Theorem dcfi 7040

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2690	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. (/) ph ) )
2	1	dcbid 839	. 2 |- ( w = (/) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. (/) ph ) )
3		raleq 2690	. . 3 |- ( w = y -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. y ph ) )
4	3	dcbid 839	. 2 |- ( w = y -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. y ph ) )
5		raleq 2690	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
6	5	dcbid 839	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7		raleq 2690	. . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. A ph ) )
8	7	dcbid 839	. 2 |- ( w = A -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. A ph ) )
9		ral0 3548	. . . . 5 |- A. x e. (/) ph
10	9	orci 732	. . . 4 |- ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph )
11		df-dc 836	. . . 4 |- (DECID A. x e. (/) ph <-> ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph ) )
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 |- DECID A. x e. (/) ph
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. (/) ph )
14		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. y ph )
15		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
16	15	eldifad 3164	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. A )
17		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
18		nfsbc1v 3004	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
19	18	nfdc 1670	. . . . . . . 8 |- F/ xDECID [. z / x ]. ph
20		sbceq1a 2995	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
21	20	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [. z / x ]. ph ) )
22	19, 21	rspc 2858	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [. z / x ]. ph ) )
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID [. z / x ]. ph )
24		ralsns 3656	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph ) )
25	24	elv 2764	. . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
26	25	dcbii 841	. . . . . 6 |- (DECID A. x e. { z } ph <-> DECID [. z / x ]. ph )
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. { z } ph )
28	14, 27	dcand 934	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
29		ralunb 3340	. . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
30	29	dcbii 841	. . . 4 |- (DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph )
32	31	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID A. x e. y ph -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
33		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 6948	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [.wsbc 2985   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by:  prmdc  12268