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Theorem zsupcllemstep 11627
Description: Lemma for zsupcl 11629. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y, z    n, M, y    ph, n, y    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    M( x, z)

Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9328 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
21ad3antrrr 483 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  K  e.  ZZ )
3 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ y  K  e.  ( ZZ>= `  M )
4 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
5 nfcv 2279 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y ZZ
6 nfra1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y
7 nfra1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
86, 7nfan 1544 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
95, 8nfrexya 2472 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
104, 9nfim 1551 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
113, 10nfan 1544 . . . . . . 7  |-  F/ y ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
12 nfv 1508 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps )
1311, 12nfan 1544 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )
14 nfv 1508 . . . . . 6  |-  F/ y
[. K  /  n ]. ps
1513, 14nfan 1544 . . . . 5  |-  F/ y ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )
16 nfcv 2279 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n ZZ
1716elrabsf 2942 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  [. y  /  n ]. ps ) )
1817simprbi 273 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [. y  /  n ]. ps )
19 sbsbc 2908 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  n ] ps 
<-> 
[. y  /  n ]. ps )
2018, 19sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [ y  /  n ] ps )
2120ad2antlr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  [ y  /  n ] ps )
22 elrabi 2832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  y  e.  ZZ )
23 zltp1le 9101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
242, 22, 23syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
2524biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( K  +  1 )  <_  y )
262peano2zd 9169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 9332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2826, 22, 27syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2928adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
3025, 29mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )
31 simprr 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
3231ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
33 nfs1v 1910 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [ y  /  n ] ps
3433nfn 1636 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  -.  [ y  /  n ] ps
35 sbequ12 1744 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  ( ps 
<->  [ y  /  n ] ps ) )
3635notbid 656 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  ps  <->  -.  [ y  /  n ] ps )
)
3734, 36rspc 2778 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps  ->  -.  [ y  /  n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  -.  [ y  /  n ] ps )
3921, 38pm2.65da 650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  ->  -.  K  <  y )
4039ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  -.  K  <  y
) )
4115, 40ralrimi 2501 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y )
422ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
43 simpllr 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  [. K  /  n ]. ps )
4416elrabsf 2942 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  [. K  /  n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )
46 breq2 3928 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  K  ->  (
y  <  z  <->  y  <  K ) )
4746rspcev 2784 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
4845, 47sylancom 416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z )
4948exp31 361 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) )
5015, 49ralrimi 2501 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
51 breq1 3927 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <  y  <->  K  <  y ) )
5251notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  K  <  y ) )
5352ralbidv 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y ) )
54 breq2 3928 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
y  <  x  <->  y  <  K ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
5655ralbidv 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  A. y  e.  RR  ( y  <  K  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
) ) )
5753, 56anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )  <->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) ) )
5857rspcev 2784 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1214 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
60 sbcng 2944 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<->  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
6160ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  -.  [. K  /  n ]. ps )
)
6261biimpar 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  [. K  /  n ].  -.  ps )
63 sbcsng 3577 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<-> 
A. n  e.  { K }  -.  ps )
)
6463ad3antrrr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  A. n  e.  { K }  -.  ps ) )
6562, 64mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  { K }  -.  ps )
66 simplrr 525 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps )
67 uzid 9333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ( ZZ>= `  K )
)
68 peano2uz 9371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
70 fzouzsplit 9949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
72 fzosn 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K..^ ( K  +  1 ) )  =  { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ ( K  +  1
) )  =  { K } )
7473uneq1d 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
7571, 74eqtrd 2170 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
7675raleqdv 2630 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps ) )
77 ralunb 3252 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) )
7876, 77syl6bb 195 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) ) )
7978ad3antrrr 483 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps 
<->  ( A. n  e. 
{ K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 928 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
81 simprl 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  ph )
82 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8381, 82mpand 425 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8483adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
8786ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  ps )
89 nfsbc1v 2922 . . . . . . . 8  |-  F/ n [. K  /  n ]. ps
9089nfdc 1637 . . . . . . 7  |-  F/ nDECID  [. K  /  n ]. ps
91 sbceq1a 2913 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  ( ps 
<-> 
[. K  /  n ]. ps ) )
9291dcbid 823 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. K  /  n ]. ps )
)
9390, 92rspc 2778 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9493ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> DECID  [. K  /  n ]. ps )
96 exmiddc 821 . . . 4  |-  (DECID  [. K  /  n ]. ps  ->  (
[. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 787 . 2  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
9998exp31 361 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480   [wsb 1735   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418   [.wsbc 2904    u. cun 3064   {csn 3522   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   1c1 7614    + caddc 7616    < clt 7793    <_ cle 7794   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319  ..^cfzo 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  11628
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