Theorem cbvrexv 2766

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1574	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 2762	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  cbvrex2v  2779  reu7  2998  reusv3  4551  funcnvuni  5390  fun11iun  5595  fvelimab  5692  fliftfun  5926  tfr1onlemaccex  6500  tfrcllemsucaccv  6506  tfrcllembxssdm  6508  tfrcllemaccex  6513  tfrcldm  6515  frecsuc  6559  nnaordex  6682  fimax2gtri  7072  supmoti  7171  suplub2ti  7179  fodjuomnilemdc  7322  fodjuomnilemres  7326  fodjuomni  7327  fodjumkvlemres  7337  fodjumkv  7338  nninfwlpoimlemginf  7354  nninfwlpoim  7357  nninfinfwlpo  7358  cardval3ex  7368  prarloclemlo  7692  prarloclem3  7695  cauappcvgprlemdisj  7849  cauappcvgprlemladdru  7854  cauappcvgprlemladdrl  7855  cauappcvgpr  7860  caucvgprlemdisj  7872  caucvgprlemcl  7874  caucvgprlemladdfu  7875  caucvgprlemladdrl  7876  caucvgpr  7880  caucvgprprlemell  7883  caucvgprprlemelu  7884  caucvgprprlemlol  7896  caucvgprprlemclphr  7903  caucvgprprlemexbt  7904  suplocexprlemmu  7916  suplocexpr  7923  suplocsrlem  8006  nntopi  8092  axcaucvglemres  8097  axpre-suploc  8100  suprzclex  9556  supinfneg  9802  infsupneg  9803  ublbneg  9820  suprzubdc  10468  exbtwnzlemstep  10479  exbtwnzlemshrink  10480  rebtwn2zlemstep  10484  rebtwn2zlemshrink  10485  hashunlem  11038  cvg1nlemres  11511  resqrexlemoverl  11547  resqrexlemsqa  11550  resqrexlemex  11551  rexanre  11746  rexico  11747  fimaxre2  11753  summodclem2  11908  summodc  11909  mertenslemub  12060  mertensabs  12063  odd2np1lem  12398  divalglemeunn  12447  divalglemeuneg  12449  bitsfzolem  12480  bezoutlemex  12537  ennnfoneleminc  12997  ennnfonelemex  13000  ennnfonelemhom  13001  ennnfonelemr  13009  ctinfom  13014  nninfdclemp1  13036  nninfdc  13039  cnptoprest  14928  dedekindeulemuub  15306  dedekindeulemub  15307  dedekindeulemloc  15308  dedekindeulemlub  15309  dedekindeulemlu  15310  dedekindicclemuub  15315  dedekindicclemub  15316  dedekindicclemloc  15317  dedekindicclemlub  15318  dedekindicclemlu  15319  ivthdich  15342  bj-nn0sucALT  16396  nconstwlpolem  16493  neapmkvlem  16495