Theorem eluz1 9470

Description: Membership in the upper set of integers starting at M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	|- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 9468	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = { k e. ZZ | M <_ k } )
2	1	eleq2d 2236	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. { k e. ZZ | M <_ k } ) )
3		breq2 3986	. . 3 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
4	3	elrab 2882	. 2 |- ( N e. { k e. ZZ | M <_ k } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
5	2, 4	bitrdi 195	1 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   {crab 2448   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  eluz2  9472  eluz1i  9473  eluz  9479  uzid  9480  uzss  9486  eluzp1m1  9489  eluzadd  9494  eluzsub  9495  raluz  9516  rexuz  9518  caucvgrelemcau  10922  caucvgre  10923  algcvga  11983