Theorem eluz1 9491

Description: Membership in the upper set of integers starting at M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	|- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 9489	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = { k e. ZZ | M <_ k } )
2	1	eleq2d 2240	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. { k e. ZZ | M <_ k } ) )
3		breq2 3993	. . 3 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
4	3	elrab 2886	. 2 |- ( N e. { k e. ZZ | M <_ k } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
5	2, 4	bitrdi 195	1 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989   ` cfv 5198   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  eluz2  9493  eluz1i  9494  eluz  9500  uzid  9501  uzss  9507  eluzp1m1  9510  eluzadd  9515  eluzsub  9516  raluz  9537  rexuz  9539  caucvgrelemcau  10944  caucvgre  10945  algcvga  12005