Theorem raluz 9933

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz	|- ( M e. ZZ -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem raluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9880	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
2	1	imbi1d 231	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) )
3		impexp 263	. . 3 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
4	2, 3	bitrdi 196	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
5	4	ralbidv2 2546	1 |- ( M e. ZZ -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4115   ` cfv 5359   <_ cle 8327   ZZcz 9599   ZZ>=cuz 9876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-ov 6063  df-neg 8466  df-z 9600  df-uz 9877

This theorem is referenced by: (None)