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Theorem dcfi 6962
Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
dcfi |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem dcfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2666 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. (/) ph ) )
21dcbid 834 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. (/) ph ) )
3 raleq 2666 . . 3 |- ( w = y -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. y ph ) )
43dcbid 834 . 2 |- ( w = y -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. y ph ) )
5 raleq 2666 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 834 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 raleq 2666 . . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. A ph ) )
87dcbid 834 . 2 |- ( w = A -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. A ph ) )
9 ral0 3517 . . . . 5 |- A. x e. (/) ph
109orci 727 . . . 4 |- ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph )
11 df-dc 831 . . . 4 |- (DECID A. x e. (/) ph <-> ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 145 . . 3 |- DECID A. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. (/) ph )
14 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. y ph )
15 simplrr 532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
1615eldifad 3133 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. A )
17 simp-4r 538 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
18 nfsbc1v 2974 . . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
1918nfdc 1653 . . . . . . . 8 |- F/ xDECID [. z / x ]. ph
20 sbceq1a 2965 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2120dcbid 834 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [. z / x ]. ph ) )
2219, 21rspc 2829 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [. z / x ]. ph ) )
2316, 17, 22sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID [. z / x ]. ph )
24 ralsnsg 3621 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2524elv 2735 . . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
2625dcbii 836 . . . . . 6 |- (DECID A. x e. { z } ph <-> DECID [. z / x ]. ph )
2723, 26sylibr 133 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. { z } ph )
28 dcan2 930 . . . . 5 |- (DECID A. x e. y ph -> (DECID A. x e. { z } ph -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) ) )
2914, 27, 28sylc 62 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
30 ralunb 3309 . . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3130dcbii 836 . . . 4 |- (DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3229, 31sylibr 133 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph )
3332ex 114 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID A. x e. y ph -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
34 simpl 108 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
352, 4, 6, 8, 13, 33, 34findcard2sd 6874 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 704  DECID wdc 830   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   _Vcvv 2731   [.wsbc 2956   \ cdif 3119   u. cun 3120   C_ wss 3122   (/)c0 3415   {csn 3584   Fincfn 6722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-er 6517  df-en 6723  df-fin 6725
This theorem is referenced by:  prmdc  12088
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