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Theorem nninfsellemdc 12790
Description: Lemma for nninfself 12793. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    k, N    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables  w  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4262 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
21raleqdv 2590 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
32dcbid 792 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
5 suceq 4262 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  suc  w  =  suc  j )
65raleqdv 2590 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76dcbid 792 . . . 4  |-  ( w  =  j  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
87imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  j  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
9 suceq 4262 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  j  ->  suc  w  =  suc  suc  j )
109raleqdv 2590 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1110dcbid 792 . . . 4  |-  ( w  =  suc  j  -> 
(DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
13 suceq 4262 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  suc  w  =  suc  N )
1413raleqdv 2590 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1514dcbid 792 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1615imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
17 elmapi 6494 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
18 peano1 4446 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
19 nnnninf 6935 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e. )
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
2117, 20ffvelrnd 5488 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
22 2onn 6347 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
23 elnn 4457 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
2421, 22, 23sylancl 407 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
25 1onn 6346 . . . . 5  |-  1o  e.  om
26 nndceq 6325 . . . . 5  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2724, 25, 26sylancl 407 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
28 suc0 4271 . . . . . . 7  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
2928raleqi 2588 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  { (/) }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 0ex 3995 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
31 eleq2 2163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  k  <->  i  e.  (/) ) )
3231ifbid 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2dv 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )
3433fveq2d 5357 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) ) )
3534eqeq1d 2108 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
3630, 35ralsn 3514 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { (/) }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3729, 36bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3837dcbii 791 . . . 4  |-  (DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3927, 38sylibr 133 . . 3  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4017adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  Q : --> 2o )
41 peano2 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
4241adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  suc  j  e. 
om )
43 nnnninf 6935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e. )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
4540, 44ffvelrnd 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
46 elnn 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
4745, 22, 46sylancl 407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
48 nndceq 6325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4947, 25, 48sylancl 407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
50 eleq2 2163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  k  <-> 
i  e.  suc  j
) )
5150ifbid 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  suc  j  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )
5251mpteq2dv 3959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )
5352fveq2d 5357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) ) )
5453eqeq1d 2108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5554ralsng 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5756dcbid 792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5849, 57mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
59 dcan 886 . . . . . . . 8  |-  (DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  ( A. k  e. 
suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6058, 59mpan9 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
61 ralunb 3204 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6261dcbii 791 . . . . . . 7  |-  (DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6360, 62sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
64 df-suc 4231 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  j  =  ( suc  j  u.  { suc  j } )
6564raleqi 2588 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  j
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6665dcbii 791 . . . . . 6  |-  (DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6763, 66sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6867exp31 359 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  (DECID 
A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6968a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  om  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4452 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7170impcom 124 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 786    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375    u. cun 3019   (/)c0 3310   ifcif 3421   {csn 3474    |-> cmpt 3929   suc csuc 4225   omcom 4442   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237    ^m cmap 6472  ℕxnninf 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  12791  nninfsellemsuc  12792
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