Theorem prmind2 12876

Description: A variation on prmind 12877 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmind.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
prmind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
prmind.3	|- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
prmind.4	|- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
prmind.5	|- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
prmind.6	|- ps
prmind2.7	|- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
prmind2.8	|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )

Assertion

Ref	Expression
prmind2	|- ( A e. NN -> et )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   x, z, ch   et, x   ta, x   th, x   y, z, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y, z)   ch( y)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)   A( y, z)

Proof of Theorem prmind2

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmind.5	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
2		oveq2 6083	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... 1 ) )
3	2	raleqdv 2755	. . 3 |- ( n = 1 -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... 1 ) ph ) )
4		oveq2 6083	. . . 4 |- ( n = k -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... k ) )
5	4	raleqdv 2755	. . 3 |- ( n = k -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... k ) ph ) )
6		oveq2 6083	. . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2755	. . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 6083	. . . 4 |- ( n = A -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... A ) )
9	8	raleqdv 2755	. . 3 |- ( n = A -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... A ) ph ) )
10		prmind.6	. . . . 5 |- ps
11		elfz1eq 10418	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> x = 1 )
12		prmind.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ( ph <-> ps ) )
14	10, 13	mpbiri 168	. . . 4 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ph )
15	14	rgen 2603	. . 3 |- A. x e. ( 1 ... 1 ) ph
16		peano2nn 9295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
17	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
18	17	nncnd 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
19		elfzuz 10403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20	19	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
21		eluz2nn 9945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. NN )
23	22	nncnd 9297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
24	22	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y # 0 )
25	18, 23, 24	divcanap2d 9112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) = ( k + 1 ) )
26		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y || ( k + 1 ) )
27	22	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
28	22	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y =/= 0 )
29	17	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
30		dvdsval2 12535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
32	26, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ )
33	23	mullidd 8334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
34		elfzle2 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
35	34	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
36		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
37	36	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. CC )
38		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
39		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
40	37, 38, 39	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
41	35, 40	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ k )
42		nnz 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
43	42	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
44		zleltp1 9679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
45	27, 43, 44	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y < ( k + 1 ) )
47	33, 46	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) )
48		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
49	17	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	22	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR )
51	22	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < y )
52		ltmuldiv 9194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
53	48, 49, 50, 51, 52	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
54	47, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) )
55		eluz2b1 9980	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
56	32, 54, 55	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57		prmind.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
58		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
59		fznn 10474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
60	43, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
61	22, 41, 60	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( 1 ... k ) )
62	57, 58, 61	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ch )
63		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
64		prmind.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
65	63, 64	sbcie 3086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ph <-> th )
66		dfsbcq 3053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. z / x ]. ph <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
67	65, 66	bitr3id 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( th <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
68	64	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. z e. ( 1 ... k ) th )
69	58, 68	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. z e. ( 1 ... k ) th )
70	17	nnrpd 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
71	22	nnrpd 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR+ )
72	70, 71	rpdivcld 10094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. RR+ )
73	72	rpgt0d 10079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( k + 1 ) / y ) )
74		elnnz 9633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 0 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
75	32, 73, 74	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. NN )
76	17	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
77	18, 76	dividapd 9106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) = 1 )
78		eluz2gt1 9981	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < y )
79	20, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < y )
80	77, 79	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y )
81	17	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
82		ltdiv23 9212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k + 1 ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
83	49, 49, 81, 50, 51, 82	syl122anc 1287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
84	80, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) )
85		zleltp1 9679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
86	32, 43, 85	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
87	84, 86	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) <_ k )
88		fznn 10474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
89	43, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
90	75, 87, 89	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) )
91	67, 69, 90	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph )
92	62, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
93	67	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ch /\ th ) <-> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) ) )
94		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( y x. z ) = ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) )
95	94	sbceq1d 3056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) )
96	93, 95	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) <-> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
97	96	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) <-> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) ) )
98		prmind2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
99	98	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
100		eluzelz 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
102		eluzelz 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
105		prmind.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
106	105	sbcieg 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y x. z ) e. ZZ -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
107	104, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
108	99, 107	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) )
109	108	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) )
110	97, 109	vtoclga 2889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
111	56, 20, 92, 110	syl3c 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph )
112	25, 111	sbceq1dd 3057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
113	112	rexlimdvaa 2669	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
114		ralnex 2538	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
115		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. NN )
116		elnnuz 9938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
117	115, 116	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
118		eluzp1p1 9927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
120		df-2 9342	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 = ( 1 + 1 )
121	120	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
122	119, 121	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123		isprm3 12874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. Prime <-> ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) ) )
124	123	baibr 932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
125	122, 124	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
127	57	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
128	126, 127	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
129	115	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. CC )
130	129, 38, 39	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
131	130	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... k ) )
132	131	raleqdv 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch ) )
133	128, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch )
134		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( k + 1 )
135		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch
136		nfsbc1v 3070	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
137	135, 136	nfim 1625	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
138		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
139	138	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 1 ... ( x - 1 ) ) = ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
140	139	raleqdv 2755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch ) )
141		sbceq1a 3061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
142	140, 141	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) <-> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
143		prmind2.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
144	143	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) )
145	134, 137, 142, 144	vtoclgaf 2888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
146	133, 145	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
147	125, 146	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
148	114, 147	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
149		2z 9651	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 2 e. ZZ )
151	115	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
152	151	peano2zd 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
153		1zzd 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 1 e. ZZ )
154	152, 153	zsubcld 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
155	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. NN )
156		dvdsdc 12543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
157	155, 152, 156	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
158	150, 154, 157	exfzdc 10637	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
159		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
161	113, 148, 160	mpjaod 730	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
162	161	ex 115	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
163		ralsnsg 3742	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
164	16, 163	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
165	162, 164	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
166	165	ancld 325	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
167		fzsuc 10453	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
168	116, 167	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
169	168	raleqdv 2755	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
170		ralunb 3410	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
171	169, 170	bitrdi 196	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
172	166, 171	sylibrd 169	. . 3 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
173	3, 5, 7, 9, 15, 172	nnind 9299	. 2 |- ( A e. NN -> A. x e. ( 1 ... A ) ph )
174		elfz1end 10439	. . 3 |- ( A e. NN <-> A e. ( 1 ... A ) )
175	174	biimpi 120	. 2 |- ( A e. NN -> A e. ( 1 ... A ) )
176	1, 173, 175	rspcdva 2934	1 |- ( A e. NN -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   [.wsbc 3051   u. cun 3218   {csn 3705   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   || cdvds 12532   Primecprime 12863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-prm 12864

This theorem is referenced by:  prmind  12877  4sqlem19  13166