Theorem eluz1 9330

Description: Membership in the upper set of integers starting at M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	|- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 9328	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = { k e. ZZ | M <_ k } )
2	1	eleq2d 2209	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. { k e. ZZ | M <_ k } ) )
3		breq2 3933	. . 3 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
4	3	elrab 2840	. 2 |- ( N e. { k e. ZZ | M <_ k } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
5	2, 4	syl6bb 195	1 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  eluz2  9332  eluz1i  9333  eluz  9339  uzid  9340  uzss  9346  eluzp1m1  9349  eluzadd  9354  eluzsub  9355  raluz  9373  rexuz  9375  caucvgrelemcau  10752  caucvgre  10753  algcvga  11732