Theorem raluz2 9634

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz2	|- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9588	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		3anass 984	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
3	1, 2	bitri 184	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
4	3	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) )
5		impexp 263	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) )
6		impexp 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
7	6	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
8	5, 7	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
9		bi2.04 248	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
10	8, 9	bitri 184	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
11	4, 10	bitri 184	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
12	11	ralbii2 2504	. 2 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
13		r19.21v 2571	. 2 |- ( A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )
14	12, 13	bitri 184	1 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   ` cfv 5246   <_ cle 8045   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-ov 5913  df-neg 8183  df-z 9308  df-uz 9583

This theorem is referenced by: (None)