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Theorem zsupcllemstep 10409
Description: Lemma for zsupcl 10411. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   n, K, x, y, z   n, M, y   ph, n, y   ps, x, y, z
Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   M( x, z)
Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9692 . . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
21ad3antrrr 492 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> K e. ZZ )
3 nfv 1552 . . . . . . . 8 |- F/ y K e. ( ZZ>= ` M )
4 nfv 1552 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
5 nfcv 2350 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y ZZ
6 nfra1 2539 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y
7 nfra1 2539 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
86, 7nfan 1589 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
95, 8nfrexya 2549 . . . . . . . . 9 |- F/ y E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
104, 9nfim 1596 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
113, 10nfan 1589 . . . . . . 7 |- F/ y ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
12 nfv 1552 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
1311, 12nfan 1589 . . . . . 6 |- F/ y ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
14 nfv 1552 . . . . . 6 |- F/ y [. K / n ]. ps
1513, 14nfan 1589 . . . . 5 |- F/ y ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps )
16 nfcv 2350 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ZZ
1716elrabsf 3044 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } <-> ( y e. ZZ /\ [. y / n ]. ps ) )
1817simprbi 275 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [. y / n ]. ps )
19 sbsbc 3009 . . . . . . . . 9 |- ( [ y / n ] ps <-> [. y / n ]. ps )
2018, 19sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [ y / n ] ps )
2120ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> [ y / n ] ps )
22 elrabi 2933 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> y e. ZZ )
23 zltp1le 9462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
242, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2524biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( K + 1 ) <_ y )
262peano2zd 9533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
27 eluz 9696 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2826, 22, 27syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
3025, 29mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
3231ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
33 nfs1v 1968 . . . . . . . . . 10 |- F/ n [ y / n ] ps
3433nfn 1682 . . . . . . . . 9 |- F/ n -. [ y / n ] ps
35 sbequ12 1795 . . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ps <-> [ y / n ] ps ) )
3635notbid 669 . . . . . . . . 9 |- ( n = y -> ( -. ps <-> -. [ y / n ] ps ) )
3734, 36rspc 2878 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps -> -. [ y / n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> -. [ y / n ] ps )
3921, 38pm2.65da 663 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> -. K < y )
4039ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. { n e. ZZ | ps } -> -. K < y ) )
4115, 40ralrimi 2579 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y )
422ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. ZZ )
43 simpllr 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> [. K / n ]. ps )
4416elrabsf 3044 . . . . . . . 8 |- ( K e. { n e. ZZ | ps } <-> ( K e. ZZ /\ [. K / n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. { n e. ZZ | ps } )
46 breq2 4063 . . . . . . . 8 |- ( z = K -> ( y < z <-> y < K ) )
4746rspcev 2884 . . . . . . 7 |- ( ( K e. { n e. ZZ | ps } /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4845, 47sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4948exp31 364 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. RR -> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5015, 49ralrimi 2579 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
51 breq1 4062 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( x < y <-> K < y ) )
5251notbid 669 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( -. x < y <-> -. K < y ) )
5352ralbidv 2508 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y <-> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y ) )
54 breq2 4063 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( y < x <-> y < K ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5655ralbidv 2508 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5753, 56anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = K -> ( ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) <-> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
5857rspcev 2884 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1248 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
60 sbcng 3046 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6160ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6261biimpar 297 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> [. K / n ]. -. ps )
63 sbcsng 3702 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6463ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6562, 64mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. { K } -. ps )
66 simplrr 536 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
67 uzid 9697 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. ( ZZ>= ` K ) )
68 peano2uz 9739 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
70 fzouzsplit 10338 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
72 fzosn 10371 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
7473uneq1d 3334 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7571, 74eqtrd 2240 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7675raleqdv 2711 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps ) )
77 ralunb 3362 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
7978ad3antrrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 947 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
81 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ph )
82 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8381, 82mpand 429 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8483adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
8786ralrimiva 2581 . . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
89 nfsbc1v 3024 . . . . . . . 8 |- F/ n [. K / n ]. ps
9089nfdc 1683 . . . . . . 7 |- F/ nDECID [. K / n ]. ps
91 sbceq1a 3015 . . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ps <-> [. K / n ]. ps ) )
9291dcbid 840 . . . . . . 7 |- ( n = K -> (DECID ps <-> DECID [. K / n ]. ps ) )
9390, 92rspc 2878 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9493ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> DECID [. K / n ]. ps )
96 exmiddc 838 . . . 4 |- (DECID [. K / n ]. ps -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 800 . 2 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
9998exp31 364 1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   [wsb 1786   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   [.wsbc 3005   u. cun 3172   {csn 3643   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683  ..^cfzo 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  10410
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