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Theorem prmind2 11195
Description: A variation on prmind 11196 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind2.7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
prmind2.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind2  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y,
z)    ta( y, z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmind.5 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
2 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
32raleqdv 2568 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... 1 ) ph ) )
4 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
54raleqdv 2568 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph ) )
6 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
76raleqdv 2568 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ph ) )
8 oveq2 5642 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... A
) )
98raleqdv 2568 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( A. x  e.  (
1 ... n ) ph  <->  A. x  e.  ( 1 ... A ) ph ) )
10 prmind.6 . . . . 5  |-  ps
11 elfz1eq 9418 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  x  =  1 )
12 prmind.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1410, 13mpbiri 166 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ph )
1514rgen 2428 . . 3  |-  A. x  e.  ( 1 ... 1
) ph
16 peano2nn 8406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1716ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
1817nncnd 8408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
19 elfzuz 9405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2019ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
21 eluz2nn 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  NN )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  NN )
2322nncnd 8408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  CC )
2422nnap0d 8439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y #  0 )
2518, 23, 24divcanap2d 8232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  =  ( k  +  1 ) )
26 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  ||  (
k  +  1 ) )
2722nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
2822nnne0d 8438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  =/=  0
)
2917nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
30 dvdsval2 10892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  (
k  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( y  ||  (
k  +  1 )  <-> 
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ ) )
3226, 31mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ZZ )
3323mulid2d 7485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
34 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  <_  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
3534ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  (
( k  +  1 )  -  1 ) )
36 nncn 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
3736ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
38 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
39 pncan 7667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
4037, 38, 39sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
4135, 40breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <_  k
)
42 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4342ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
44 zleltp1 8775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  k  <->  y  <  ( k  +  1 ) ) )
4527, 43, 44syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  <_ 
k  <->  y  <  (
k  +  1 ) ) )
4641, 45mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  <  (
k  +  1 ) )
4733, 46eqbrtrd 3857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( 1  x.  y )  <  (
k  +  1 ) )
48 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
4917nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
5022nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR )
5122nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  y
)
52 ltmuldiv 8307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  x.  y )  <  ( k  +  1 )  <->  1  <  ( ( k  +  1 )  /  y ) ) )
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( 1  x.  y )  < 
( k  +  1 )  <->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) ) )
5447, 53mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
55 eluz2b1 9057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
5632, 54, 55sylanbrc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
57 prmind.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
58 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
59 fznn 9470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( 1 ... k )  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
6043, 59syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( y  e.  NN  /\  y  <_ 
k ) ) )
6122, 41, 60mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  ( 1 ... k ) )
6257, 58, 61rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ch )
63 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
64 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
6563, 64sbcie 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. z  /  x ]. ph  <->  th )
66 dfsbcq 2840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
6765, 66syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph ) )
6864cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
6958, 68sylib 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  A. z  e.  ( 1 ... k ) th )
7017nnrpd 9141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
7122nnrpd 9141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
7270, 71rpdivcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  RR+ )
7372rpgt0d 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
( k  +  1 )  /  y ) )
74 elnnz 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
7532, 73, 74sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  NN )
7617nnap0d 8439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 ) #  0 )
7718, 76dividapd 8227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  =  1 )
78 eluz2gt1 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  y )
7920, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  1  <  y
)
8077, 79eqbrtrd 3857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y
)
8117nngt0d 8437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
k  +  1 ) )
82 ltdiv23 8325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  < 
y ) )  -> 
( ( ( k  +  1 )  / 
( k  +  1 ) )  <  y  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8349, 49, 81, 50, 51, 82syl122anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  ( k  +  1 ) )  < 
y  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8480, 83mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) )
85 zleltp1 8775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k  <->  ( ( k  +  1 )  /  y )  <  ( k  +  1 ) ) )
8632, 43, 85syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k  <->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <  (
k  +  1 ) ) )
8784, 86mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  <_  k
)
88 fznn 9470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( k  +  1 )  /  y
)  e.  ( 1 ... k )  <->  ( (
( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  (
( k  +  1 )  /  y )  <_  k ) ) )
8943, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( 1 ... k
)  <->  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  NN  /\  ( ( k  +  1 )  /  y )  <_ 
k ) ) )
9075, 87, 89mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( k  +  1 )  / 
y )  e.  ( 1 ... k ) )
9167, 69, 90rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( ( k  +  1 )  / 
y )  /  x ]. ph )
9262, 91jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph ) )
9367anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ch  /\  th ) 
<->  ( ch  /\  [. (
( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )
) )
94 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
y  x.  z )  =  ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) ) )
9594sbceq1d 2843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) )
9693, 95imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph )  <->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y )  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  (
( k  +  1 )  /  y ) )  /  x ]. ph ) ) )
9796imbi2d 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( k  +  1 )  / 
y )  ->  (
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph ) )  <-> 
( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) ) )
98 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
9998ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
100 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
101100adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  y  e.  ZZ )
102 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
103102adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  z  e.  ZZ )
104101, 103zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( y  x.  z )  e.  ZZ )
105 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
106105sbcieg 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  x.  z )  e.  ZZ  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
107104, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
10899, 107sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z
)  /  x ]. ph ) )
109108ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  [. ( y  x.  z )  /  x ]. ph ) ) )
11097, 109vtoclga 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  /  y )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ch  /\  [. ( ( k  +  1 )  /  y
)  /  x ]. ph )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  / 
y ) )  /  x ]. ph ) ) )
11156, 20, 92, 110syl3c 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( y  x.  ( ( k  +  1 )  /  y
) )  /  x ]. ph )
11225, 111sbceq1dd 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  (
y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  /\  y  ||  ( k  +  1 ) ) )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
113112rexlimdvaa 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
114 ralnex 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) )
115 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  NN )
116 elnnuz 9024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
117115, 116sylib 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
118 eluzp1p1 9013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
119117, 118syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
120 df-2 8452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( 1  +  1 )
121120fveq2i 5292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
122119, 121syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
123 isprm3 11193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  (
k  +  1 ) ) )
124123baibr 867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
125122, 124syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  <->  ( k  +  1 )  e.  Prime ) )
126 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )
12757cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... k ) ph  <->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
128126, 127sylib 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... k ) ch )
129115nncnd 8408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  CC )
130129, 38, 39sylancl 404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  =  k )
131130oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... k ) )
132131raleqdv 2568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... k
) ch ) )
133128, 132mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch )
134 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( k  +  1 )
135 nfv 1466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. y  e.  (
1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch
136 nfsbc1v 2856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph
137135, 136nfim 1509 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( A. y  e.  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
138 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
139138oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... ( x  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )
140139raleqdv 2568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. y  e.  (
1 ... ( x  - 
1 ) ) ch  <->  A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch ) )
141 sbceq1a 2847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
142140, 141imbi12d 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A. y  e.  ( 1 ... (
x  -  1 ) ) ch  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) ) ch  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
143 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
144143ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch 
->  ph ) )
145134, 137, 142, 144vtoclgaf 2684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. y  e.  ( 1 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) ch 
->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
146133, 145syl5com 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  e. 
Prime  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
147125, 146sylbid 148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( A. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -.  y  ||  ( k  +  1 )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
148114, 147syl5bir 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( -.  E. y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 )  ->  [. (
k  +  1 )  /  x ]. ph )
)
149 2z 8748 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
150149a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  2  e.  ZZ )
151115nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  k  e.  ZZ )
152151peano2zd 8841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
153 1zzd 8747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  1  e.  ZZ )
154152, 153zsubcld 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( ( k  +  1 )  - 
1 )  e.  ZZ )
15519, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 2 ... ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  ->  y  e.  NN )
156 dvdsdc 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  -> DECID 
y  ||  ( k  +  1 ) )
157155, 152, 156syl2anr 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\ 
A. x  e.  ( 1 ... k )
ph )  /\  y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) )  -> DECID  y  ||  ( k  +  1 ) )
158150, 154, 157exfzdc 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  -> DECID  E. y  e.  (
2 ... ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) y 
||  ( k  +  1 ) )
159 exmiddc 782 . . . . . . . . 9  |-  (DECID  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  \/  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) ) )
160158, 159syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  ( E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 )  \/  -.  E. y  e.  ( 2 ... (
( k  +  1 )  -  1 ) ) y  ||  (
k  +  1 ) ) )
161113, 148, 160mpjaod 673 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. x  e.  ( 1 ... k ) ph )  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph )
162161ex 113 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
163 ralsnsg 3475 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
16416, 163syl 14 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph  <->  [. ( k  +  1 )  /  x ]. ph ) )
165162, 164sylibrd 167 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  {
( k  +  1 ) } ph )
)
166165ancld 318 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
167 fzsuc 9450 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
168116, 167sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
169168raleqdv 2568 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 1 ... k )  u.  { ( k  +  1 ) } ) ph ) )
170 ralunb 3179 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )
ph 
<->  ( A. x  e.  ( 1 ... k
) ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) )
171169, 170syl6bb 194 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ph  <->  ( A. x  e.  ( 1 ... k )
ph  /\  A. x  e.  { ( k  +  1 ) } ph ) ) )
172166, 171sylibrd 167 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. x  e.  (
1 ... k ) ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )
ph ) )
1733, 5, 7, 9, 15, 172nnind 8410 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... A
) ph )
174 elfz1end 9438 . . 3  |-  ( A  e.  NN  <->  A  e.  ( 1 ... A
) )
175174biimpi 118 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ( 1 ... A
) )
1761, 173, 175rspcdva 2727 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   E.wrex 2360   [.wsbc 2838    u. cun 2995   {csn 3441   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    || cdvds 10889   Primecprime 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890  df-prm 11183
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