Theorem raluz2 9774

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz2	|- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9728	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		3anass 1006	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
4	3	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) )
5		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) )
6		impexp 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
7	6	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
8	5, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
9		bi2.04 248	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
11	4, 10	bitri 184	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
12	11	ralbii2 2540	. 2 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
13		r19.21v 2607	. 2 |- ( A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )
14	12, 13	bitri 184	1 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by: (None)