Theorem rmodislmodlem 14429

Description: Lemma for rmodislmod 14430. This is the part of the proof of rmodislmod 14430 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	|- V = ( Base ` R )
rmodislmod.a	|- .+ = ( +g ` R )
rmodislmod.s	|- .x. = ( .s ` R )
rmodislmod.f	|- F = (Scalar ` R )
rmodislmod.k	|- K = ( Base ` F )
rmodislmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
rmodislmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
rmodislmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )
rmodislmod.r	|- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
rmodislmod.m	|- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
rmodislmod.l	|- L = ( R sSet <. ( .s ` ndx ) , .* >. )

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	|- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Distinct variable groups:   .X. , q, r, w, x   .X. , s, v   .x. , q, r, w, x   .x. , s, v   K, q, r, x   K, s, v   V, q, r, w, x   V, s, v   r, a, w   s, a, v   q, b, r, w   s, b, v   s, c, v   w, c

Allowed substitution hints:   .+ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .+^ ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   R( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .x. ( a, b, c)   .X. ( a, b, c)   .1. ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   F( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   .* ( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   K( w, a, b, c)   L( x, w, v, s, r, q, a, b, c)   V( a, b, c)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 |- ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) )
2		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
3	2	2ralimi 2597	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
4	3	2ralimi 2597	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
5		ralrot3 2699	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
6	1	simp1i 1033	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. Grp
7		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
8		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9	7, 8	grpidcl 13675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. V )
10		elex2 2820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` R ) e. V -> E. j j e. V )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> E. j j e. V )
12		r19.3rmv 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j j e. V -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) ) )
13	6, 11, 12	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
14	13	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) )
15		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( q .X. r ) = ( b .X. r ) )
16	15	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. r ) ) )
17		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = b -> ( w .x. q ) = ( w .x. b ) )
18	17	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = b -> ( ( w .x. q ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) )
19	16, 18	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = b -> ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) ) )
20		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = a -> ( b .X. r ) = ( b .X. a ) )
21	20	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( w .x. ( b .X. a ) ) )
22		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = a -> ( ( w .x. b ) .x. r ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) )
23	21, 22	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = a -> ( ( w .x. ( b .X. r ) ) = ( ( w .x. b ) .x. r ) <-> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) ) )
24		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
25		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( w .x. b ) = ( c .x. b ) )
26	25	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) .x. a ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
27	24, 26	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. ( b .X. a ) ) = ( ( w .x. b ) .x. a ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
28	19, 23, 27	rspc3v 2927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ a e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
29	28	3com12 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
30	14, 29	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. V A. q e. K A. r e. K A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
31	5, 30	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) ) )
32		eqcom 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) <-> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
33	31, 32	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
34	4, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
35	34	3ad2ant3 1047	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) ) )
36	1, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
37	36	adantl 277	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( b .X. a ) ) )
38		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
39		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 |- .X. = ( .r ` F )
40	38, 39	crngcom 14091	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. CRing /\ b e. K /\ a e. K ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
41	40	3expb 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. CRing /\ ( b e. K /\ a e. K ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
42	41	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( ( b e. K /\ a e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
43	42	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
44	43	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( F e. CRing -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) ) )
45	44	impcom 125	. . . 4 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( b .X. a ) = ( a .X. b ) )
46	45	oveq2d 6044	. . 3 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( c .x. ( b .X. a ) ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
47	37, 46	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
48		rmodislmod.m	. . . . . . 7 |- .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) )
49	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> .* = ( s e. K , v e. V |-> ( v .x. s ) ) )
50		oveq12 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( v = c /\ s = b ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
51	50	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( s = b /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
52	51	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = b /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. b ) )
53		simp2 1025	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> b e. K )
54		simp3 1026	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> c e. V )
55		vex 2806	. . . . . . . 8 |- c e. _V
56		rmodislmod.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` R )
57		vscaslid 13309	. . . . . . . . . . 11 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
58	57	slotex 13172	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( .s ` R ) e. _V )
59	6, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` R ) e. _V
60	56, 59	eqeltri 2304	. . . . . . . 8 |- .x. e. _V
61		vex 2806	. . . . . . . 8 |- b e. _V
62		ovexg 6062	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ b e. _V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
63	55, 60, 61, 62	mp3an 1374	. . . . . . 7 |- ( c .x. b ) e. _V
64	63	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. _V )
65	49, 52, 53, 54, 64	ovmpod 6159	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( b .* c ) = ( c .x. b ) )
66	65	oveq2d 6044	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( a .* ( c .x. b ) ) )
67		oveq12 6037	. . . . . . 7 |- ( ( v = ( c .x. b ) /\ s = a ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = a /\ v = ( c .x. b ) ) ) -> ( v .x. s ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
70		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> a e. K )
71		simpl1 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( w .x. r ) e. V )
72	71	2ralimi 2597	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
73	72	2ralimi 2597	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
74	1	simp2i 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. Ring
75		ringgrp 14078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
76		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
77	38, 76	grpidcl 13675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. Grp -> ( 0g ` F ) e. K )
78	74, 75, 77	mp2b 8	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) e. K
79		elex2 2820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> E. j j e. K )
80		r19.3rmv 3587	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. K -> ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
81	78, 79, 80	mp2b 8	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
82	81	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
83		ralcom 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
84		r19.3rmv 3587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j j e. V -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V ) )
85	6, 11, 84	mp2b 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V <-> A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
86	85	biimpri 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V )
87		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = b -> ( w .x. r ) = ( w .x. b ) )
88	87	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = b -> ( ( w .x. r ) e. V <-> ( w .x. b ) e. V ) )
89	25	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = c -> ( ( w .x. b ) e. V <-> ( c .x. b ) e. V ) )
90	88, 89	rspc2v 2924	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( c .x. b ) e. V ) )
91	86, 90	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. V A. r e. K A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
92	83, 91	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( w .x. r ) e. V -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
93	73, 82, 92	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
94	93	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V ) )
95	1, 94	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
96	95	3adant1 1042	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. b ) e. V )
97		vex 2806	. . . . . . 7 |- a e. _V
98		ovexg 6062	. . . . . . 7 |- ( ( ( c .x. b ) e. _V /\ .x. e. _V /\ a e. _V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
99	63, 60, 97, 98	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V
100	99	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( c .x. b ) .x. a ) e. _V )
101	49, 69, 70, 96, 100	ovmpod 6159	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( c .x. b ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
102	66, 101	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
103	102	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( a .* ( b .* c ) ) = ( ( c .x. b ) .x. a ) )
104		oveq12 6037	. . . . . 6 |- ( ( v = c /\ s = ( a .X. b ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
105	104	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
106	105	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) /\ ( s = ( a .X. b ) /\ v = c ) ) -> ( v .x. s ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
107	38, 39	ringcl 14090	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Ring /\ a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
108	107	3expib 1233	. . . . . . 7 |- ( F e. Ring -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
109	108	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( w .x. r ) e. V /\ ( ( w .+ x ) .x. r ) = ( ( w .x. r ) .+ ( x .x. r ) ) /\ ( w .x. ( q .+^ r ) ) = ( ( w .x. q ) .+ ( w .x. r ) ) ) /\ ( ( w .x. ( q .X. r ) ) = ( ( w .x. q ) .x. r ) /\ ( w .x. .1. ) = w ) ) ) -> ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K ) )
110	1, 109	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( a .X. b ) e. K )
111	110	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( a .X. b ) e. K )
112		mulrslid 13278	. . . . . . . . . 10 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
113	112	slotex 13172	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Ring -> ( .r ` F ) e. _V )
114	74, 113	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) e. _V
115	39, 114	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- .X. e. _V
116		ovexg 6062	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ .X. e. _V /\ b e. _V ) -> ( a .X. b ) e. _V )
117	97, 115, 61, 116	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( a .X. b ) e. _V
118		ovexg 6062	. . . . . 6 |- ( ( c e. _V /\ .x. e. _V /\ ( a .X. b ) e. _V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
119	55, 60, 117, 118	mp3an 1374	. . . . 5 |- ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V
120	119	a1i 9	. . . 4 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( c .x. ( a .X. b ) ) e. _V )
121	49, 106, 111, 54, 120	ovmpod 6159	. . 3 |- ( ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
122	121	adantl 277	. 2 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( c .x. ( a .X. b ) ) )
123	47, 103, 122	3eqtr4rd 2275	1 |- ( ( F e. CRing /\ ( a e. K /\ b e. K /\ c e. V ) ) -> ( ( a .X. b ) .* c ) = ( a .* ( b .* c ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   ndxcnx 13142   sSet csts 13143   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227   0gc0g 13402   Grpcgrp 13646   1rcur 14036   Ringcrg 14073   CRingccrg 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-cmn 13936  df-mgp 13998  df-ring 14075  df-cring 14076

This theorem is referenced by:  rmodislmod  14430