Theorem dcfi 7047

Description: Decidability of a family of propositions indexed by a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dcfi	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem dcfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2693	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. (/) ph ) )
2	1	dcbid 839	. 2 |- ( w = (/) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. (/) ph ) )
3		raleq 2693	. . 3 |- ( w = y -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. y ph ) )
4	3	dcbid 839	. 2 |- ( w = y -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. y ph ) )
5		raleq 2693	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
6	5	dcbid 839	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
7		raleq 2693	. . 3 |- ( w = A -> ( A. x e. w ph <-> A. x e. A ph ) )
8	7	dcbid 839	. 2 |- ( w = A -> (DECID A. x e. w ph <-> DECID A. x e. A ph ) )
9		ral0 3552	. . . . 5 |- A. x e. (/) ph
10	9	orci 732	. . . 4 |- ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph )
11		df-dc 836	. . . 4 |- (DECID A. x e. (/) ph <-> ( A. x e. (/) ph \/ -. A. x e. (/) ph ) )
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 |- DECID A. x e. (/) ph
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. (/) ph )
14		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. y ph )
15		simplrr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. ( A \ y ) )
16	15	eldifad 3168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> z e. A )
17		simp-4r 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> A. x e. A DECID ph )
18		nfsbc1v 3008	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
19	18	nfdc 1673	. . . . . . . 8 |- F/ xDECID [. z / x ]. ph
20		sbceq1a 2999	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
21	20	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> (DECID ph <-> DECID [. z / x ]. ph ) )
22	19, 21	rspc 2862	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( A. x e. A DECID ph -> DECID [. z / x ]. ph ) )
23	16, 17, 22	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID [. z / x ]. ph )
24		ralsns 3660	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph ) )
25	24	elv 2767	. . . . . . 7 |- ( A. x e. { z } ph <-> [. z / x ]. ph )
26	25	dcbii 841	. . . . . 6 |- (DECID A. x e. { z } ph <-> DECID [. z / x ]. ph )
27	23, 26	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. { z } ph )
28	14, 27	dcand 934	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
29		ralunb 3344	. . . . 5 |- ( A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
30	29	dcbii 841	. . . 4 |- (DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph <-> DECID ( A. x e. y ph /\ A. x e. { z } ph ) )
31	28, 30	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ DECID A. x e. y ph ) -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph )
32	31	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> (DECID A. x e. y ph -> DECID A. x e. ( y u. { z } ) ph ) )
33		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> A e. Fin )
34	2, 4, 6, 8, 13, 32, 33	findcard2sd 6953	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID ph ) -> DECID A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [.wsbc 2989   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  prmdc  12298