Theorem cnvsom 5280

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	|- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 5279	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )
2		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4913	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
5		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	2, 5	brcnv 4913	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' R z <-> z R y )
7	5, 3	brcnv 4913	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
8	6, 7	orbi12i 771	. . . . . . . . 9 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( z R y \/ x R z ) )
9		orcom 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( z R y \/ x R z ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
11	4, 10	imbi12i 239	. . . . . . 7 |- ( ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
12	11	ralbii 2538	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
13	12	2ralbii 2540	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
14		ralcom 2696	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
15	13, 14	bitr3i 186	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
17	1, 16	anbi12d 473	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) ) )
18		df-iso 4394	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		df-iso 4394	. 2 |- ( `' R Or A <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 223	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   Po wpo 4391   Or wor 4392   `'ccnv 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-po 4393  df-iso 4394  df-cnv 4733

This theorem is referenced by:  gtso  8257