K, s, v   V, q, r, w, x   V, s, v   r, a, w   s, a, v   q, b, r, w   s, b, v   s, c, v   w, c

Allowed substitution hints:   .+ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .+^ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   R( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .x. ( a, b, c)   .X. ( a, b, c)   .1. ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   F( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .* ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   K( w, a, b, c)   L( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   V( a, b, c)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 |- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
2		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
3	2	2ralimi 2551	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
4	3	2ralimi 2551	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
5		ralrot3 2652	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
6	1	simp1i 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. Grp
7		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
8		eqid 2187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9	7, 8	grpidcl 12926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. V )
10		elex2 2765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` R ) e. V -> E. j j e. V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> E. j j e. V )
12		r19.3rmv 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j j e. V -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) ) )
13	6, 11, 12	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
14	13	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
15		oveq1 5895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( q .X. r ) = ( b .X. r ) )
16	15	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. r ) ) )
17		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( w .x. q ) = ( w .x. b ) )
18	17	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( ( w .x. q ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) )
19	16, 18	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = b -> ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) ) )
20		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( b .X. r ) = ( b .X. a ) )
21	20	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. a ) ) )
22		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( ( w .x. b ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) )
23	21, 22	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = a -> ( ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) ) )
24		oveq1 5895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
25		oveq1 5895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) )
26	25	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) .x. a ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
27	24, 26	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
28	19, 23, 27	rspc3v 2869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ a e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
29	28	3com12 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
30	14, 29	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
31	5, 30	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
32		eqcom 2189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
33	31, 32	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
35	34	3ad2ant3 1021	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
36	1, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
37	36	adantl 277	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
38		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
39		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 |- .X. = ( .r ` F )
40	38, 39	crngcom 13266	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. CRing /\ b e. K /\ a e. K ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
41	40	3expb 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. CRing /\ ( b e. K /\ a e. K ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
42	41	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( ( b e. K /\ a e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
43	42	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
44	43	3adant3 1018	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
46	45	oveq2d 5904	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
47	37, 46	eqtrd 2220	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
48		rmodislmod.m	. . . . . . 7 |- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
49	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) )
50		oveq12 5897	. . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
52	51	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
53		simp2 999	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K )
54		simp3 1000	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V )
55		vex 2752	. . . . . . . 8 |- c e. _V
56		rmodislmod.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` R )
57		vscaslid 12636	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 12503	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( .s ` R ) e. _V )
59	6, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` R ) e. _V
60	56, 59	eqeltri 2260	. . . . . . . 8 |- .x. e. _V
61		vex 2752	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62		ovexg 5922	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ b e. _V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
63	55, 60, 61, 62	mp3an 1347	. . . . . . 7 |- ( c .x. b ) e. _V
64	63	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
65	49, 52, 53, 54, 64	ovmpod 6016	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) )
66	65	oveq2d 5904	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( a .* ( c .x. b ) ) )
67		oveq12 5897	. . . . . . 7 |- ( ( v = ( c .x. b ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
70		simp1 998	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K )
71		simpl1 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V )
72	71	2ralimi 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
73	72	2ralimi 2551	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
74	1	simp2i 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. Ring
75		ringgrp 13253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
76		eqid 2187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
77	38, 76	grpidcl 12926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Grp -> ( 0g ` F ) e. K )
78	74, 75, 77	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) e. K
79		elex2 2765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> E. j j e. K )
80		r19.3rmv 3525	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. K -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
81	78, 79, 80	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
82	81	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
83		ralcom 2650	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
84		r19.3rmv 3525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j j e. V -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
85	6, 11, 84	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
86	85	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
87		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) )
88	87	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = b -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. b ) e. V ) )
89	25	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) e. V <-> ( c .x. b ) e. V ) )
90	88, 89	rspc2v 2866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( c .x. b ) e. V ) )
91	86, 90	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
92	83, 91	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
93	73, 82, 92	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
94	93	3ad2ant3 1021	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
96	95	3adant1 1016	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
97		vex 2752	. . . . . . 7 |- a e. _V
98		ovexg 5922	. . . . . . 7 |- ( ( ( c .x. b ) e. _V /\ .x. e. _V /\ a e. _V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
99	63, 60, 97, 98	mp3an 1347	. . . . . 6 |- ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V
100	99	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
101	49, 69, 70, 96, 100	ovmpod 6016	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( c .x. b ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
102	66, 101	eqtrd 2220	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
103	102	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
104		oveq12 5897	. . . . . 6 |- ( ( v = c /\ s = ( a .X. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
105	104	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
106	105	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
107	38, 39	ringcl 13265	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Ring /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
108	107	3expib 1207	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
109	108	3ad2ant2 1020	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
110	1, 109	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
111	110	3adant3 1018	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .X. b ) e. K )
112		mulrslid 12605	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
113	112	slotex 12503	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Ring -> ( .r ` F ) e. _V )
114	74, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) e. _V
115	39, 114	eqeltri 2260	. . . . . . 7 |- .X. e. _V
116		ovexg 5922	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ .X. e. _V /\ b e. _V ) -> ( a .X. b ) e. _V )
117	97, 115, 61, 116	mp3an 1347	. . . . . 6 |- ( a .X. b ) e. _V
118		ovexg 5922	. . . . . 6 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ ( a .X. b ) e. _V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
119	55, 60, 117, 118	mp3an 1347	. . . . 5 |- ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V
120	119	a1i 9	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
121	49, 106, 111, 54, 120	ovmpod 6016	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
122	121	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
123	47, 103, 122	3eqtr4rd 2231	1 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749   <.cop 3607   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   e. cmpo 5890   ndxcnx 12473   sSet csts 12474   Basecbs 12476   +g cplusg 12551   .rcmulr 12552  Scalarcsca 12554   .scvsca 12555   0gc0g 12723   Grpcgrp 12899   1rcur 13211   Ringcrg 13248   CRingccrg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-vsca 12568  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-cmn 13123  df-mgp 13173  df-ring 13250  df-cring 13251

This theorem is referenced by:  rmodislmod  13540