Theorem reldmmpo 6038

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	|- Rel dom F

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 6011	. 2 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
2		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
3		df-mpo 5930	. . . . 5 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	2, 3	eqtri 2217	. . . 4 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5	4	dmeqi 4868	. . 3 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
6	5	releqi 4747	. 2 |- ( Rel dom F <-> Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } )
7	1, 6	mpbir 146	1 |- Rel dom F

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   dom cdm 4664   Rel wrel 4669   {coprab 5926   e. cmpo 5927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-dm 4674  df-oprab 5929  df-mpo 5930

This theorem is referenced by:  reldmmap  6725  reldmsets  12732  reldmress  12766  reldmprds  12970  reldmghm  13448  reldmpsr  14295