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Theorem cnvsom 5050
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnvsom  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem cnvsom
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpom 5049 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A ) )
2 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
42, 3brcnv 4690 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
5 vex 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
62, 5brcnv 4690 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
75, 3brcnv 4690 . . . . . . . . . 10  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
86, 7orbi12i 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y `' R z  \/  z `' R x )  <->  ( z R y  \/  x R z ) )
9 orcom 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z R y  \/  x R z )  <-> 
( x R z  \/  z R y ) )
108, 9bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( ( y `' R z  \/  z `' R x )  <->  ( x R z  \/  z R y ) )
114, 10imbi12i 238 . . . . . . 7  |-  ( ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <-> 
( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
1211ralbii 2416 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
13122ralbii 2418 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )
14 ralcom 2569 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) )
1513, 14bitr3i 185 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R y  -> 
( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  (
y `' R z  \/  z `' R x ) ) )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) )
171, 16anbi12d 462 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  ( x R z  \/  z R y ) ) )  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( y `' R x  ->  (
y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) ) )
18 df-iso 4187 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R y  ->  (
x R z  \/  z R y ) ) ) )
19 df-iso 4187 . 2  |-  ( `' R  Or  A  <->  ( `' R  Po  A  /\  A. y  e.  A  A. x  e.  A  A. z  e.  A  (
y `' R x  ->  ( y `' R z  \/  z `' R x ) ) ) )
2017, 18, 193bitr4g 222 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897    Po wpo 4184    Or wor 4185   `'ccnv 4506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-po 4186  df-iso 4187  df-cnv 4515
This theorem is referenced by:  gtso  7807
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