Theorem nninfsellemdc 14043

Description: Lemma for nninfself 14046. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4387	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
2	1	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
3	2	dcbid 833	. . . 4 |- ( w = (/) -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
5		suceq 4387	. . . . . 6 |- ( w = j -> suc w = suc j )
6	5	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( w = j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	dcbid 833	. . . 4 |- ( w = j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
8	7	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
9		suceq 4387	. . . . . 6 |- ( w = suc j -> suc w = suc suc j )
10	9	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( w = suc j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
11	10	dcbid 833	. . . 4 |- ( w = suc j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = suc j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
13		suceq 4387	. . . . . 6 |- ( w = N -> suc w = suc N )
14	13	raleqdv 2671	. . . . 5 |- ( w = N -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	14	dcbid 833	. . . 4 |- ( w = N -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	15	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = N -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
17		elmapi 6648	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
18		peano1 4578	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
19		nnnninf 7102	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
21	17, 20	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
22		2onn 6500	. . . . . 6 |- 2o e. om
23		elnn 4590	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
24	21, 22, 23	sylancl 411	. . . . 5 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
25		1onn 6499	. . . . 5 |- 1o e. om
26		nndceq 6478	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	24, 25, 26	sylancl 411	. . . 4 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		suc0 4396	. . . . . . 7 |- suc (/) = { (/) }
29	28	raleqi 2669	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		0ex 4116	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
31		eleq2 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( i e. k <-> i e. (/) ) )
32	31	ifbid 3547	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2dv 4080	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	33	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) )
35	34	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
36	30, 35	ralsn 3626	. . . . . 6 |- ( A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
37	29, 36	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
38	37	dcbii 835	. . . 4 |- (DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
39	27, 38	sylibr 133	. . 3 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
40	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
41		peano2 4579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
42	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> suc j e. om )
43		nnnninf 7102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
45	40, 44	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
46		elnn 4590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
47	45, 22, 46	sylancl 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
48		nndceq 6478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	47, 25, 48	sylancl 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50		eleq2 2234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = suc j -> ( i e. k <-> i e. suc j ) )
51	50	ifbid 3547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = suc j -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. suc j , 1o , (/) ) )
52	51	mpteq2dv 4080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = suc j -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) )
53	52	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = suc j -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = suc j -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
55	54	ralsng 3623	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
57	56	dcbid 833	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
58	49, 57	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
59		dcan2 929	. . . . . . . 8 |- (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
60	58, 59	mpan9 279	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
61		ralunb 3308	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
62	61	dcbii 835	. . . . . . 7 |- (DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64		df-suc 4356	. . . . . . . 8 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
65	64	raleqi 2669	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
66	65	dcbii 835	. . . . . 6 |- (DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
67	63, 66	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	exp31 362	. . . 4 |- ( j e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
69	68	a2d 26	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4584	. 2 |- ( N e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	impcom 124	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ^m cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  14044  nninfsellemsuc  14045