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Theorem raluz2 9065
Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
raluz2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem raluz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 9023 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) )
2 3anass 928 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
31, 2bitri 182 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
43imbi1i 236 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph ) )
5 impexp 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( (
n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) ) )
6 impexp 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
76imbi2i 224 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
85, 7bitri 182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
9 bi2.04 246 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
108, 9bitri 182 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
114, 10bitri 182 . . 3  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
1211ralbii2 2388 . 2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
13 r19.21v 2450 . 2  |-  ( A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
1412, 13bitri 182 1  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3845   ` cfv 5015    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-neg 7654  df-z 8749  df-uz 9018
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