Theorem nninfsellemdc 14415

Description: Lemma for nninfself 14418. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4399	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
2	1	raleqdv 2678	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
3	2	dcbid 838	. . . 4 |- ( w = (/) -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
5		suceq 4399	. . . . . 6 |- ( w = j -> suc w = suc j )
6	5	raleqdv 2678	. . . . 5 |- ( w = j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	dcbid 838	. . . 4 |- ( w = j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
8	7	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
9		suceq 4399	. . . . . 6 |- ( w = suc j -> suc w = suc suc j )
10	9	raleqdv 2678	. . . . 5 |- ( w = suc j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
11	10	dcbid 838	. . . 4 |- ( w = suc j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = suc j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
13		suceq 4399	. . . . . 6 |- ( w = N -> suc w = suc N )
14	13	raleqdv 2678	. . . . 5 |- ( w = N -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	14	dcbid 838	. . . 4 |- ( w = N -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
17		elmapi 6664	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
18		peano1 4590	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
19		nnnninf 7118	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
21	17, 20	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
22		2onn 6516	. . . . . 6 |- 2o e. om
23		elnn 4602	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
24	21, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
25		1onn 6515	. . . . 5 |- 1o e. om
26		nndceq 6494	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	24, 25, 26	sylancl 413	. . . 4 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		suc0 4408	. . . . . . 7 |- suc (/) = { (/) }
29	28	raleqi 2676	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		0ex 4127	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
31		eleq2 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( i e. k <-> i e. (/) ) )
32	31	ifbid 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2dv 4091	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	33	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) )
35	34	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
36	30, 35	ralsn 3634	. . . . . 6 |- ( A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
37	29, 36	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
38	37	dcbii 840	. . . 4 |- (DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
39	27, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
40	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
41		peano2 4591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> suc j e. om )
43		nnnninf 7118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
45	40, 44	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
46		elnn 4602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
47	45, 22, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
48		nndceq 6494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	47, 25, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50		eleq2 2241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = suc j -> ( i e. k <-> i e. suc j ) )
51	50	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = suc j -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. suc j , 1o , (/) ) )
52	51	mpteq2dv 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = suc j -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) )
53	52	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = suc j -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = suc j -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
55	54	ralsng 3631	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
57	56	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
58	49, 57	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
59		dcan2 934	. . . . . . . 8 |- (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
60	58, 59	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
61		ralunb 3316	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
62	61	dcbii 840	. . . . . . 7 |- (DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64		df-suc 4368	. . . . . . . 8 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
65	64	raleqi 2676	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
66	65	dcbii 840	. . . . . 6 |- (DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
67	63, 66	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	exp31 364	. . . 4 |- ( j e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
69	68	a2d 26	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4596	. 2 |- ( N e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	impcom 125	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   u. cun 3127   (/)c0 3422   ifcif 3534   {csn 3591   |-> cmpt 4061   suc csuc 4362   omcom 4586   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   2oc2o 6405   ^m cmap 6642  ℕ_∞xnninf 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  14416  nninfsellemsuc  14417