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Theorem prmind2 12152
Description: A variation on prmind 12153 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind2.7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
prmind2.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind2  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y,
z)    ta( y, z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmind.5 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
2 oveq2 5904 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
32raleqdv 2692 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... 1 ) ph ) )
4 oveq2 5904 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
54raleqdv 2692 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph ) )
6 oveq2 5904 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
76raleqdv 2692 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5904 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... A
) )
98raleqdv 2692 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... A ) ph ) )
10 prmind.6 . . . . 5  |-  ps
11 elfz1eq 10065 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  x  =  1 )
12 prmind.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1410, 13mpbiri 168 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ph )
1514rgen 2543 . . 3  |-  A. x  e.  ( 1 ... 1
) ph
16 peano2nn 8961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1716ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
1817nncnd 8963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
19 elfzuz 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2019ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
21 eluz2nn 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
2322nncnd 8963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
2422nnap0d 8995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y #  0 )
2518, 23, 24divcanap2d 8779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  =  ( k  +  1 ) )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  ||  (
k  +  1 ) )
2722nnzd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
2822nnne0d 8994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  =/=  0
)
2917nnzd 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
30 dvdsval2 11829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  (
k  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( y  ||  (
k  +  1 )  <-> 
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ ) )
3226, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ )
3323mulid2d 8006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
34 elfzle2 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  <_  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
3534ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  (
( k  +  1 )  -  1 ) )
36 nncn 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
38 ax-1cn 7934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
39 pncan 8193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
4037, 38, 39sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
4135, 40breqtrd 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  k
)
42 nnz 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
44 zleltp1 9338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
4527, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
4641, 45mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <  (
k  +  1 ) )
4733, 46eqbrtrd 4040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  <  (
k  +  1 ) )
48 1red 8002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
4917nnred 8962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5022nnred 8962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
5122nngt0d 8993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  y
)
52 ltmuldiv 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  x.  y )  <  ( k  +  1 )  <->  1  <  ( ( k  +  1 )  /  y ) ) )
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  < 
( k  +  1 )  <->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) ) )
5447, 53mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
55 eluz2b1 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
5632, 54, 55sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
57 prmind.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
58 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
59 fznn 10119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... k )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
6043, 59syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
6122, 41, 60mpbir2and 946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 1 ... k ) )
6257, 58, 61rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ch )
63 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
64 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
6563, 64sbcie 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  th )
66 dfsbcq 2979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
6765, 66bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
6864cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
6958, 68sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
7017nnrpd 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
7122nnrpd 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
7270, 71rpdivcld 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  RR+ )
7372rpgt0d 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
74 elnnz 9293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
7532, 73, 74sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  NN )
7617nnap0d 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 ) #  0 )
7718, 76dividapd 8773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  =  1 )
78 eluz2gt1 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  y )
7920, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  y
)
8077, 79eqbrtrd 4040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y
)
8117nngt0d 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
k  +  1 ) )
82 ltdiv23 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8349, 49, 81, 50, 51, 82syl122anc 1258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  1 ) )  < 
y  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8480, 83mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) )
85 zleltp1 9338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8632, 43, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8784, 86mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k
)
88 fznn 10119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ( 1 ... k )  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  (
( k  +  1 )  /  y )  <_  k ) ) )
8943, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k ) ) )
9075, 87, 89mpbir2and 946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ( 1 ... k ) )
9167, 69, 90rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph )
9262, 91jca 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph ) )
9367anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ch  /\  th ) 
<->  ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )
) )
94 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
9594sbceq1d 2982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
9693, 95imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph )  <->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) ) )
9796imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph ) )  <-> 
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) ) )
98 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
9998ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
100 eluzelz 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
101100adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  y  e.  ZZ )
102 eluzelz 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
103102adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
104101, 103zmulcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( y  x.  z )  e.  ZZ )
105 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
106105sbcieg 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  x.  z )  e.  ZZ  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
107104, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
10899, 107sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph ) )
109108ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph ) ) )
11097, 109vtoclga 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) )
11156, 20, 92, 110syl3c 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph )
11225, 111sbceq1dd 2983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
113112rexlimdvaa 2608 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
114 ralnex 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) )
115 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  NN )
116 elnnuz 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
117115, 116sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
118 eluzp1p1 9583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
119117, 118syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
120 df-2 9008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
121120fveq2i 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
122119, 121eleqtrrdi 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
123 isprm3 12150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  (
k  +  1 ) ) )
124123baibr 921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
125122, 124syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e.  Prime ) )
126 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
12757cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
128126, 127sylib 122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
129115nncnd 8963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
130129, 38, 39sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
131130oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
132131raleqdv 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... k
) ch ) )
133128, 132mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch )
134 nfcv 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( k  +  1 )
135 nfv 1539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. y  e.  (
1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch
136 nfsbc1v 2996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
137135, 136nfim 1583 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
138 oveq1 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
139138oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... ( x  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
140139raleqdv 2692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch ) )
141 sbceq1a 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
142140, 141imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( 1 ... (
x  -  1 ) ) ch  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
143 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
144143ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch 
->  ph ) )
145134, 137, 142, 144vtoclgaf 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch 
->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
146133, 145syl5com 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  e. 
Prime  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
147125, 146sylbid 150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
148114, 147biimtrrid 153 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( -.  E. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 )  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
149 2z 9311 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
150149a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  2  e.  ZZ )
151115nnzd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  ZZ )
152151peano2zd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
153 1zzd 9310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  1  e.  ZZ )
154152, 153zsubcld 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  e.  ZZ )
15519, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  NN )
156 dvdsdc 11837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  -> DECID 
y  ||  ( k  +  1 ) )
157155, 152, 156syl2anr 290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  -> DECID  y  ||  ( k  +  1 ) )
158150, 154, 157exfzdc 10270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  -> DECID  E. y  e.  (
2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 ) )
159 exmiddc 837 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  \/  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) ) )
160158, 159syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  \/  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) ) )
161113, 148, 160mpjaod 719 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
162161ex 115 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
163 ralsnsg 3644 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
16416, 163syl 14 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
165162, 164sylibrd 169 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
)
166165ancld 325 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
167 fzsuc 10099 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
168116, 167sylbi 121 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
169168raleqdv 2692 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 1 ... k )  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph ) )
170 ralunb 3331 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )
ph 
<->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) )
171169, 170bitrdi 196 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  ( A. x  e.  ( 1 ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
172166, 171sylibrd 169 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )
ph ) )
1733, 5, 7, 9, 15, 172nnind 8965 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... A
) ph )
174 elfz1end 10085 . . 3  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
175174biimpi 120 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
1761, 173, 175rspcdva 2861 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   [.wsbc 2977    u. cun 3142   {csn 3607   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842    + caddc 7844    x. cmul 7846    < clt 8022    <_ cle 8023    - cmin 8158    / cdiv 8659   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038    || cdvds 11826   Primecprime 12139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-prm 12140
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