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Theorem dcfi 7179
Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
dcfi |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem dcfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2730 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. (/) ph ) )
21dcbid 845 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. (/) ph ) )
3 raleq 2730 . . 3 |- ( w = y -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. y ph ) )
43dcbid 845 . 2 |- ( w = y -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. y ph ) )
5 raleq 2730 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 845 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 raleq 2730 . . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. A ph ) )
87dcbid 845 . 2 |- ( w = A -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. A ph ) )
9 ral0 3596 . . . . 5 |- A. x e. (/) ph
109orci 738 . . . 4 |- ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph )
11 df-dc 842 . . . 4 |- (DECID A. x e. (/) ph <-> ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 146 . . 3 |- DECID A. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. (/) ph )
14 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. y ph )
15 simplrr 538 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
1615eldifad 3211 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. A )
17 simp-4r 544 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
18 nfsbc1v 3050 . . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
1918nfdc 1707 . . . . . . . 8 |- F/ xDECID [. z / x ]. ph
20 sbceq1a 3041 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2120dcbid 845 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [. z / x ]. ph ) )
2219, 21rspc 2904 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [. z / x ]. ph ) )
2316, 17, 22sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID [. z / x ]. ph )
24 ralsns 3707 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2524elv 2806 . . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
2625dcbii 847 . . . . . 6 |- (DECID A. x e. { z } ph <-> DECID [. z / x ]. ph )
2723, 26sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. { z } ph )
2814, 27dcand 940 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
29 ralunb 3388 . . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3029dcbii 847 . . . 4 |- (DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3128, 30sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph )
3231ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID A. x e. y ph -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
33 simpl 109 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
342, 4, 6, 8, 13, 32, 33findcard2sd 7080 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [.wsbc 3031   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   Fincfn 6908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911
This theorem is referenced by:  prmdc  12701  psr1clfi  14701
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