Theorem prmind2 12755

Description: A variation on prmind 12756 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmind.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
prmind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
prmind.3	|- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
prmind.4	|- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
prmind.5	|- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
prmind.6	|- ps
prmind2.7	|- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
prmind2.8	|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )

Assertion

Ref	Expression
prmind2	|- ( A e. NN -> et )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   x, z, ch   et, x   ta, x   th, x   y, z, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y, z)   ch( y)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)   A( y, z)

Proof of Theorem prmind2

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmind.5	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
2		oveq2 6036	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... 1 ) )
3	2	raleqdv 2737	. . 3 |- ( n = 1 -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... 1 ) ph ) )
4		oveq2 6036	. . . 4 |- ( n = k -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... k ) )
5	4	raleqdv 2737	. . 3 |- ( n = k -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... k ) ph ) )
6		oveq2 6036	. . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2737	. . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 6036	. . . 4 |- ( n = A -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... A ) )
9	8	raleqdv 2737	. . 3 |- ( n = A -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... A ) ph ) )
10		prmind.6	. . . . 5 |- ps
11		elfz1eq 10315	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> x = 1 )
12		prmind.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ( ph <-> ps ) )
14	10, 13	mpbiri 168	. . . 4 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ph )
15	14	rgen 2586	. . 3 |- A. x e. ( 1 ... 1 ) ph
16		peano2nn 9197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
18	17	nncnd 9199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
19		elfzuz 10301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
21		eluz2nn 9844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. NN )
23	22	nncnd 9199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
24	22	nnap0d 9231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y # 0 )
25	18, 23, 24	divcanap2d 9014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) = ( k + 1 ) )
26		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y || ( k + 1 ) )
27	22	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
28	22	nnne0d 9230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y =/= 0 )
29	17	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
30		dvdsval2 12414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
32	26, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ )
33	23	mullidd 8240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
34		elfzle2 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
36		nncn 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
37	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. CC )
38		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
39		pncan 8427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
40	37, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
41	35, 40	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ k )
42		nnz 9542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
44		zleltp1 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
45	27, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y < ( k + 1 ) )
47	33, 46	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) )
48		1red 8237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
49	17	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	22	nnred 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR )
51	22	nngt0d 9229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < y )
52		ltmuldiv 9096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
53	48, 49, 50, 51, 52	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
54	47, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) )
55		eluz2b1 9879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
56	32, 54, 55	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57		prmind.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
58		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
59		fznn 10369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
60	43, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
61	22, 41, 60	mpbir2and 953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( 1 ... k ) )
62	57, 58, 61	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ch )
63		vex 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
64		prmind.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
65	63, 64	sbcie 3067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ph <-> th )
66		dfsbcq 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. z / x ]. ph <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
67	65, 66	bitr3id 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( th <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
68	64	cbvralv 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. z e. ( 1 ... k ) th )
69	58, 68	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. z e. ( 1 ... k ) th )
70	17	nnrpd 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
71	22	nnrpd 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR+ )
72	70, 71	rpdivcld 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. RR+ )
73	72	rpgt0d 9978	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( k + 1 ) / y ) )
74		elnnz 9533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 0 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
75	32, 73, 74	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. NN )
76	17	nnap0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
77	18, 76	dividapd 9008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) = 1 )
78		eluz2gt1 9880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < y )
79	20, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < y )
80	77, 79	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y )
81	17	nngt0d 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
82		ltdiv23 9114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k + 1 ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
83	49, 49, 81, 50, 51, 82	syl122anc 1283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
84	80, 83	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) )
85		zleltp1 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
86	32, 43, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
87	84, 86	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) <_ k )
88		fznn 10369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
89	43, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
90	75, 87, 89	mpbir2and 953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) )
91	67, 69, 90	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph )
92	62, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
93	67	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ch /\ th ) <-> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) ) )
94		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( y x. z ) = ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) )
95	94	sbceq1d 3037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) )
96	93, 95	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) <-> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
97	96	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) <-> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) ) )
98		prmind2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
99	98	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
100		eluzelz 9809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
102		eluzelz 9809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 9652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
105		prmind.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
106	105	sbcieg 3065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y x. z ) e. ZZ -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
107	104, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
108	99, 107	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) )
109	108	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) )
110	97, 109	vtoclga 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
111	56, 20, 92, 110	syl3c 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph )
112	25, 111	sbceq1dd 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
113	112	rexlimdvaa 2652	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
114		ralnex 2521	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
115		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. NN )
116		elnnuz 9837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
117	115, 116	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
118		eluzp1p1 9826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
120		df-2 9244	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 = ( 1 + 1 )
121	120	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
122	119, 121	eleqtrrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123		isprm3 12753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. Prime <-> ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) ) )
124	123	baibr 928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
125	122, 124	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
127	57	cbvralv 2768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
128	126, 127	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
129	115	nncnd 9199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. CC )
130	129, 38, 39	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
131	130	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... k ) )
132	131	raleqdv 2737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch ) )
133	128, 132	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch )
134		nfcv 2375	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( k + 1 )
135		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch
136		nfsbc1v 3051	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
137	135, 136	nfim 1621	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
138		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
139	138	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 1 ... ( x - 1 ) ) = ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
140	139	raleqdv 2737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch ) )
141		sbceq1a 3042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
142	140, 141	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) <-> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
143		prmind2.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
144	143	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) )
145	134, 137, 142, 144	vtoclgaf 2870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
146	133, 145	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
147	125, 146	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
148	114, 147	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
149		2z 9551	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 2 e. ZZ )
151	115	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
152	151	peano2zd 9649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
153		1zzd 9550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 1 e. ZZ )
154	152, 153	zsubcld 9651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
155	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. NN )
156		dvdsdc 12422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
157	155, 152, 156	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
158	150, 154, 157	exfzdc 10532	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
159		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
161	113, 148, 160	mpjaod 726	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
162	161	ex 115	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
163		ralsnsg 3710	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
164	16, 163	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
165	162, 164	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
166	165	ancld 325	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
167		fzsuc 10349	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
168	116, 167	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
169	168	raleqdv 2737	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
170		ralunb 3390	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
171	169, 170	bitrdi 196	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
172	166, 171	sylibrd 169	. . 3 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
173	3, 5, 7, 9, 15, 172	nnind 9201	. 2 |- ( A e. NN -> A. x e. ( 1 ... A ) ph )
174		elfz1end 10335	. . 3 |- ( A e. NN <-> A e. ( 1 ... A ) )
175	174	biimpi 120	. 2 |- ( A e. NN -> A e. ( 1 ... A ) )
176	1, 173, 175	rspcdva 2916	1 |- ( A e. NN -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   [.wsbc 3032   u. cun 3199   {csn 3673   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   ...cfz 10288   || cdvds 12411   Primecprime 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-prm 12743

This theorem is referenced by:  prmind  12756  4sqlem19  13045