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Theorem zsupcllemstep 11550
Description: Lemma for zsupcl 11552. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
zsupcllemstep.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemstep  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y, z    n, M, y    ph, n, y    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    M( x, z)

Proof of Theorem zsupcllemstep
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9291 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
21ad3antrrr 483 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  K  e.  ZZ )
3 nfv 1493 . . . . . . . 8  |-  F/ y  K  e.  ( ZZ>= `  M )
4 nfv 1493 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
5 nfcv 2258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y ZZ
6 nfra1 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y
7 nfra1 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
86, 7nfan 1529 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
95, 8nfrexya 2451 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
104, 9nfim 1536 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
113, 10nfan 1529 . . . . . . 7  |-  F/ y ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
12 nfv 1493 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps )
1311, 12nfan 1529 . . . . . 6  |-  F/ y ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )
14 nfv 1493 . . . . . 6  |-  F/ y
[. K  /  n ]. ps
1513, 14nfan 1529 . . . . 5  |-  F/ y ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )
16 nfcv 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n ZZ
1716elrabsf 2919 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  [. y  /  n ]. ps ) )
1817simprbi 273 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [. y  /  n ]. ps )
19 sbsbc 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  n ] ps 
<-> 
[. y  /  n ]. ps )
2018, 19sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  [ y  /  n ] ps )
2120ad2antlr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  [ y  /  n ] ps )
22 elrabi 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  y  e.  ZZ )
23 zltp1le 9066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
242, 22, 23syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( K  <  y  <->  ( K  +  1 )  <_  y ) )
2524biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( K  +  1 )  <_  y )
262peano2zd 9134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( K  +  1 )  e.  ZZ )
27 eluz 9295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2826, 22, 27syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
2928adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
( y  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  <->  ( K  +  1 )  <_ 
y ) )
3025, 29mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  -> 
y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )
31 simprr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
3231ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )
33 nfs1v 1892 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n [ y  /  n ] ps
3433nfn 1621 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  -.  [ y  /  n ] ps
35 sbequ12 1729 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  ( ps 
<->  [ y  /  n ] ps ) )
3635notbid 641 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  ps  <->  -.  [ y  /  n ] ps )
)
3734, 36rspc 2757 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps  ->  -.  [ y  /  n ] ps ) )
3830, 32, 37sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  /\  K  <  y )  ->  -.  [ y  /  n ] ps )
3921, 38pm2.65da 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )  ->  -.  K  <  y )
4039ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  ->  -.  K  <  y
) )
4115, 40ralrimi 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y )
422ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
43 simpllr 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  [. K  /  n ]. ps )
4416elrabsf 2919 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  <->  ( K  e.  ZZ  /\  [. K  /  n ]. ps ) )
4542, 43, 44sylanbrc 413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } )
46 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  K  ->  (
y  <  z  <->  y  <  K ) )
4746rspcev 2763 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)
4845, 47sylancom 416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <  K )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z )
4948exp31 361 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( y  e.  RR  ->  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) )
5015, 49ralrimi 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )
51 breq1 3902 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <  y  <->  K  <  y ) )
5251notbid 641 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  K  <  y ) )
5352ralbidv 2414 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y ) )
54 breq2 3903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
y  <  x  <->  y  <  K ) )
5554imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
5655ralbidv 2414 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
)  <->  A. y  e.  RR  ( y  <  K  ->  E. z  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps } y  <  z
) ) )
5753, 56anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  K  ->  (
( A. y  e. 
{ n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) )  <->  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }
y  <  z )
) ) )
5857rspcev 2763 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  K  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
K  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
592, 41, 50, 58syl12anc 1199 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
60 sbcng 2921 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<->  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
6160ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  -.  [. K  /  n ]. ps )
)
6261biimpar 295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  [. K  /  n ].  -.  ps )
63 sbcsng 3552 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps 
<-> 
A. n  e.  { K }  -.  ps )
)
6463ad3antrrr 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( [. K  /  n ].  -.  ps  <->  A. n  e.  { K }  -.  ps ) )
6562, 64mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  { K }  -.  ps )
66 simplrr 510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps )
67 uzid 9296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ( ZZ>= `  K )
)
68 peano2uz 9334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
70 fzouzsplit 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
711, 69, 703syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
72 fzosn 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K..^ ( K  +  1 ) )  =  { K } )
731, 72syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K..^ ( K  +  1
) )  =  { K } )
7473uneq1d 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K..^ ( K  +  1 ) )  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) ) )
7571, 74eqtrd 2150 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  K )  =  ( { K }  u.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) ) )
7675raleqdv 2609 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps ) )
77 ralunb 3227 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( { K }  u.  ( ZZ>=
`  ( K  + 
1 ) ) )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) )
7876, 77syl6bb 195 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  <->  ( A. n  e.  { K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) )  -.  ps ) ) )
7978ad3antrrr 483 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps 
<->  ( A. n  e. 
{ K }  -.  ps  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  -.  ps ) ) )
8065, 66, 79mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )
81 simprl 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  ph )
82 simplr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8381, 82mpand 425 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8483adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  K )  -. 
ps  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
8580, 84mpd 13 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  /\  -.  [. K  /  n ]. ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
86 zsupcllemstep.dc . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
8786ralrimiva 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  ps )
8881, 87syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  M )DECID  ps )
89 nfsbc1v 2900 . . . . . . . 8  |-  F/ n [. K  /  n ]. ps
9089nfdc 1622 . . . . . . 7  |-  F/ nDECID  [. K  /  n ]. ps
91 sbceq1a 2891 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  ( ps 
<-> 
[. K  /  n ]. ps ) )
9291dcbid 808 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (DECID  ps  <-> DECID  [. K  /  n ]. ps )
)
9390, 92rspc 2757 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9493ad2antrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  ps  -> DECID  [. K  /  n ]. ps ) )
9588, 94mpd 13 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> DECID  [. K  /  n ]. ps )
96 exmiddc 806 . . . 4  |-  (DECID  [. K  /  n ]. ps  ->  (
[. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9795, 96syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  -> 
( [. K  /  n ]. ps  \/  -.  [. K  /  n ]. ps ) )
9859, 85, 97mpjaodan 772 . 2  |-  ( ( ( K  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )  /\  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
9998exp31 361 1  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  K )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( K  + 
1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   [wsb 1720   A.wral 2393   E.wrex 2394   {crab 2397   [.wsbc 2882    u. cun 3039   {csn 3497   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282  ..^cfzo 9874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-fz 9746  df-fzo 9875
This theorem is referenced by:  zsupcllemex  11551
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