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Theorem zsupcllemstep 12082
Description: Lemma for zsupcl 12084. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   n, K, x, y, z   n, M, y   ph, n, y   ps, x, y, z
Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   M( x, z)
Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9601 . . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
21ad3antrrr 492 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> K e. ZZ )
3 nfv 1539 . . . . . . . 8 |- F/ y K e. ( ZZ>= ` M )
4 nfv 1539 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
5 nfcv 2336 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y ZZ
6 nfra1 2525 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y
7 nfra1 2525 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
86, 7nfan 1576 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
95, 8nfrexya 2535 . . . . . . . . 9 |- F/ y E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
104, 9nfim 1583 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
113, 10nfan 1576 . . . . . . 7 |- F/ y ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
12 nfv 1539 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
1311, 12nfan 1576 . . . . . 6 |- F/ y ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
14 nfv 1539 . . . . . 6 |- F/ y [. K / n ]. ps
1513, 14nfan 1576 . . . . 5 |- F/ y ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps )
16 nfcv 2336 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ZZ
1716elrabsf 3024 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } <-> ( y e. ZZ /\ [. y / n ]. ps ) )
1817simprbi 275 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [. y / n ]. ps )
19 sbsbc 2989 . . . . . . . . 9 |- ( [ y / n ] ps <-> [. y / n ]. ps )
2018, 19sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> [ y / n ] ps )
2120ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> [ y / n ] ps )
22 elrabi 2913 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { n e. ZZ | ps } -> y e. ZZ )
23 zltp1le 9371 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
242, 22, 23syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( K < y <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2524biimpa 296 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( K + 1 ) <_ y )
262peano2zd 9442 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( K + 1 ) e. ZZ )
27 eluz 9605 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + 1 ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2826, 22, 27syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) <-> ( K + 1 ) <_ y ) )
3025, 29mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
31 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
3231ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
33 nfs1v 1955 . . . . . . . . . 10 |- F/ n [ y / n ] ps
3433nfn 1669 . . . . . . . . 9 |- F/ n -. [ y / n ] ps
35 sbequ12 1782 . . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ps <-> [ y / n ] ps ) )
3635notbid 668 . . . . . . . . 9 |- ( n = y -> ( -. ps <-> -. [ y / n ] ps ) )
3734, 36rspc 2858 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps -> -. [ y / n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) /\ K < y ) -> -. [ y / n ] ps )
3921, 38pm2.65da 662 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. { n e. ZZ | ps } ) -> -. K < y )
4039ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. { n e. ZZ | ps } -> -. K < y ) )
4115, 40ralrimi 2565 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y )
422ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. ZZ )
43 simpllr 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> [. K / n ]. ps )
4416elrabsf 3024 . . . . . . . 8 |- ( K e. { n e. ZZ | ps } <-> ( K e. ZZ /\ [. K / n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> K e. { n e. ZZ | ps } )
46 breq2 4033 . . . . . . . 8 |- ( z = K -> ( y < z <-> y < K ) )
4746rspcev 2864 . . . . . . 7 |- ( ( K e. { n e. ZZ | ps } /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4845, 47sylancom 420 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) /\ y e. RR ) /\ y < K ) -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z )
4948exp31 364 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> ( y e. RR -> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5015, 49ralrimi 2565 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) )
51 breq1 4032 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( x < y <-> K < y ) )
5251notbid 668 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( -. x < y <-> -. K < y ) )
5352ralbidv 2494 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y <-> A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y ) )
54 breq2 4033 . . . . . . . 8 |- ( x = K -> ( y < x <-> y < K ) )
5554imbi1d 231 . . . . . . 7 |- ( x = K -> ( ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5655ralbidv 2494 . . . . . 6 |- ( x = K -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) <-> A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
5753, 56anbi12d 473 . . . . 5 |- ( x = K -> ( ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) <-> ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
5857rspcev 2864 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. K < y /\ A. y e. RR ( y < K -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1247 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
60 sbcng 3026 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6160ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> -. [. K / n ]. ps ) )
6261biimpar 297 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> [. K / n ]. -. ps )
63 sbcsng 3677 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6463ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( [. K / n ]. -. ps <-> A. n e. { K } -. ps ) )
6562, 64mpbid 147 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. { K } -. ps )
66 simplrr 536 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps )
67 uzid 9606 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. ( ZZ>= ` K ) )
68 peano2uz 9648 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( ZZ>= ` K ) -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
70 fzouzsplit 10246 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
72 fzosn 10272 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K..^ ( K + 1 ) ) = { K } )
7473uneq1d 3312 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( K..^ ( K + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7571, 74eqtrd 2226 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` K ) = ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) )
7675raleqdv 2696 . . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps ) )
77 ralunb 3340 . . . . . . 7 |- ( A. n e. ( { K } u. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
7978ad3antrrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps <-> ( A. n e. { K } -. ps /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 946 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps )
81 simprl 529 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ph )
82 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8381, 82mpand 429 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8483adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3 |- ( ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) /\ -. [. K / n ]. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
8786ralrimiva 2567 . . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps )
89 nfsbc1v 3004 . . . . . . . 8 |- F/ n [. K / n ]. ps
9089nfdc 1670 . . . . . . 7 |- F/ nDECID [. K / n ]. ps
91 sbceq1a 2995 . . . . . . . 8 |- ( n = K -> ( ps <-> [. K / n ]. ps ) )
9291dcbid 839 . . . . . . 7 |- ( n = K -> (DECID ps <-> DECID [. K / n ]. ps ) )
9390, 92rspc 2858 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9493ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M )DECID ps -> DECID [. K / n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> DECID [. K / n ]. ps )
96 exmiddc 837 . . . 4 |- (DECID [. K / n ]. ps -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> ( [. K / n ]. ps \/ -. [. K / n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 799 . 2 |- ( ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) /\ ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
9998exp31 364 1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` K ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   [wsb 1773   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   [.wsbc 2985   u. cun 3151   {csn 3618   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592  ..^cfzo 10208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  12083
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