Theorem nninfsellemdc 13206

Description: Lemma for nninfself 13209. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4324	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
2	1	raleqdv 2632	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
3	2	dcbid 823	. . . 4 |- ( w = (/) -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
5		suceq 4324	. . . . . 6 |- ( w = j -> suc w = suc j )
6	5	raleqdv 2632	. . . . 5 |- ( w = j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	dcbid 823	. . . 4 |- ( w = j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
8	7	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
9		suceq 4324	. . . . . 6 |- ( w = suc j -> suc w = suc suc j )
10	9	raleqdv 2632	. . . . 5 |- ( w = suc j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
11	10	dcbid 823	. . . 4 |- ( w = suc j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = suc j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
13		suceq 4324	. . . . . 6 |- ( w = N -> suc w = suc N )
14	13	raleqdv 2632	. . . . 5 |- ( w = N -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	14	dcbid 823	. . . 4 |- ( w = N -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	15	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = N -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
17		elmapi 6564	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
18		peano1 4508	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
19		nnnninf 7023	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
21	17, 20	ffvelrnd 5556	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
22		2onn 6417	. . . . . 6 |- 2o e. om
23		elnn 4519	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
24	21, 22, 23	sylancl 409	. . . . 5 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
25		1onn 6416	. . . . 5 |- 1o e. om
26		nndceq 6395	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	24, 25, 26	sylancl 409	. . . 4 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		suc0 4333	. . . . . . 7 |- suc (/) = { (/) }
29	28	raleqi 2630	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		0ex 4055	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
31		eleq2 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( i e. k <-> i e. (/) ) )
32	31	ifbid 3493	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2dv 4019	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	33	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) )
35	34	eqeq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
36	30, 35	ralsn 3567	. . . . . 6 |- ( A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
37	29, 36	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
38	37	dcbii 825	. . . 4 |- (DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
39	27, 38	sylibr 133	. . 3 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
40	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
41		peano2 4509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
42	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> suc j e. om )
43		nnnninf 7023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
45	40, 44	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
46		elnn 4519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
47	45, 22, 46	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
48		nndceq 6395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	47, 25, 48	sylancl 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50		eleq2 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = suc j -> ( i e. k <-> i e. suc j ) )
51	50	ifbid 3493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = suc j -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. suc j , 1o , (/) ) )
52	51	mpteq2dv 4019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = suc j -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) )
53	52	fveq2d 5425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = suc j -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = suc j -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
55	54	ralsng 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
57	56	dcbid 823	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
58	49, 57	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
59		dcan 918	. . . . . . . 8 |- (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
60	58, 59	mpan9 279	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
61		ralunb 3257	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
62	61	dcbii 825	. . . . . . 7 |- (DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64		df-suc 4293	. . . . . . . 8 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
65	64	raleqi 2630	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
66	65	dcbii 825	. . . . . 6 |- (DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
67	63, 66	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	exp31 361	. . . 4 |- ( j e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
69	68	a2d 26	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4514	. 2 |- ( N e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	impcom 124	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ^m cmap 6542  ℕ_∞xnninf 7005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  13207  nninfsellemsuc  13208