ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zsupcllemstep Unicode version

Theorem zsupcllemstep 11023
Description: Lemma for zsupcl 11025. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y, z    n, M, y    ph, n, y    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    M( x, z)

Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8997 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
21ad3antrrr 476 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  K  e.  ZZ )
3 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ y  K  e.  ( ZZ>= `  M )
4 nfv 1466 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
5 nfcv 2228 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y ZZ
6 nfra1 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y
7 nfra1 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
86, 7nfan 1502 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
95, 8nfrexya 2417 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
104, 9nfim 1509 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
113, 10nfan 1502 . . . . . . 7  |-  F/ y ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
12 nfv 1466 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps )
1311, 12nfan 1502 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )
14 nfv 1466 . . . . . 6  |-  F/ y
[. K  /  n ]. ps
1513, 14nfan 1502 . . . . 5  |-  F/ y ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )
16 nfcv 2228 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n ZZ
1716elrabsf 2875 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  [. y  /  n ]. ps ) )
1817simprbi 269 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [. y  /  n ]. ps )
19 sbsbc 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  n ] ps 
<-> 
[. y  /  n ]. ps )
2018, 19sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [ y  /  n ] ps )
2120ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  [ y  /  n ] ps )
22 elrabi 2766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  y  e.  ZZ )
23 zltp1le 8774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
242, 22, 23syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
2524biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( K  +  1 )  <_  y )
262peano2zd 8841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 9001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2826, 22, 27syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2928adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
3025, 29mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )
31 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
3231ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
33 nfs1v 1863 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [ y  /  n ] ps
3433nfn 1593 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  -.  [ y  /  n ] ps
35 sbequ12 1701 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  ( ps 
<->  [ y  /  n ] ps ) )
3635notbid 627 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  ps  <->  -.  [ y  /  n ] ps )
)
3734, 36rspc 2716 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps  ->  -.  [ y  /  n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  -.  [ y  /  n ] ps )
3921, 38pm2.65da 622 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  ->  -.  K  <  y )
4039ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  -.  K  <  y
) )
4115, 40ralrimi 2444 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y )
422ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
43 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  [. K  /  n ]. ps )
4416elrabsf 2875 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  [. K  /  n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )
46 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  K  ->  (
y  <  z  <->  y  <  K ) )
4746rspcev 2722 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
4845, 47sylancom 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z )
4948exp31 356 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) )
5015, 49ralrimi 2444 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
51 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <  y  <->  K  <  y ) )
5251notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  K  <  y ) )
5352ralbidv 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y ) )
54 breq2 3841 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
y  <  x  <->  y  <  K ) )
5554imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
5655ralbidv 2380 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  A. y  e.  RR  ( y  <  K  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
) ) )
5753, 56anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )  <->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) ) )
5857rspcev 2722 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1172 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
60 sbcng 2877 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<->  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
6160ad2antrr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  -.  [. K  /  n ]. ps )
)
6261biimpar 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  [. K  /  n ].  -.  ps )
63 sbcsng 3496 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<-> 
A. n  e.  { K }  -.  ps )
)
6463ad3antrrr 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  A. n  e.  { K }  -.  ps ) )
6562, 64mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  { K }  -.  ps )
66 simplrr 503 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps )
67 uzid 9002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ( ZZ>= `  K )
)
68 peano2uz 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
70 fzouzsplit 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
72 fzosn 9581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K..^ ( K  +  1 ) )  =  { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ ( K  +  1
) )  =  { K } )
7473uneq1d 3151 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
7571, 74eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
7675raleqdv 2568 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps ) )
77 ralunb 3179 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) )
7876, 77syl6bb 194 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) ) )
7978ad3antrrr 476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps 
<->  ( A. n  e. 
{ K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
81 simprl 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  ph )
82 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8381, 82mpand 420 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8483adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
8786ralrimiva 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  ps )
89 nfsbc1v 2856 . . . . . . . 8  |-  F/ n [. K  /  n ]. ps
9089nfdc 1594 . . . . . . 7  |-  F/ nDECID  [. K  /  n ]. ps
91 sbceq1a 2847 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  ( ps 
<-> 
[. K  /  n ]. ps ) )
9291dcbid 786 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. K  /  n ]. ps )
)
9390, 92rspc 2716 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9493ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> DECID  [. K  /  n ]. ps )
96 exmiddc 782 . . . 4  |-  (DECID  [. K  /  n ]. ps  ->  (
[. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 747 . 2  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
9998exp31 356 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   [wsb 1692   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   [.wsbc 2838    u. cun 2995   {csn 3441   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  11024
  Copyright terms: Public domain W3C validator