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Theorem zsupcllemstep 11674
Description: Lemma for zsupcl 11676. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   n, K, x, y, z   n, M, y   ph, n, y   ps, x, y, z
Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   M( x, z)
Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9359 . . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
21ad3antrrr 484 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> K e. ZZ )
3 nfv 1509 . . . . . . . 8 |- F/ y K e. ( ZZ>= ` M )
4 nfv 1509 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
5 nfcv 2282 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y ZZ
6 nfra1 2469 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y
7 nfra1 2469 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
86, 7nfan 1545 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
95, 8nfrexya 2477 . . . . . . . . 9 |- F/ y E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
104, 9nfim 1552 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
113, 10nfan 1545 . . . . . . 7 |- F/ y ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
12 nfv 1509 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
1311, 12nfan 1545 . . . . . 6 |- F/ y ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
14 nfv 1509 . . . . . 6 |- F/ y [. K / n ]. ps
1513, 14nfan 1545 . . . . 5 |- F/ y ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps )
16 nfcv 2282 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ZZ
1716elrabsf 2951 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } <-> ( y e. ZZ /\ [. y / n ]. ps ) )
1817simprbi 273 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [. y / n ]. ps )
19 sbsbc 2917 . . . . . . . . 9 |- ( [ y / n ] ps <-> [. y / n ]. ps )
2018, 19sylibr 133 . . . . . . . 8 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [ y / n ] ps )
2120ad2antlr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> [ y / n ] ps )
22 elrabi 2841 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> y e. ZZ )
23 zltp1le 9132 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
242, 22, 23syl2an 287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2524biimpa 294 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( K + 1 ) <_ y )
262peano2zd 9200 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
27 eluz 9363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2826, 22, 27syl2an 287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2928adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
3025, 29mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
31 simprr 522 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
3231ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
33 nfs1v 1913 . . . . . . . . . 10 |- F/ n [ y / n ] ps
3433nfn 1637 . . . . . . . . 9 |- F/ n -. [ y / n ] ps
35 sbequ12 1745 . . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ps <-> [ y / n ] ps ) )
3635notbid 657 . . . . . . . . 9 |- ( n = y -> ( -. ps <-> -. [ y / n ] ps ) )
3734, 36rspc 2787 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps -> -. [ y / n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> -. [ y / n ] ps )
3921, 38pm2.65da 651 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> -. K < y )
4039ex 114 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. { n e. ZZ | ps } -> -. K < y ) )
4115, 40ralrimi 2506 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y )
422ad2antrr 480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. ZZ )
43 simpllr 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> [. K / n ]. ps )
4416elrabsf 2951 . . . . . . . 8 |- ( K e. { n e. ZZ | ps } <-> ( K e. ZZ /\ [. K / n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. { n e. ZZ | ps } )
46 breq2 3941 . . . . . . . 8 |- ( z = K -> ( y < z <-> y < K ) )
4746rspcev 2793 . . . . . . 7 |- ( ( K e. { n e. ZZ | ps } /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4845, 47sylancom 417 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4948exp31 362 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. RR -> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5015, 49ralrimi 2506 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
51 breq1 3940 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( x < y <-> K < y ) )
5251notbid 657 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( -. x < y <-> -. K < y ) )
5352ralbidv 2438 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y <-> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y ) )
54 breq2 3941 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( y < x <-> y < K ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5655ralbidv 2438 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5753, 56anbi12d 465 . . . . 5 |- ( x = K -> ( ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) <-> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
5857rspcev 2793 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1215 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
60 sbcng 2953 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6160ad2antrr 480 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6261biimpar 295 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> [. K / n ]. -. ps )
63 sbcsng 3590 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6463ad3antrrr 484 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6562, 64mpbid 146 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. { K } -. ps )
66 simplrr 526 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
67 uzid 9364 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. ( ZZ>= ` K ) )
68 peano2uz 9405 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
70 fzouzsplit 9987 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
72 fzosn 10013 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
7473uneq1d 3234 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7571, 74eqtrd 2173 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7675raleqdv 2635 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps ) )
77 ralunb 3262 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
7876, 77syl6bb 195 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
7978ad3antrrr 484 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 929 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
81 simprl 521 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ph )
82 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8381, 82mpand 426 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8483adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
8786ralrimiva 2508 . . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
89 nfsbc1v 2931 . . . . . . . 8 |- F/ n [. K / n ]. ps
9089nfdc 1638 . . . . . . 7 |- F/ nDECID [. K / n ]. ps
91 sbceq1a 2922 . . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ps <-> [. K / n ]. ps ) )
9291dcbid 824 . . . . . . 7 |- ( n = K -> (DECID ps <-> DECID [. K / n ]. ps ) )
9390, 92rspc 2787 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9493ad2antrr 480 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> DECID [. K / n ]. ps )
96 exmiddc 822 . . . 4 |- (DECID [. K / n ]. ps -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 788 . 2 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
9998exp31 362 1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   [wsb 1736   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   [.wsbc 2913   u. cun 3074   {csn 3532   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350  ..^cfzo 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-fzo 9951
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  11675
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