Theorem cnvsom 5126

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	|- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5125	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )
2		vex 2715	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		vex 2715	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4766	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
5		vex 2715	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	2, 5	brcnv 4766	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' R z <-> z R y )
7	5, 3	brcnv 4766	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
8	6, 7	orbi12i 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( z R y \/ x R z ) )
9		orcom 718	. . . . . . . . 9 |- ( ( z R y \/ x R z ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
10	8, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
11	4, 10	imbi12i 238	. . . . . . 7 |- ( ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
12	11	ralbii 2463	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
13	12	2ralbii 2465	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
14		ralcom 2620	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
15	13, 14	bitr3i 185	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
17	1, 16	anbi12d 465	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) ) )
18		df-iso 4256	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		df-iso 4256	. 2 |- ( `' R Or A <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 222	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3965   Po wpo 4253   Or wor 4254   `'ccnv 4582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4255  df-iso 4256  df-cnv 4591

This theorem is referenced by:  gtso  7939