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Theorem dcfi 7042
Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
dcfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem dcfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2690 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  ph  <->  A. x  e.  (/)  ph )
)
21dcbid 839 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  (DECID  A. x  e.  w  ph  <-> DECID  A. x  e.  (/)  ph ) )
3 raleq 2690 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  ph  <->  A. x  e.  y  ph ) )
43dcbid 839 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (DECID  A. x  e.  w  ph  <-> DECID  A. x  e.  y  ph ) )
5 raleq 2690 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  ph  <->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
65dcbid 839 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (DECID 
A. x  e.  w  ph  <-> DECID  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph ) )
7 raleq 2690 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
87dcbid 839 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (DECID  A. x  e.  w  ph  <-> DECID  A. x  e.  A  ph ) )
9 ral0 3549 . . . . 5  |-  A. x  e.  (/)  ph
109orci 732 . . . 4  |-  ( A. x  e.  (/)  ph  \/  -.  A. x  e.  (/)  ph )
11 df-dc 836 . . . 4  |-  (DECID  A. x  e.  (/)  ph  <->  ( A. x  e.  (/)  ph  \/  -.  A. x  e.  (/)  ph )
)
1210, 11mpbir 146 . . 3  |- DECID  A. x  e.  (/)  ph
1312a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  A. x  e.  (/)  ph )
14 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  -> DECID  A. x  e.  y 
ph )
15 simplrr 536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  ( A  \  y
) )
1615eldifad 3165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  ->  z  e.  A )
17 simp-4r 542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  ->  A. x  e.  A DECID  ph )
18 nfsbc1v 3005 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
1918nfdc 1670 . . . . . . . 8  |-  F/ xDECID  [. z  /  x ]. ph
20 sbceq1a 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
2120dcbid 839 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  ph  <-> DECID  [. z  /  x ]. ph ) )
2219, 21rspc 2859 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A DECID  ph  -> DECID  [. z  /  x ]. ph )
)
2316, 17, 22sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  -> DECID  [. z  /  x ]. ph )
24 ralsns 3657 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph ) )
2524elv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
2625dcbii 841 . . . . . 6  |-  (DECID  A. x  e.  { z } ph  <-> DECID  [. z  /  x ]. ph )
2723, 26sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  -> DECID  A. x  e.  {
z } ph )
2814, 27dcand 934 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  -> DECID  ( A. x  e.  y  ph  /\  A. x  e.  { z } ph ) )
29 ralunb 3341 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } )
ph 
<->  ( A. x  e.  y  ph  /\  A. x  e.  { z } ph ) )
3029dcbii 841 . . . 4  |-  (DECID  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ph  <-> DECID  ( A. x  e.  y  ph  /\ 
A. x  e.  {
z } ph )
)
3128, 30sylibr 134 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\ DECID  A. x  e.  y 
ph )  -> DECID  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ph )
3231ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (DECID 
A. x  e.  y 
ph  -> DECID  A. x  e.  (
y  u.  { z } ) ph )
)
33 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  ->  A  e.  Fin )
342, 4, 6, 8, 13, 32, 33findcard2sd 6950 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A DECID  ph )  -> DECID  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [.wsbc 2986    \ cdif 3151    u. cun 3152    C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   Fincfn 6796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799
This theorem is referenced by:  prmdc  12271
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