Theorem cbvrexv 2655

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1508	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 2651	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wrex 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422

This theorem is referenced by:  cbvrexvw  2659  cbvrex2v  2666  reu7  2879  reusv3  4381  funcnvuni  5192  fun11iun  5388  fvelimab  5477  fliftfun  5697  grpridd  5967  tfr1onlemaccex  6245  tfrcllemsucaccv  6251  tfrcllembxssdm  6253  tfrcllemaccex  6258  tfrcldm  6260  frecsuc  6304  nnaordex  6423  fimax2gtri  6795  supmoti  6880  suplub2ti  6888  fodjuomnilemdc  7016  fodjuomnilemres  7020  fodjuomni  7021  fodjumkvlemres  7033  fodjumkv  7034  cardval3ex  7041  prarloclemlo  7302  prarloclem3  7305  cauappcvgprlemdisj  7459  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgpr  7470  caucvgprlemdisj  7482  caucvgprlemcl  7484  caucvgprlemladdfu  7485  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgpr  7490  caucvgprprlemell  7493  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemclphr  7513  caucvgprprlemexbt  7514  suplocexprlemmu  7526  suplocexpr  7533  suplocsrlem  7616  nntopi  7702  axcaucvglemres  7707  axpre-suploc  7710  suprzclex  9149  supinfneg  9390  infsupneg  9391  ublbneg  9405  exbtwnzlemstep  10025  exbtwnzlemshrink  10026  rebtwn2zlemstep  10030  rebtwn2zlemshrink  10031  hashunlem  10550  cvg1nlemres  10757  resqrexlemoverl  10793  resqrexlemsqa  10796  resqrexlemex  10797  rexanre  10992  rexico  10993  fimaxre2  10998  summodclem2  11151  summodc  11152  mertenslemub  11303  mertensabs  11306  odd2np1lem  11569  divalglemeunn  11618  divalglemeuneg  11620  bezoutlemex  11689  ennnfoneleminc  11924  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemhom  11928  ennnfonelemr  11936  ctinfom  11941  cnptoprest  12408  dedekindeulemuub  12764  dedekindeulemub  12765  dedekindeulemloc  12766  dedekindeulemlub  12767  dedekindeulemlu  12768  dedekindicclemuub  12773  dedekindicclemub  12774  dedekindicclemloc  12775  dedekindicclemlub  12776  dedekindicclemlu  12777  bj-nn0sucALT  13176