Theorem eluz1 9180

Description: Membership in the upper set of integers starting at M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluz1	|- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Proof of Theorem eluz1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzval 9178	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = { k e. ZZ | M <_ k } )
2	1	eleq2d 2169	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. { k e. ZZ | M <_ k } ) )
3		breq2 3879	. . 3 |- ( k = N -> ( M <_ k <-> M <_ N ) )
4	3	elrab 2793	. 2 |- ( N e. { k e. ZZ | M <_ k } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
5	2, 4	syl6bb 195	1 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   {crab 2379   class class class wbr 3875   ` cfv 5059   <_ cle 7673   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-ov 5709  df-neg 7807  df-z 8907  df-uz 9177

This theorem is referenced by:  eluz2  9182  eluz1i  9183  eluz  9189  uzid  9190  uzss  9196  eluzp1m1  9199  eluzadd  9204  eluzsub  9205  raluz  9223  rexuz  9225  caucvgrelemcau  10592  caucvgre  10593  algcvga  11525