Theorem prmind2 12152

Description: A variation on prmind 12153 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmind.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
prmind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
prmind.3	|- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
prmind.4	|- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
prmind.5	|- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
prmind.6	|- ps
prmind2.7	|- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
prmind2.8	|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )

Assertion

Ref	Expression
prmind2	|- ( A e. NN -> et )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   x, z, ch   et, x   ta, x   th, x   y, z, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y, z)   ch( y)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)   A( y, z)

Proof of Theorem prmind2

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmind.5	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
2		oveq2 5904	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... 1 ) )
3	2	raleqdv 2692	. . 3 |- ( n = 1 -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... 1 ) ph ) )
4		oveq2 5904	. . . 4 |- ( n = k -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... k ) )
5	4	raleqdv 2692	. . 3 |- ( n = k -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... k ) ph ) )
6		oveq2 5904	. . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2692	. . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 5904	. . . 4 |- ( n = A -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... A ) )
9	8	raleqdv 2692	. . 3 |- ( n = A -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... A ) ph ) )
10		prmind.6	. . . . 5 |- ps
11		elfz1eq 10065	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> x = 1 )
12		prmind.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ( ph <-> ps ) )
14	10, 13	mpbiri 168	. . . 4 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ph )
15	14	rgen 2543	. . 3 |- A. x e. ( 1 ... 1 ) ph
16		peano2nn 8961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
18	17	nncnd 8963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
19		elfzuz 10051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
21		eluz2nn 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. NN )
23	22	nncnd 8963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
24	22	nnap0d 8995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y # 0 )
25	18, 23, 24	divcanap2d 8779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) = ( k + 1 ) )
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y || ( k + 1 ) )
27	22	nnzd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
28	22	nnne0d 8994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y =/= 0 )
29	17	nnzd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
30		dvdsval2 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
32	26, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ )
33	23	mulid2d 8006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
34		elfzle2 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
36		nncn 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. CC )
38		ax-1cn 7934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
39		pncan 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
40	37, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
41	35, 40	breqtrd 4044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ k )
42		nnz 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
44		zleltp1 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
45	27, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y < ( k + 1 ) )
47	33, 46	eqbrtrd 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) )
48		1red 8002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
49	17	nnred 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	22	nnred 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR )
51	22	nngt0d 8993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < y )
52		ltmuldiv 8861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
53	48, 49, 50, 51, 52	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
54	47, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) )
55		eluz2b1 9631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
56	32, 54, 55	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57		prmind.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
58		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
59		fznn 10119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
60	43, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
61	22, 41, 60	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( 1 ... k ) )
62	57, 58, 61	rspcdva 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ch )
63		vex 2755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
64		prmind.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
65	63, 64	sbcie 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ph <-> th )
66		dfsbcq 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. z / x ]. ph <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
67	65, 66	bitr3id 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( th <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
68	64	cbvralv 2718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. z e. ( 1 ... k ) th )
69	58, 68	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. z e. ( 1 ... k ) th )
70	17	nnrpd 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
71	22	nnrpd 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR+ )
72	70, 71	rpdivcld 9744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. RR+ )
73	72	rpgt0d 9729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( k + 1 ) / y ) )
74		elnnz 9293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 0 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
75	32, 73, 74	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. NN )
76	17	nnap0d 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
77	18, 76	dividapd 8773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) = 1 )
78		eluz2gt1 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < y )
79	20, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < y )
80	77, 79	eqbrtrd 4040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y )
81	17	nngt0d 8993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
82		ltdiv23 8879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k + 1 ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
83	49, 49, 81, 50, 51, 82	syl122anc 1258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
84	80, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) )
85		zleltp1 9338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
86	32, 43, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
87	84, 86	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) <_ k )
88		fznn 10119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
89	43, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
90	75, 87, 89	mpbir2and 946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) )
91	67, 69, 90	rspcdva 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph )
92	62, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
93	67	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ch /\ th ) <-> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) ) )
94		oveq2 5904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( y x. z ) = ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) )
95	94	sbceq1d 2982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) )
96	93, 95	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) <-> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
97	96	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) <-> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) ) )
98		prmind2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
99	98	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
100		eluzelz 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
102		eluzelz 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 9411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
105		prmind.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
106	105	sbcieg 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y x. z ) e. ZZ -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
107	104, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
108	99, 107	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) )
109	108	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) )
110	97, 109	vtoclga 2818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
111	56, 20, 92, 110	syl3c 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph )
112	25, 111	sbceq1dd 2983	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
113	112	rexlimdvaa 2608	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
114		ralnex 2478	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
115		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. NN )
116		elnnuz 9594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
117	115, 116	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
118		eluzp1p1 9583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
120		df-2 9008	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 = ( 1 + 1 )
121	120	fveq2i 5537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
122	119, 121	eleqtrrdi 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123		isprm3 12150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. Prime <-> ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) ) )
124	123	baibr 921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
125	122, 124	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
127	57	cbvralv 2718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
128	126, 127	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
129	115	nncnd 8963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. CC )
130	129, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
131	130	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... k ) )
132	131	raleqdv 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch ) )
133	128, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch )
134		nfcv 2332	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( k + 1 )
135		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch
136		nfsbc1v 2996	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
137	135, 136	nfim 1583	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
138		oveq1 5903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
139	138	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 1 ... ( x - 1 ) ) = ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
140	139	raleqdv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch ) )
141		sbceq1a 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
142	140, 141	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) <-> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
143		prmind2.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
144	143	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) )
145	134, 137, 142, 144	vtoclgaf 2817	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
146	133, 145	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
147	125, 146	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
148	114, 147	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
149		2z 9311	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 2 e. ZZ )
151	115	nnzd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
152	151	peano2zd 9408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
153		1zzd 9310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 1 e. ZZ )
154	152, 153	zsubcld 9410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
155	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. NN )
156		dvdsdc 11837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
157	155, 152, 156	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
158	150, 154, 157	exfzdc 10270	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
159		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
161	113, 148, 160	mpjaod 719	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
162	161	ex 115	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
163		ralsnsg 3644	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
164	16, 163	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
165	162, 164	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
166	165	ancld 325	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
167		fzsuc 10099	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
168	116, 167	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
169	168	raleqdv 2692	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
170		ralunb 3331	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
171	169, 170	bitrdi 196	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
172	166, 171	sylibrd 169	. . 3 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
173	3, 5, 7, 9, 15, 172	nnind 8965	. 2 |- ( A e. NN -> A. x e. ( 1 ... A ) ph )
174		elfz1end 10085	. . 3 |- ( A e. NN <-> A e. ( 1 ... A ) )
175	174	biimpi 120	. 2 |- ( A e. NN -> A e. ( 1 ... A ) )
176	1, 173, 175	rspcdva 2861	1 |- ( A e. NN -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   [.wsbc 2977   u. cun 3142   {csn 3607   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023   - cmin 8158   / cdiv 8659   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038   || cdvds 11826   Primecprime 12139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-prm 12140

This theorem is referenced by:  prmind  12153  4sqlem19  12441