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Theorem cnvsom 4974
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnvsom  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem cnvsom
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpom 4973 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A ) )
2 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
42, 3brcnv 4619 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
5 vex 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
62, 5brcnv 4619 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
75, 3brcnv 4619 . . . . . . . . . 10  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
86, 7orbi12i 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y `' R z  \/  z `' R x )  <->  ( z R y  \/  x R z ) )
9 orcom 682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z R y  \/  x R z )  <-> 
( x R z  \/  z R y ) )
108, 9bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `' R z  \/  z `' R x )  <->  ( x R z  \/  z R y ) )
114, 10imbi12i 237 . . . . . . 7  |-  ( ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <-> 
( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
1211ralbii 2384 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
13122ralbii 2386 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
14 ralcom 2530 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) )
1513, 14bitr3i 184 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  (
y `' R z  \/  z `' R x ) ) )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) )
171, 16anbi12d 457 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  (
y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) ) )
18 df-iso 4124 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
19 df-iso 4124 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) )
2017, 18, 193bitr4g 221 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3845    Po wpo 4121    Or wor 4122   `'ccnv 4437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-po 4123  df-iso 4124  df-cnv 4446
This theorem is referenced by:  gtso  7564
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