Theorem reldmmpo 5890

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	|- Rel dom F

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 5864	. 2 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
2		rngop.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
3		df-mpo 5787	. . . . 5 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	2, 3	eqtri 2161	. . . 4 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5	4	dmeqi 4748	. . 3 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
6	5	releqi 4630	. 2 |- ( Rel dom F <-> Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } )
7	1, 6	mpbir 145	1 |- Rel dom F

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   dom cdm 4547   Rel wrel 4552   {coprab 5783   e. cmpo 5784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-dm 4557  df-oprab 5786  df-mpo 5787

This theorem is referenced by:  reldmmap  6559  reldmsets  12027  reldmress  12056  reldmprds  12185