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Theorem nninfsellemdc 11559
Description: Lemma for nninfself 11562. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemdc  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Distinct variable groups:    k, N    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc
Dummy variables  w  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4220 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  suc  w  =  suc  (/) )
21raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
32dcbid 786 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
43imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
5 suceq 4220 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  suc  w  =  suc  j )
65raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
76dcbid 786 . . . 4  |-  ( w  =  j  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
87imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  j  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
9 suceq 4220 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  j  ->  suc  w  =  suc  suc  j )
109raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( A. k  e. 
suc  w ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1110dcbid 786 . . . 4  |-  ( w  =  suc  j  -> 
(DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1211imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  suc  j  -> 
( ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
13 suceq 4220 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  suc  w  =  suc  N )
1413raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1514dcbid 786 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  w ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  <->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
17 elmapi 6407 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  Q : --> 2o )
18 peano1 4399 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
19 nnnninf 6785 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e. )
2018, 19mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
2117, 20ffvelrnd 5419 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
22 2onn 6260 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
23 elnn 4410 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
2421, 22, 23sylancl 404 . . . . 5  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om )
25 1onn 6259 . . . . 5  |-  1o  e.  om
26 nndceq 6242 . . . . 5  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
2724, 25, 26sylancl 404 . . . 4  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
28 suc0 4229 . . . . . . 7  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
2928raleqi 2566 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  { (/) }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
30 0ex 3958 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
31 eleq2 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  k  <->  i  e.  (/) ) )
3231ifbid 3408 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  (/)  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) )
3332mpteq2dv 3921 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  (/)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )
3433fveq2d 5293 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) ) )
3534eqeq1d 2096 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
3630, 35ralsn 3481 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { (/) }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3729, 36bitri 182 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3837dcbii 785 . . . 4  |-  (DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  (/) ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
3927, 38sylibr 132 . . 3  |-  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  (/) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4017adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  Q : --> 2o )
41 peano2 4400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
4241adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  suc  j  e. 
om )
43 nnnninf 6785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e. )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )  e.
)
4540, 44ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o )
46 elnn 4410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e.  2o  /\  2o  e.  om )  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
4745, 22, 46sylancl 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om )
48 nndceq 6242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  e. 
om  /\  1o  e.  om )  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
4947, 25, 48sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
50 eleq2 2151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  k  <-> 
i  e.  suc  j
) )
5150ifbid 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  suc  j  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) )
5251mpteq2dv 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )
5352fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) ) )
5453eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  suc  j  -> 
( ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5554ralsng 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  j  e.  om  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5642, 55syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  ( A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5756dcbid 786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  suc  j ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
5849, 57mpbird 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o  ^m )
)  -> DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
59 dcan 880 . . . . . . . 8  |-  (DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  ->  (DECID  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  ( A. k  e. 
suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6058, 59mpan9 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
61 ralunb 3179 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6261dcbii 785 . . . . . . 7  |-  (DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  ( A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  /\  A. k  e.  { suc  j }  ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
6360, 62sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u. 
{ suc  j }
) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
64 df-suc 4189 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  j  =  ( suc  j  u.  { suc  j } )
6564raleqi 2566 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  j
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6665dcbii 785 . . . . . 6  |-  (DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <-> DECID  A. k  e.  ( suc  j  u.  { suc  j } ) ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6763, 66sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  om  /\  Q  e.  ( 2o 
^m ) )  /\ DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
6867exp31 356 . . . 4  |-  ( j  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  ->  (DECID 
A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
6968a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  om  ->  (
( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  suc  j ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) ) )
704, 8, 12, 16, 39, 69finds 4405 . 2  |-  ( N  e.  om  ->  ( Q  e.  ( 2o  ^m )  -> DECID  A. k  e.  suc  N
( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
7170impcom 123 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    u. cun 2995   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441    |-> cmpt 3891   suc csuc 4183   omcom 4395   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1oc1o 6156   2oc2o 6157    ^m cmap 6385  ℕxnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  11560  nninfsellemsuc  11561
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