Theorem 2sqlem10 15804

Description: Lemma for 2sq . Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem10	|- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, A, y, z   x, B, y   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( w)   B( z, w)   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10

Dummy variables a b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b || a <-> B || a ) )
2		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b e. S <-> B e. S ) )
3	1, 2	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( B || a -> B e. S ) ) )
4	3	ralbidv 2530	. . . 4 |- ( b = B -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
5		oveq2 6009	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... 1 ) )
6	5	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
7		oveq2 6009	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
8	7	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
9		oveq2 6009	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( n + 1 ) ) )
10	9	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
11		oveq2 6009	. . . . . 6 |- ( m = B -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... B ) )
12	11	raleqdv 2734	. . . . 5 |- ( m = B -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
13		elfz1eq 10231	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b = 1 )
14		1z 9472	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
15		zgz 12896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ[_i] )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ[_i]
17		sq1 10855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
18	17	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
19		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
20		abs1 11583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
22	21	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
23	22	rspceeqv 2925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ[_i] /\ 1 = ( 1 ^ 2 ) ) -> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
24	16, 18, 23	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 )
25		2sq.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
26	25	2sqlem1 15793	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. S <-> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
27	24, 26	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- 1 e. S
28	13, 27	eqeltrdi 2320	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b e. S )
29	28	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> ( b || a -> b e. S ) )
30	29	ralrimivw 2604	. . . . . 6 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
31	30	rgen 2583	. . . . 5 |- A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S )
32		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
34		nncn 9118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> n e. CC )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> n e. CC )
36		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		pncan 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
38	35, 36, 37	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
39	38	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) )
40	39	raleqdv 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
41	33, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
42		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) || m )
43		peano2nn 9122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> m e. Y )
46	25, 32, 41, 42, 44, 45	2sqlem9 15803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. S )
47	46	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ m e. Y ) -> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
48	47	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
50		breq2 4087	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( n + 1 ) || a <-> ( n + 1 ) || m ) )
51	50	imbi1d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( a = m -> ( ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
52	51	cbvralvw 2769	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
53	49, 52	imbitrrdi 162	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
54		breq1 4086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b || a <-> ( n + 1 ) || a ) )
55		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b e. S <-> ( n + 1 ) e. S ) )
56	54, 55	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
57	56	ralbidv 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
58	57	ralsng 3706	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
59	43, 58	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
60	53, 59	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
61	60	ancld 325	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
62		elnnuz 9759	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
63		fzsuc 10265	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
64	62, 63	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
65	64	raleqdv 2734	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
66		ralunb 3385	. . . . . . 7 |- ( A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
67	65, 66	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
68	61, 67	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
69	6, 8, 10, 12, 31, 68	nnind 9126	. . . 4 |- ( B e. NN -> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
70		elfz1end 10251	. . . . 5 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
71	70	biimpi 120	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ( 1 ... B ) )
72	4, 69, 71	rspcdva 2912	. . 3 |- ( B e. NN -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) )
73		breq2 4087	. . . . 5 |- ( a = A -> ( B || a <-> B || A ) )
74	73	imbi1d 231	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( B || a -> B e. S ) <-> ( B || A -> B e. S ) ) )
75	74	rspcv 2903	. . 3 |- ( A e. Y -> ( A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) -> ( B || A -> B e. S ) ) )
76	72, 75	syl5 32	. 2 |- ( A e. Y -> ( B e. NN -> ( B || A -> B e. S ) ) )
77	76	3imp 1217	1 |- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3195   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ran crn 4720   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   NNcn 9110   2c2 9161   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   ^cexp 10760   abscabs 11508   || cdvds 12298   gcd cgcd 12474   ZZ[_i]cgz 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-er 6680  df-en 6888  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-fl 10490  df-mod 10545  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-dvds 12299  df-gcd 12475  df-prm 12630  df-gz 12893

This theorem is referenced by: (None)