Theorem prmind2 12052

Description: A variation on prmind 12053 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmind.1	|- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
prmind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
prmind.3	|- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
prmind.4	|- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
prmind.5	|- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
prmind.6	|- ps
prmind2.7	|- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
prmind2.8	|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )

Assertion

Ref	Expression
prmind2	|- ( A e. NN -> et )

Distinct variable groups:   x, y   x, A   x, z, ch   et, x   ta, x   th, x   y, z, ph

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y, z)   ch( y)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)   A( y, z)

Proof of Theorem prmind2

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmind.5	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> et ) )
2		oveq2 5850	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... 1 ) )
3	2	raleqdv 2667	. . 3 |- ( n = 1 -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... 1 ) ph ) )
4		oveq2 5850	. . . 4 |- ( n = k -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... k ) )
5	4	raleqdv 2667	. . 3 |- ( n = k -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... k ) ph ) )
6		oveq2 5850	. . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
7	6	raleqdv 2667	. . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
8		oveq2 5850	. . . 4 |- ( n = A -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... A ) )
9	8	raleqdv 2667	. . 3 |- ( n = A -> ( A. x e. ( 1 ... n ) ph <-> A. x e. ( 1 ... A ) ph ) )
10		prmind.6	. . . . 5 |- ps
11		elfz1eq 9970	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> x = 1 )
12		prmind.1	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ( ph <-> ps ) )
14	10, 13	mpbiri 167	. . . 4 |- ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ph )
15	14	rgen 2519	. . 3 |- A. x e. ( 1 ... 1 ) ph
16		peano2nn 8869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
17	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
18	17	nncnd 8871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
19		elfzuz 9956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20	19	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
21		eluz2nn 9504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. NN )
23	22	nncnd 8871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. CC )
24	22	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y # 0 )
25	18, 23, 24	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) = ( k + 1 ) )
26		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y || ( k + 1 ) )
27	22	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
28	22	nnne0d 8902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y =/= 0 )
29	17	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
30		dvdsval2 11730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y || ( k + 1 ) <-> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ ) )
32	26, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ )
33	23	mulid2d 7917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
34		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
35	34	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ ( ( k + 1 ) - 1 ) )
36		nncn 8865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> k e. CC )
37	36	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. CC )
38		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
39		pncan 8104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
40	37, 38, 39	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
41	35, 40	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y <_ k )
42		nnz 9210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
43	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
44		zleltp1 9246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
45	27, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y <_ k <-> y < ( k + 1 ) ) )
46	41, 45	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y < ( k + 1 ) )
47	33, 46	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) )
48		1red 7914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
49	17	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
50	22	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR )
51	22	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < y )
52		ltmuldiv 8769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
53	48, 49, 50, 51, 52	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( 1 x. y ) < ( k + 1 ) <-> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
54	47, 53	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < ( ( k + 1 ) / y ) )
55		eluz2b1 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 1 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
56	32, 54, 55	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
57		prmind.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
58		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
59		fznn 10024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
60	43, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( y e. ( 1 ... k ) <-> ( y e. NN /\ y <_ k ) ) )
61	22, 41, 60	mpbir2and 934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. ( 1 ... k ) )
62	57, 58, 61	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ch )
63		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
64		prmind.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ph <-> th ) )
65	63, 64	sbcie 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ph <-> th )
66		dfsbcq 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. z / x ]. ph <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
67	65, 66	bitr3id 193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( th <-> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
68	64	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. z e. ( 1 ... k ) th )
69	58, 68	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> A. z e. ( 1 ... k ) th )
70	17	nnrpd 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
71	22	nnrpd 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> y e. RR+ )
72	70, 71	rpdivcld 9650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. RR+ )
73	72	rpgt0d 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( ( k + 1 ) / y ) )
74		elnnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ 0 < ( ( k + 1 ) / y ) ) )
75	32, 73, 74	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. NN )
76	17	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
77	18, 76	dividapd 8682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) = 1 )
78		eluz2gt1 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < y )
79	20, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 1 < y )
80	77, 79	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y )
81	17	nngt0d 8901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
82		ltdiv23 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k + 1 ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
83	49, 49, 81, 50, 51, 82	syl122anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ) < y <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
84	80, 83	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) )
85		zleltp1 9246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
86	32, 43, 85	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) <_ k <-> ( ( k + 1 ) / y ) < ( k + 1 ) ) )
87	84, 86	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) <_ k )
88		fznn 10024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
89	43, 88	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) <-> ( ( ( k + 1 ) / y ) e. NN /\ ( ( k + 1 ) / y ) <_ k ) ) )
90	75, 87, 89	mpbir2and 934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) / y ) e. ( 1 ... k ) )
91	67, 69, 90	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph )
92	62, 91	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) )
93	67	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ch /\ th ) <-> ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) ) )
94		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( y x. z ) = ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) )
95	94	sbceq1d 2956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) )
96	93, 95	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) <-> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
97	96	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( k + 1 ) / y ) -> ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) <-> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) ) )
98		prmind2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
99	98	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> ta ) )
100		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
101	100	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> y e. ZZ )
102		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
103	102	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> z e. ZZ )
104	101, 103	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( y x. z ) e. ZZ )
105		prmind.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ph <-> ta ) )
106	105	sbcieg 2983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y x. z ) e. ZZ -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
107	104, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( [. ( y x. z ) / x ]. ph <-> ta ) )
108	99, 107	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) )
109	108	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ th ) -> [. ( y x. z ) / x ]. ph ) ) )
110	97, 109	vtoclga 2792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) / y ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ch /\ [. ( ( k + 1 ) / y ) / x ]. ph ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph ) ) )
111	56, 20, 92, 110	syl3c 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( y x. ( ( k + 1 ) / y ) ) / x ]. ph )
112	25, 111	sbceq1dd 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) /\ y || ( k + 1 ) ) ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
113	112	rexlimdvaa 2584	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
114		ralnex 2454	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
115		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. NN )
116		elnnuz 9502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
117	115, 116	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
118		eluzp1p1 9491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
119	117, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
120		df-2 8916	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 = ( 1 + 1 )
121	120	fveq2i 5489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
122	119, 121	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123		isprm3 12050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. Prime <-> ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) ) )
124	123	baibr 910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
125	122, 124	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
126		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. x e. ( 1 ... k ) ph )
127	57	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( 1 ... k ) ph <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
128	126, 127	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... k ) ch )
129	115	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. CC )
130	129, 38, 39	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
131	130	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... k ) )
132	131	raleqdv 2667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... k ) ch ) )
133	128, 132	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch )
134		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( k + 1 )
135		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch
136		nfsbc1v 2969	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [. ( k + 1 ) / x ]. ph
137	135, 136	nfim 1560	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
138		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
139	138	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( 1 ... ( x - 1 ) ) = ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
140	139	raleqdv 2667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch <-> A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch ) )
141		sbceq1a 2960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
142	140, 141	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) <-> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) ) )
143		prmind2.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Prime /\ A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch ) -> ph )
144	143	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( x - 1 ) ) ch -> ph ) )
145	134, 137, 142, 144	vtoclgaf 2791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> ( A. y e. ( 1 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ch -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
146	133, 145	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) e. Prime -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
147	125, 146	sylbid 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( A. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -. y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
148	114, 147	syl5bir 152	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
149		2z 9219	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
150	149	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 2 e. ZZ )
151	115	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> k e. ZZ )
152	151	peano2zd 9316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
153		1zzd 9218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> 1 e. ZZ )
154	152, 153	zsubcld 9318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) e. ZZ )
155	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) -> y e. NN )
156		dvdsdc 11738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
157	155, 152, 156	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) /\ y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) -> DECID y || ( k + 1 ) )
158	150, 154, 157	exfzdc 10175	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) )
159		exmiddc 826	. . . . . . . . 9 |- (DECID E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
160	158, 159	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> ( E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) \/ -. E. y e. ( 2 ... ( ( k + 1 ) - 1 ) ) y || ( k + 1 ) ) )
161	113, 148, 160	mpjaod 708	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ A. x e. ( 1 ... k ) ph ) -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph )
162	161	ex 114	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
163		ralsnsg 3613	. . . . . . 7 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
164	16, 163	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. x e. { ( k + 1 ) } ph <-> [. ( k + 1 ) / x ]. ph ) )
165	162, 164	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
166	165	ancld 323	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
167		fzsuc 10004	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
168	116, 167	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
169	168	raleqdv 2667	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph ) )
170		ralunb 3303	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) )
171	169, 170	bitrdi 195	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph <-> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph /\ A. x e. { ( k + 1 ) } ph ) ) )
172	166, 171	sylibrd 168	. . 3 |- ( k e. NN -> ( A. x e. ( 1 ... k ) ph -> A. x e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ph ) )
173	3, 5, 7, 9, 15, 172	nnind 8873	. 2 |- ( A e. NN -> A. x e. ( 1 ... A ) ph )
174		elfz1end 9990	. . 3 |- ( A e. NN <-> A e. ( 1 ... A ) )
175	174	biimpi 119	. 2 |- ( A e. NN -> A e. ( 1 ... A ) )
176	1, 173, 175	rspcdva 2835	1 |- ( A e. NN -> et )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   [.wsbc 2951   u. cun 3114   {csn 3576   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   || cdvds 11727   Primecprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-prm 12040

This theorem is referenced by:  prmind  12053