Theorem 2sqlem10 16124

Description: Lemma for 2sq . Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem10	|- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, A, y, z   x, B, y   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( w)   B( z, w)   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10

Dummy variables a b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4117	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b || a <-> B || a ) )
2		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b e. S <-> B e. S ) )
3	1, 2	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( B || a -> B e. S ) ) )
4	3	ralbidv 2544	. . . 4 |- ( b = B -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
5		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... 1 ) )
6	5	raleqdv 2749	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
7		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
8	7	raleqdv 2749	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
9		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( n + 1 ) ) )
10	9	raleqdv 2749	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
11		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( m = B -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... B ) )
12	11	raleqdv 2749	. . . . 5 |- ( m = B -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
13		elfz1eq 10389	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b = 1 )
14		1z 9620	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
15		zgz 13096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ[_i] )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ[_i]
17		sq1 11019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
18	17	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
19		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
20		abs1 11782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
22	21	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
23	22	rspceeqv 2942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ[_i] /\ 1 = ( 1 ^ 2 ) ) -> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
24	16, 18, 23	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 )
25		2sq.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
26	25	2sqlem1 16113	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. S <-> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
27	24, 26	mpbir 146	. . . . . . . . 9 |- 1 e. S
28	13, 27	eqeltrdi 2325	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b e. S )
29	28	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> ( b || a -> b e. S ) )
30	29	ralrimivw 2618	. . . . . 6 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
31	30	rgen 2597	. . . . 5 |- A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S )
32		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
33		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
34		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> n e. CC )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> n e. CC )
36		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		pncan 8495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
38	35, 36, 37	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
39	38	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) )
40	39	raleqdv 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
41	33, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
42		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) || m )
43		peano2nn 9266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
45		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> m e. Y )
46	25, 32, 41, 42, 44, 45	2sqlem9 16123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. S )
47	46	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ m e. Y ) -> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
48	47	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
49	48	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
50		breq2 4118	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( n + 1 ) || a <-> ( n + 1 ) || m ) )
51	50	imbi1d 231	. . . . . . . . . 10 |- ( a = m -> ( ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
52	51	cbvralvw 2784	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
53	49, 52	imbitrrdi 162	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
54		breq1 4117	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b || a <-> ( n + 1 ) || a ) )
55		eleq1 2297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b e. S <-> ( n + 1 ) e. S ) )
56	54, 55	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
57	56	ralbidv 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
58	57	ralsng 3734	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
59	43, 58	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
60	53, 59	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
61	60	ancld 325	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
62		elnnuz 9909	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
63		fzsuc 10424	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
64	62, 63	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
65	64	raleqdv 2749	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
66		ralunb 3404	. . . . . . 7 |- ( A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
67	65, 66	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
68	61, 67	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
69	6, 8, 10, 12, 31, 68	nnind 9270	. . . 4 |- ( B e. NN -> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
70		elfz1end 10410	. . . . 5 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
71	70	biimpi 120	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ( 1 ... B ) )
72	4, 69, 71	rspcdva 2928	. . 3 |- ( B e. NN -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) )
73		breq2 4118	. . . . 5 |- ( a = A -> ( B || a <-> B || A ) )
74	73	imbi1d 231	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( B || a -> B e. S ) <-> ( B || A -> B e. S ) ) )
75	74	rspcv 2919	. . 3 |- ( A e. Y -> ( A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) -> ( B || A -> B e. S ) ) )
76	72, 75	syl5 32	. 2 |- ( A e. Y -> ( B e. NN -> ( B || A -> B e. S ) ) )
77	76	3imp 1220	1 |- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   E.wrex 2523   u. cun 3212   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ran crn 4755   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   ^cexp 10924   abscabs 11707   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674   ZZ[_i]cgz 13092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-gz 13093

This theorem is referenced by: (None)