Theorem rmodislmodlem 14687

Description: Lemma for rmodislmod 14688. This is the part of the proof of rmodislmod 14688 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	|- V = ( Base ` R )
rmodislmod.a	|- .+ = ( +g ` R )
rmodislmod.s	|- .x. = ( .s ` R )
rmodislmod.f	|- F = (Scalar ` R )
rmodislmod.k	|- K = ( Base ` F )
rmodislmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
rmodislmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
rmodislmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )
rmodislmod.r	|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
rmodislmod.m	|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
rmodislmod.l	|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. )

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Distinct variable groups:   .X. , q, r, w, x   .X. , s, v   .x. , q, r, w, x   .x. , s, v   K, q, r, x   K, s, v   V, q, r, w, x   V, s, v   r, a, w   s, a, v   q, b, r, w   s, b, v   s, c, v   w, c

Allowed substitution hints:   .+ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .+^ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   R( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .x. ( a, b, c)   .X. ( a, b, c)   .1. ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   F( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .* ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   K( w, a, b, c)   L( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   V( a, b, c)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 |- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
2		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
3	2	2ralimi 2614	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
4	3	2ralimi 2614	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
5		ralrot3 2716	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
6	1	simp1i 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. Grp
7		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
8		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9	7, 8	grpidcl 13834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. V )
10		elex2 2838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` R ) e. V -> E. j j e. V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> E. j j e. V )
12		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j j e. V -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) ) )
13	6, 11, 12	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
14	13	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
15		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( q .X. r ) = ( b .X. r ) )
16	15	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. r ) ) )
17		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( w .x. q ) = ( w .x. b ) )
18	17	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( ( w .x. q ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) )
19	16, 18	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = b -> ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) ) )
20		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( b .X. r ) = ( b .X. a ) )
21	20	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. a ) ) )
22		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( ( w .x. b ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) )
23	21, 22	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = a -> ( ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) ) )
24		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
25		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) )
26	25	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) .x. a ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
27	24, 26	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
28	19, 23, 27	rspc3v 2946	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ a e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
29	28	3com12 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
30	14, 29	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
31	5, 30	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
32		eqcom 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
33	31, 32	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
35	34	3ad2ant3 1051	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
36	1, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
37	36	adantl 277	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
38		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
39		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 |- .X. = ( .r ` F )
40	38, 39	crngcom 14318	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. CRing /\ b e. K /\ a e. K ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
41	40	3expb 1235	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. CRing /\ ( b e. K /\ a e. K ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
42	41	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( ( b e. K /\ a e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
43	42	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
44	43	3adant3 1048	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
46	45	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
47	37, 46	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
48		rmodislmod.m	. . . . . . 7 |- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
49	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) )
50		oveq12 6094	. . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
52	51	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
53		simp2 1029	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K )
54		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V )
55		vex 2824	. . . . . . . 8 |- c e. _V
56		rmodislmod.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` R )
57		vscaslid 13517	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13379	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( .s ` R ) e. _V )
59	6, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` R ) e. _V
60	56, 59	eqeltri 2311	. . . . . . . 8 |- .x. e. _V
61		vex 2824	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62		ovexg 6119	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ b e. _V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
63	55, 60, 61, 62	mp3an 1378	. . . . . . 7 |- ( c .x. b ) e. _V
64	63	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
65	49, 52, 53, 54, 64	ovmpod 6216	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) )
66	65	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( a .* ( c .x. b ) ) )
67		oveq12 6094	. . . . . . 7 |- ( ( v = ( c .x. b ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
70		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K )
71		simpl1 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V )
72	71	2ralimi 2614	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
73	72	2ralimi 2614	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
74	1	simp2i 1038	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. Ring
75		ringgrp 14305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
76		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
77	38, 76	grpidcl 13834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Grp -> ( 0g ` F ) e. K )
78	74, 75, 77	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) e. K
79		elex2 2838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> E. j j e. K )
80		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. K -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
81	78, 79, 80	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
82	81	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
83		ralcom 2714	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
84		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j j e. V -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
85	6, 11, 84	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
86	85	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
87		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) )
88	87	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = b -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. b ) e. V ) )
89	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) e. V <-> ( c .x. b ) e. V ) )
90	88, 89	rspc2v 2943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( c .x. b ) e. V ) )
91	86, 90	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
92	83, 91	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
93	73, 82, 92	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
94	93	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
96	95	3adant1 1046	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
97		vex 2824	. . . . . . 7 |- a e. _V
98		ovexg 6119	. . . . . . 7 |- ( ( ( c .x. b ) e. _V /\ .x. e. _V /\ a e. _V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
99	63, 60, 97, 98	mp3an 1378	. . . . . 6 |- ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V
100	99	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
101	49, 69, 70, 96, 100	ovmpod 6216	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( c .x. b ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
102	66, 101	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
103	102	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
104		oveq12 6094	. . . . . 6 |- ( ( v = c /\ s = ( a .X. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
105	104	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
106	105	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
107	38, 39	ringcl 14317	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Ring /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
108	107	3expib 1237	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
109	108	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
110	1, 109	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
111	110	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .X. b ) e. K )
112		mulrslid 13486	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
113	112	slotex 13379	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Ring -> ( .r ` F ) e. _V )
114	74, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) e. _V
115	39, 114	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- .X. e. _V
116		ovexg 6119	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ .X. e. _V /\ b e. _V ) -> ( a .X. b ) e. _V )
117	97, 115, 61, 116	mp3an 1378	. . . . . 6 |- ( a .X. b ) e. _V
118		ovexg 6119	. . . . . 6 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ ( a .X. b ) e. _V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
119	55, 60, 117, 118	mp3an 1378	. . . . 5 |- ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V
120	119	a1i 9	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
121	49, 106, 111, 54, 120	ovmpod 6216	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
122	121	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
123	47, 103, 122	3eqtr4rd 2282	1 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   ndxcnx 13349   sSet csts 13350   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   0gc0g 13610   Grpcgrp 13805   1rcur 14262   Ringcrg 14300   CRingccrg 14301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-cring 14303

This theorem is used by:  rmodislmod  14688