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Theorem dcfi 7148
Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
dcfi |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Distinct variable group:   x, A
Allowed substitution hint:   ph( x)
Proof of Theorem dcfi
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2728 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. (/) ph ) )
21dcbid 843 . 2 |- ( w = (/) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. (/) ph ) )
3 raleq 2728 . . 3 |- ( w = y -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. y ph ) )
43dcbid 843 . 2 |- ( w = y -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. y ph ) )
5 raleq 2728 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
65dcbid 843 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7 raleq 2728 . . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. A ph ) )
87dcbid 843 . 2 |- ( w = A -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. A ph ) )
9 ral0 3593 . . . . 5 |- A. x e. (/) ph
109orci 736 . . . 4 |- ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph )
11 df-dc 840 . . . 4 |- (DECID A. x e. (/) ph <-> ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph ) )
1210, 11mpbir 146 . . 3 |- DECID A. x e. (/) ph
1312a1i 9 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. (/) ph )
14 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. y ph )
15 simplrr 536 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
1615eldifad 3208 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. A )
17 simp-4r 542 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
18 nfsbc1v 3047 . . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
1918nfdc 1705 . . . . . . . 8 |- F/ xDECID [. z / x ]. ph
20 sbceq1a 3038 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2120dcbid 843 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [. z / x ]. ph ) )
2219, 21rspc 2901 . . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [. z / x ]. ph ) )
2316, 17, 22sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID [. z / x ]. ph )
24 ralsns 3704 . . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph ) )
2524elv 2803 . . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
2625dcbii 845 . . . . . 6 |- (DECID A. x e. { z } ph <-> DECID [. z / x ]. ph )
2723, 26sylibr 134 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. { z } ph )
2814, 27dcand 938 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
29 ralunb 3385 . . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3029dcbii 845 . . . 4 |- (DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
3128, 30sylibr 134 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph )
3231ex 115 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID A. x e. y ph -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
33 simpl 109 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
342, 4, 6, 8, 13, 32, 33findcard2sd 7054 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   Fincfn 6887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890
This theorem is referenced by:  prmdc  12652  psr1clfi  14652
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