Theorem 2sqlem10 16158

Description: Lemma for 2sq . Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem10	|- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, A, y, z   x, B, y   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( w)   B( z, w)   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10

Dummy variables a b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4128	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b || a <-> B || a ) )
2		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b e. S <-> B e. S ) )
3	1, 2	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( B || a -> B e. S ) ) )
4	3	ralbidv 2550	. . . 4 |- ( b = B -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
5		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... 1 ) )
6	5	raleqdv 2755	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
7		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
8	7	raleqdv 2755	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
9		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( n + 1 ) ) )
10	9	raleqdv 2755	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
11		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( m = B -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... B ) )
12	11	raleqdv 2755	. . . . 5 |- ( m = B -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
13		elfz1eq 10418	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b = 1 )
14		1z 9649	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
15		zgz 13130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ[_i] )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ[_i]
17		sq1 11048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
18	17	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
19		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
20		abs1 11816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
22	21	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
23	22	rspceeqv 2948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ[_i] /\ 1 = ( 1 ^ 2 ) ) -> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
24	16, 18, 23	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 )
25		2sq.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
26	25	2sqlem1 16147	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. S <-> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
27	24, 26	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- 1 e. S
28	13, 27	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b e. S )
29	28	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> ( b || a -> b e. S ) )
30	29	ralrimivw 2624	. . . . . 6 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
31	30	rgen 2603	. . . . 5 |- A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S )
32		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
33		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
34		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> n e. CC )
35	34	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> n e. CC )
36		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
38	35, 36, 37	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
39	38	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) )
40	39	raleqdv 2755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
41	33, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
42		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) || m )
43		peano2nn 9295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
44	43	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
45		simprl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> m e. Y )
46	25, 32, 41, 42, 44, 45	2sqlem9 16157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. S )
47	46	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ m e. Y ) -> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
48	47	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
50		breq2 4129	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( n + 1 ) || a <-> ( n + 1 ) || m ) )
51	50	imbi1d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( a = m -> ( ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
52	51	cbvralvw 2790	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
53	49, 52	imbitrrdi 162	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
54		breq1 4128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b || a <-> ( n + 1 ) || a ) )
55		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b e. S <-> ( n + 1 ) e. S ) )
56	54, 55	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
57	56	ralbidv 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
58	57	ralsng 3745	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
59	43, 58	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
60	53, 59	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
61	60	ancld 325	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
62		elnnuz 9938	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
63		fzsuc 10453	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
64	62, 63	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
65	64	raleqdv 2755	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
66		ralunb 3410	. . . . . . 7 |- ( A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
67	65, 66	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
68	61, 67	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
69	6, 8, 10, 12, 31, 68	nnind 9299	. . . 4 |- ( B e. NN -> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
70		elfz1end 10439	. . . . 5 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
71	70	biimpi 120	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ( 1 ... B ) )
72	4, 69, 71	rspcdva 2934	. . 3 |- ( B e. NN -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) )
73		breq2 4129	. . . . 5 |- ( a = A -> ( B || a <-> B || A ) )
74	73	imbi1d 231	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( B || a -> B e. S ) <-> ( B || A -> B e. S ) ) )
75	74	rspcv 2925	. . 3 |- ( A e. Y -> ( A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) -> ( B || A -> B e. S ) ) )
76	72, 75	syl5 32	. 2 |- ( A e. Y -> ( B e. NN -> ( B || A -> B e. S ) ) )
77	76	3imp 1224	1 |- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   {csn 3705   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   ran crn 4770   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   - cmin 8487   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   ^cexp 10953   abscabs 11741   || cdvds 12532   gcd cgcd 12708   ZZ[_i]cgz 13126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-prm 12864  df-gz 13127

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