Theorem raluz 9669

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem raluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 9622	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
2	1	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑)))
3		impexp 263	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
5	4	ralbidv2 2499	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619

This theorem is referenced by: (None)