Theorem nninfsellemdc 16719

Description: Lemma for nninfself 16722. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4505	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
2	1	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
3	2	dcbid 846	. . . 4 |- ( w = (/) -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
5		suceq 4505	. . . . . 6 |- ( w = j -> suc w = suc j )
6	5	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( w = j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	dcbid 846	. . . 4 |- ( w = j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
9		suceq 4505	. . . . . 6 |- ( w = suc j -> suc w = suc suc j )
10	9	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( w = suc j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
11	10	dcbid 846	. . . 4 |- ( w = suc j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = suc j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
13		suceq 4505	. . . . . 6 |- ( w = N -> suc w = suc N )
14	13	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( w = N -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	14	dcbid 846	. . . 4 |- ( w = N -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
17		elmapi 6882	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
18		peano1 4698	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
19		nnnninf 7368	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
21	17, 20	ffvelcdmd 5791	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
22		2onn 6732	. . . . . 6 |- 2o e. om
23		elnn 4710	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
25		1onn 6731	. . . . 5 |- 1o e. om
26		nndceq 6710	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . 4 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		suc0 4514	. . . . . . 7 |- suc (/) = { (/) }
29	28	raleqi 2735	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		0ex 4221	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
31		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( i e. k <-> i e. (/) ) )
32	31	ifbid 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	33	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) )
35	34	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
36	30, 35	ralsn 3716	. . . . . 6 |- ( A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
37	29, 36	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
38	37	dcbii 848	. . . 4 |- (DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
39	27, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
40	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
41		peano2 4699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> suc j e. om )
43		nnnninf 7368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
45	40, 44	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
46		elnn 4710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
47	45, 22, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
48		nndceq 6710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	47, 25, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = suc j -> ( i e. k <-> i e. suc j ) )
51	50	ifbid 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = suc j -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. suc j , 1o , (/) ) )
52	51	mpteq2dv 4185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = suc j -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) )
53	52	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = suc j -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = suc j -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
55	54	ralsng 3713	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
57	56	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
58	49, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
59		dcan2 943	. . . . . . . 8 |- (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
60	58, 59	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
61		ralunb 3390	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
62	61	dcbii 848	. . . . . . 7 |- (DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64		df-suc 4474	. . . . . . . 8 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
65	64	raleqi 2735	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
66	65	dcbii 848	. . . . . 6 |- (DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
67	63, 66	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	exp31 364	. . . 4 |- ( j e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
69	68	a2d 26	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4704	. 2 |- ( N e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   u. cun 3199   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  ℕ_∞xnninf 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-nninf 7362

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  16720  nninfsellemsuc  16721