Theorem 2sqlem10 13755

Description: Lemma for 2sq . Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem10	|- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, A, y, z   x, B, y   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( w)   B( z, w)   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10

Dummy variables a b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b || a <-> B || a ) )
2		eleq1 2233	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( b e. S <-> B e. S ) )
3	1, 2	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( B || a -> B e. S ) ) )
4	3	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( b = B -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
5		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... 1 ) )
6	5	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
7		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
8	7	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
9		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( n + 1 ) ) )
10	9	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
11		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( m = B -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... B ) )
12	11	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( m = B -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
13		elfz1eq 9991	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b = 1 )
14		1z 9238	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
15		zgz 12325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ[_i] )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ[_i]
17		sq1 10569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
18	17	eqcomi 2174	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
19		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
20		abs1 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
22	21	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
23	22	rspceeqv 2852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ[_i] /\ 1 = ( 1 ^ 2 ) ) -> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
24	16, 18, 23	mp2an 424	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 )
25		2sq.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
26	25	2sqlem1 13744	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. S <-> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
27	24, 26	mpbir 145	. . . . . . . . 9 |- 1 e. S
28	13, 27	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b e. S )
29	28	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> ( b || a -> b e. S ) )
30	29	ralrimivw 2544	. . . . . 6 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
31	30	rgen 2523	. . . . 5 |- A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S )
32		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
33		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
34		nncn 8886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> n e. CC )
35	34	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> n e. CC )
36		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		pncan 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
38	35, 36, 37	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
39	38	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) )
40	39	raleqdv 2671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
41	33, 40	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
42		simprr 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) || m )
43		peano2nn 8890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
44	43	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
45		simprl 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> m e. Y )
46	25, 32, 41, 42, 44, 45	2sqlem9 13754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. S )
47	46	expr 373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ m e. Y ) -> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
48	47	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
49	48	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
50		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( n + 1 ) || a <-> ( n + 1 ) || m ) )
51	50	imbi1d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( a = m -> ( ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
52	51	cbvralvw 2700	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
53	49, 52	syl6ibr 161	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
54		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b || a <-> ( n + 1 ) || a ) )
55		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b e. S <-> ( n + 1 ) e. S ) )
56	54, 55	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
57	56	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
58	57	ralsng 3623	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
59	43, 58	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
60	53, 59	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
61	60	ancld 323	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
62		elnnuz 9523	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
63		fzsuc 10025	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
64	62, 63	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
65	64	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
66		ralunb 3308	. . . . . . 7 |- ( A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
67	65, 66	bitrdi 195	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
68	61, 67	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
69	6, 8, 10, 12, 31, 68	nnind 8894	. . . 4 |- ( B e. NN -> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
70		elfz1end 10011	. . . . 5 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
71	70	biimpi 119	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ( 1 ... B ) )
72	4, 69, 71	rspcdva 2839	. . 3 |- ( B e. NN -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) )
73		breq2 3993	. . . . 5 |- ( a = A -> ( B || a <-> B || A ) )
74	73	imbi1d 230	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( B || a -> B e. S ) <-> ( B || A -> B e. S ) ) )
75	74	rspcv 2830	. . 3 |- ( A e. Y -> ( A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) -> ( B || A -> B e. S ) ) )
76	72, 75	syl5 32	. 2 |- ( A e. Y -> ( B e. NN -> ( B || A -> B e. S ) ) )
77	76	3imp 1188	1 |- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   u. cun 3119   {csn 3583   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   ran crn 4612   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   + caddc 7777   - cmin 8090   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   ^cexp 10475   abscabs 10961   || cdvds 11749   gcd cgcd 11897   ZZ[_i]cgz 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-gz 12322

This theorem is referenced by: (None)