Theorem cnvsom 5287

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	|- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5286	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )
2		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4919	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
5		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	2, 5	brcnv 4919	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' R z <-> z R y )
7	5, 3	brcnv 4919	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
8	6, 7	orbi12i 772	. . . . . . . . 9 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( z R y \/ x R z ) )
9		orcom 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( z R y \/ x R z ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
11	4, 10	imbi12i 239	. . . . . . 7 |- ( ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
12	11	ralbii 2539	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
13	12	2ralbii 2541	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
14		ralcom 2697	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
15	13, 14	bitr3i 186	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
17	1, 16	anbi12d 473	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) ) )
18		df-iso 4400	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		df-iso 4400	. 2 |- ( `' R Or A <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 223	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   Po wpo 4397   Or wor 4398   `'ccnv 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-po 4399  df-iso 4400  df-cnv 4739

This theorem is referenced by:  gtso  8317