Theorem cbvrexv 2730

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1542	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 2726	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  cbvrex2v  2743  reu7  2959  reusv3  4496  funcnvuni  5328  fun11iun  5528  fvelimab  5620  fliftfun  5846  tfr1onlemaccex  6415  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllemaccex  6428  tfrcldm  6430  frecsuc  6474  nnaordex  6595  fimax2gtri  6971  supmoti  7068  suplub2ti  7076  fodjuomnilemdc  7219  fodjuomnilemres  7223  fodjuomni  7224  fodjumkvlemres  7234  fodjumkv  7235  nninfwlpoimlemginf  7251  nninfwlpoim  7253  cardval3ex  7263  prarloclemlo  7578  prarloclem3  7581  cauappcvgprlemdisj  7735  cauappcvgprlemladdru  7740  cauappcvgprlemladdrl  7741  cauappcvgpr  7746  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemcl  7760  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlemladdrl  7762  caucvgpr  7766  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemclphr  7789  caucvgprprlemexbt  7790  suplocexprlemmu  7802  suplocexpr  7809  suplocsrlem  7892  nntopi  7978  axcaucvglemres  7983  axpre-suploc  7986  suprzclex  9441  supinfneg  9686  infsupneg  9687  ublbneg  9704  suprzubdc  10343  exbtwnzlemstep  10354  exbtwnzlemshrink  10355  rebtwn2zlemstep  10359  rebtwn2zlemshrink  10360  hashunlem  10913  cvg1nlemres  11167  resqrexlemoverl  11203  resqrexlemsqa  11206  resqrexlemex  11207  rexanre  11402  rexico  11403  fimaxre2  11409  summodclem2  11564  summodc  11565  mertenslemub  11716  mertensabs  11719  odd2np1lem  12054  divalglemeunn  12103  divalglemeuneg  12105  bitsfzolem  12136  bezoutlemex  12193  ennnfoneleminc  12653  ennnfonelemex  12656  ennnfonelemhom  12657  ennnfonelemr  12665  ctinfom  12670  nninfdclemp1  12692  nninfdc  12695  cnptoprest  14559  dedekindeulemuub  14937  dedekindeulemub  14938  dedekindeulemloc  14939  dedekindeulemlub  14940  dedekindeulemlu  14941  dedekindicclemuub  14946  dedekindicclemub  14947  dedekindicclemloc  14948  dedekindicclemlub  14949  dedekindicclemlu  14950  ivthdich  14973  bj-nn0sucALT  15708  nconstwlpolem  15796  neapmkvlem  15798