Theorem nninfsellemdc 12790

Description: Lemma for nninfself 12793. Showing that the selection function is well defined. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemdc	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemdc

Dummy variables w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4262	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> suc w = suc (/) )
2	1	raleqdv 2590	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
3	2	dcbid 792	. . . 4 |- ( w = (/) -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
5		suceq 4262	. . . . . 6 |- ( w = j -> suc w = suc j )
6	5	raleqdv 2590	. . . . 5 |- ( w = j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
7	6	dcbid 792	. . . 4 |- ( w = j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
8	7	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
9		suceq 4262	. . . . . 6 |- ( w = suc j -> suc w = suc suc j )
10	9	raleqdv 2590	. . . . 5 |- ( w = suc j -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
11	10	dcbid 792	. . . 4 |- ( w = suc j -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = suc j -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
13		suceq 4262	. . . . . 6 |- ( w = N -> suc w = suc N )
14	13	raleqdv 2590	. . . . 5 |- ( w = N -> ( A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
15	14	dcbid 792	. . . 4 |- ( w = N -> (DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
16	15	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = N -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc w ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) <-> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
17		elmapi 6494	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
18		peano1 4446	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
19		nnnninf 6935	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
20	18, 19	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
21	17, 20	ffvelrnd 5488	. . . . . 6 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
22		2onn 6347	. . . . . 6 |- 2o e. om
23		elnn 4457	. . . . . 6 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
24	21, 22, 23	sylancl 407	. . . . 5 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om )
25		1onn 6346	. . . . 5 |- 1o e. om
26		nndceq 6325	. . . . 5 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
27	24, 25, 26	sylancl 407	. . . 4 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
28		suc0 4271	. . . . . . 7 |- suc (/) = { (/) }
29	28	raleqi 2588	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
30		0ex 3995	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
31		eleq2 2163	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = (/) -> ( i e. k <-> i e. (/) ) )
32	31	ifbid 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( k = (/) -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
33	32	mpteq2dv 3959	. . . . . . . . 9 |- ( k = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
34	33	fveq2d 5357	. . . . . . . 8 |- ( k = (/) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) )
35	34	eqeq1d 2108	. . . . . . 7 |- ( k = (/) -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
36	30, 35	ralsn 3514	. . . . . 6 |- ( A. k e. { (/) } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
37	29, 36	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
38	37	dcbii 791	. . . 4 |- (DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
39	27, 38	sylibr 133	. . 3 |- ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc (/) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
40	17	adantl 273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> Q :ℕ∞ --> 2o )
41		peano2 4447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> suc j e. om )
42	41	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> suc j e. om )
43		nnnninf 6935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
45	40, 44	ffvelrnd 5488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o )
46		elnn 4457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. 2o /\ 2o e. om ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
47	45, 22, 46	sylancl 407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om )
48		nndceq 6325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
49	47, 25, 48	sylancl 407	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
50		eleq2 2163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = suc j -> ( i e. k <-> i e. suc j ) )
51	50	ifbid 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = suc j -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. suc j , 1o , (/) ) )
52	51	mpteq2dv 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = suc j -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) )
53	52	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = suc j -> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) )
54	53	eqeq1d 2108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = suc j -> ( ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
55	54	ralsng 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc j e. om -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
56	42, 55	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> ( A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
57	56	dcbid 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. suc j , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
58	49, 57	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) -> DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
59		dcan 886	. . . . . . . 8 |- (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> (DECID A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
60	58, 59	mpan9 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
61		ralunb 3204	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
62	61	dcbii 791	. . . . . . 7 |- (DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID ( A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o /\ A. k e. { suc j } ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
63	60, 62	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
64		df-suc 4231	. . . . . . . 8 |- suc suc j = ( suc j u. { suc j } )
65	64	raleqi 2588	. . . . . . 7 |- ( A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
66	65	dcbii 791	. . . . . 6 |- (DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> DECID A. k e. ( suc j u. { suc j } ) ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
67	63, 66	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( ( j e. om /\ Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) ) /\ DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
68	67	exp31 359	. . . 4 |- ( j e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> (DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
69	68	a2d 26	. . 3 |- ( j e. om -> ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc suc j ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) ) )
70	4, 8, 12, 16, 39, 69	finds 4452	. 2 |- ( N e. om -> ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
71	70	impcom 124	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 786   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   u. cun 3019   (/)c0 3310   ifcif 3421   {csn 3474   |-> cmpt 3929   suc csuc 4225   omcom 4442   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   2oc2o 6237   ^m cmap 6472  ℕ_∞xnninf 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919

This theorem is referenced by:  nninfsellemcl  12791  nninfsellemsuc  12792