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Theorem nninfsellemdc 14415
Description: Lemma for nninfself 14418. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    k, N    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables  w  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4399 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
21raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
32dcbid 838 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
5 suceq 4399 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  suc  w  =  suc  j )
65raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76dcbid 838 . . . 4  |-  ( w  =  j  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
87imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  j  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
9 suceq 4399 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  j  ->  suc  w  =  suc  suc  j )
109raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1110dcbid 838 . . . 4  |-  ( w  =  suc  j  -> 
(DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1211imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
13 suceq 4399 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  suc  w  =  suc  N )
1413raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1514dcbid 838 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1615imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
17 elmapi 6664 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
18 peano1 4590 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
19 nnnninf 7118 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e. )
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
2117, 20ffvelcdmd 5648 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
22 2onn 6516 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
23 elnn 4602 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
2421, 22, 23sylancl 413 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
25 1onn 6515 . . . . 5  |-  1o  e.  om
26 nndceq 6494 . . . . 5  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2724, 25, 26sylancl 413 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
28 suc0 4408 . . . . . . 7  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
2928raleqi 2676 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  { (/) }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 0ex 4127 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
31 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  k  <->  i  e.  (/) ) )
3231ifbid 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2dv 4091 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )
3433fveq2d 5515 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) ) )
3534eqeq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
3630, 35ralsn 3634 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { (/) }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3729, 36bitri 184 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3837dcbii 840 . . . 4  |-  (DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3927, 38sylibr 134 . . 3  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4017adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  Q : --> 2o )
41 peano2 4591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
4241adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  suc  j  e. 
om )
43 nnnninf 7118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e. )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
4540, 44ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
46 elnn 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
4745, 22, 46sylancl 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
48 nndceq 6494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4947, 25, 48sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
50 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  k  <-> 
i  e.  suc  j
) )
5150ifbid 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  suc  j  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )
5251mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )
5352fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) ) )
5453eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5554ralsng 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5756dcbid 838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5849, 57mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
59 dcan2 934 . . . . . . . 8  |-  (DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  ( A. k  e. 
suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6058, 59mpan9 281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
61 ralunb 3316 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6261dcbii 840 . . . . . . 7  |-  (DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6360, 62sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
64 df-suc 4368 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  j  =  ( suc  j  u.  { suc  j } )
6564raleqi 2676 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  j
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6665dcbii 840 . . . . . 6  |-  (DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6763, 66sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6867exp31 364 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  (DECID 
A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6968a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  om  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4596 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7170impcom 125 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591    |-> cmpt 4061   suc csuc 4362   omcom 4586   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405    ^m cmap 6642  ℕxnninf 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  14416  nninfsellemsuc  14417
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