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Theorem zsupcllemstep 10372
Description: Lemma for zsupcl 10374. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y, z    n, M, y    ph, n, y    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    M( x, z)

Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9657 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
21ad3antrrr 492 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  K  e.  ZZ )
3 nfv 1551 . . . . . . . 8  |-  F/ y  K  e.  ( ZZ>= `  M )
4 nfv 1551 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
5 nfcv 2348 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y ZZ
6 nfra1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y
7 nfra1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
86, 7nfan 1588 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
95, 8nfrexya 2547 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
104, 9nfim 1595 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
113, 10nfan 1588 . . . . . . 7  |-  F/ y ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
12 nfv 1551 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps )
1311, 12nfan 1588 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )
14 nfv 1551 . . . . . 6  |-  F/ y
[. K  /  n ]. ps
1513, 14nfan 1588 . . . . 5  |-  F/ y ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )
16 nfcv 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n ZZ
1716elrabsf 3037 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  [. y  /  n ]. ps ) )
1817simprbi 275 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [. y  /  n ]. ps )
19 sbsbc 3002 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  n ] ps 
<-> 
[. y  /  n ]. ps )
2018, 19sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [ y  /  n ] ps )
2120ad2antlr 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  [ y  /  n ] ps )
22 elrabi 2926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  y  e.  ZZ )
23 zltp1le 9427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
242, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
2524biimpa 296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( K  +  1 )  <_  y )
262peano2zd 9498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2826, 22, 27syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
3025, 29mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )
31 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
3231ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
33 nfs1v 1967 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [ y  /  n ] ps
3433nfn 1681 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  -.  [ y  /  n ] ps
35 sbequ12 1794 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  ( ps 
<->  [ y  /  n ] ps ) )
3635notbid 669 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  ps  <->  -.  [ y  /  n ] ps )
)
3734, 36rspc 2871 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps  ->  -.  [ y  /  n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  -.  [ y  /  n ] ps )
3921, 38pm2.65da 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  ->  -.  K  <  y )
4039ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  -.  K  <  y
) )
4115, 40ralrimi 2577 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y )
422ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
43 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  [. K  /  n ]. ps )
4416elrabsf 3037 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  [. K  /  n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )
46 breq2 4048 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  K  ->  (
y  <  z  <->  y  <  K ) )
4746rspcev 2877 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
4845, 47sylancom 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z )
4948exp31 364 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) )
5015, 49ralrimi 2577 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
51 breq1 4047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <  y  <->  K  <  y ) )
5251notbid 669 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  K  <  y ) )
5352ralbidv 2506 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y ) )
54 breq2 4048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
y  <  x  <->  y  <  K ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
5655ralbidv 2506 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  A. y  e.  RR  ( y  <  K  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
) ) )
5753, 56anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )  <->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) ) )
5857rspcev 2877 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1248 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
60 sbcng 3039 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<->  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
6160ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  -.  [. K  /  n ]. ps )
)
6261biimpar 297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  [. K  /  n ].  -.  ps )
63 sbcsng 3692 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<-> 
A. n  e.  { K }  -.  ps )
)
6463ad3antrrr 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  A. n  e.  { K }  -.  ps ) )
6562, 64mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  { K }  -.  ps )
66 simplrr 536 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps )
67 uzid 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ( ZZ>= `  K )
)
68 peano2uz 9704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
70 fzouzsplit 10303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
72 fzosn 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K..^ ( K  +  1 ) )  =  { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ ( K  +  1
) )  =  { K } )
7473uneq1d 3326 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
7571, 74eqtrd 2238 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
7675raleqdv 2708 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps ) )
77 ralunb 3354 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) ) )
7978ad3antrrr 492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps 
<->  ( A. n  e. 
{ K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 947 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
81 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  ph )
82 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8381, 82mpand 429 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8483adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
8786ralrimiva 2579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  ps )
89 nfsbc1v 3017 . . . . . . . 8  |-  F/ n [. K  /  n ]. ps
9089nfdc 1682 . . . . . . 7  |-  F/ nDECID  [. K  /  n ]. ps
91 sbceq1a 3008 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  ( ps 
<-> 
[. K  /  n ]. ps ) )
9291dcbid 840 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. K  /  n ]. ps )
)
9390, 92rspc 2871 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9493ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> DECID  [. K  /  n ]. ps )
96 exmiddc 838 . . . 4  |-  (DECID  [. K  /  n ]. ps  ->  (
[. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 800 . 2  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
9998exp31 364 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 710  DECID wdc 836    = wceq 1373   [wsb 1785    e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {crab 2488   [.wsbc 2998    u. cun 3164   {csn 3633   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   1c1 7926    + caddc 7928    < clt 8107    <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648  ..^cfzo 10264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  10373
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