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Theorem zsupcllemstep 10535
Description: Lemma for zsupcl 10537. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   n, K, x, y, z   n, M, y   ph, n, y   ps, x, y, z
Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   M( x, z)
Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9809 . . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
21ad3antrrr 492 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> K e. ZZ )
3 nfv 1577 . . . . . . . 8 |- F/ y K e. ( ZZ>= ` M )
4 nfv 1577 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
5 nfcv 2375 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y ZZ
6 nfra1 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y
7 nfra1 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
86, 7nfan 1614 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
95, 8nfrexya 2574 . . . . . . . . 9 |- F/ y E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
104, 9nfim 1621 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
113, 10nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ y ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
12 nfv 1577 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
1311, 12nfan 1614 . . . . . 6 |- F/ y ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
14 nfv 1577 . . . . . 6 |- F/ y [. K / n ]. ps
1513, 14nfan 1614 . . . . 5 |- F/ y ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps )
16 nfcv 2375 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ZZ
1716elrabsf 3071 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } <-> ( y e. ZZ /\ [. y / n ]. ps ) )
1817simprbi 275 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [. y / n ]. ps )
19 sbsbc 3036 . . . . . . . . 9 |- ( [ y / n ] ps <-> [. y / n ]. ps )
2018, 19sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [ y / n ] ps )
2120ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> [ y / n ] ps )
22 elrabi 2960 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> y e. ZZ )
23 zltp1le 9578 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
242, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2524biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( K + 1 ) <_ y )
262peano2zd 9649 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
27 eluz 9813 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2826, 22, 27syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
3025, 29mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
31 simprr 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
3231ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
33 nfs1v 1992 . . . . . . . . . 10 |- F/ n [ y / n ] ps
3433nfn 1706 . . . . . . . . 9 |- F/ n -. [ y / n ] ps
35 sbequ12 1819 . . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ps <-> [ y / n ] ps ) )
3635notbid 673 . . . . . . . . 9 |- ( n = y -> ( -. ps <-> -. [ y / n ] ps ) )
3734, 36rspc 2905 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps -> -. [ y / n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> -. [ y / n ] ps )
3921, 38pm2.65da 667 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> -. K < y )
4039ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. { n e. ZZ | ps } -> -. K < y ) )
4115, 40ralrimi 2604 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y )
422ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. ZZ )
43 simpllr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> [. K / n ]. ps )
4416elrabsf 3071 . . . . . . . 8 |- ( K e. { n e. ZZ | ps } <-> ( K e. ZZ /\ [. K / n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. { n e. ZZ | ps } )
46 breq2 4097 . . . . . . . 8 |- ( z = K -> ( y < z <-> y < K ) )
4746rspcev 2911 . . . . . . 7 |- ( ( K e. { n e. ZZ | ps } /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4845, 47sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4948exp31 364 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. RR -> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5015, 49ralrimi 2604 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
51 breq1 4096 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( x < y <-> K < y ) )
5251notbid 673 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( -. x < y <-> -. K < y ) )
5352ralbidv 2533 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y <-> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y ) )
54 breq2 4097 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( y < x <-> y < K ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5655ralbidv 2533 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5753, 56anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = K -> ( ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) <-> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
5857rspcev 2911 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1272 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
60 sbcng 3073 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6160ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6261biimpar 297 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> [. K / n ]. -. ps )
63 sbcsng 3732 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6463ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6562, 64mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. { K } -. ps )
66 simplrr 538 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
67 uzid 9814 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. ( ZZ>= ` K ) )
68 peano2uz 9861 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
70 fzouzsplit 10461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
72 fzosn 10496 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
7473uneq1d 3362 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7571, 74eqtrd 2264 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7675raleqdv 2737 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps ) )
77 ralunb 3390 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
7978ad3antrrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 953 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
81 simprl 531 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ph )
82 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8381, 82mpand 429 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8483adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
8786ralrimiva 2606 . . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
89 nfsbc1v 3051 . . . . . . . 8 |- F/ n [. K / n ]. ps
9089nfdc 1707 . . . . . . 7 |- F/ nDECID [. K / n ]. ps
91 sbceq1a 3042 . . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ps <-> [. K / n ]. ps ) )
9291dcbid 846 . . . . . . 7 |- ( n = K -> (DECID ps <-> DECID [. K / n ]. ps ) )
9390, 92rspc 2905 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9493ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> DECID [. K / n ]. ps )
96 exmiddc 844 . . . 4 |- (DECID [. K / n ]. ps -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 806 . 2 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
9998exp31 364 1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   [wsb 1810   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   [.wsbc 3032   u. cun 3199   {csn 3673   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   RRcr 8074   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   <_ cle 8257   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799  ..^cfzo 10422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  10536
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