Theorem cbvrexv 2787

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1581	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 2783	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  cbvrex2v  2800  reu7  3021  reusv3  4606  funcnvuni  5450  fun11iun  5660  fvelimab  5759  fliftfun  6002  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemaccex  6632  tfrcldm  6634  frecsuc  6678  nnaordex  6801  fimax2gtri  7206  supmoti  7333  suplub2ti  7341  fodjuomnilemdc  7484  fodjuomnilemres  7488  fodjuomni  7489  fodjumkvlemres  7499  fodjumkv  7500  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  cardval3ex  7530  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgpr  8029  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgpr  8049  caucvgprprlemell  8052  caucvgprprlemelu  8053  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  suplocexprlemmu  8085  suplocexpr  8092  suplocsrlem  8175  nntopi  8261  axcaucvglemres  8266  axpre-suploc  8269  suprzclex  9748  supinfneg  10004  infsupneg  10005  ublbneg  10022  suprzubdc  10681  exbtwnzlemstep  10692  exbtwnzlemshrink  10693  rebtwn2zlemstep  10697  rebtwn2zlemshrink  10698  hashunlem  11258  cvg1nlemres  11765  resqrexlemoverl  11801  resqrexlemsqa  11804  resqrexlemex  11805  rexanre  12001  rexico  12002  fimaxre2  12008  summodclem2  12165  summodc  12166  mertenslemub  12317  mertensabs  12320  odd2np1lem  12655  divalglemeunn  12704  divalglemeuneg  12706  bitsfzolem  12737  bezoutlemex  12794  nn0sqdcq  13004  ballotfilemodife  13289  ballotfilemimin  13298  ennnfoneleminc  13351  ennnfonelemex  13354  ennnfonelemhom  13355  ennnfonelemr  13363  ctinfom  13368  nninfdclemp1  13390  nninfdc  13393  cnptoprest  15389  dedekindeulemuub  15767  dedekindeulemub  15768  dedekindeulemloc  15769  dedekindeulemlub  15770  dedekindeulemlu  15771  dedekindicclemuub  15776  dedekindicclemub  15777  dedekindicclemloc  15778  dedekindicclemlub  15779  dedekindicclemlu  15780  ivthdich  15803  bj-nn0sucALT  17102  nconstwlpolem  17213  neapmkvlem  17215