Theorem raluz2 9495

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz2	|- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9450	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		3anass 967	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
3	1, 2	bitri 183	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
4	3	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) )
5		impexp 261	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) )
6		impexp 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
7	6	imbi2i 225	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
8	5, 7	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
9		bi2.04 247	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
10	8, 9	bitri 183	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
11	4, 10	bitri 183	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
12	11	ralbii2 2467	. 2 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
13		r19.21v 2534	. 2 |- ( A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )
14	12, 13	bitri 183	1 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3967   ` cfv 5172   <_ cle 7915   ZZcz 9172   ZZ>=cuz 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-ov 5829  df-neg 8053  df-z 9173  df-uz 9445

This theorem is referenced by: (None)