Theorem cbvrexv 2787

Description: Change the bound variable of a restricted existential quantifier using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvralv.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvrexv	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem cbvrexv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 |- F/ y ph
2		nfv 1581	. 2 |- F/ x ps
3		cbvralv.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
4	1, 2, 3	cbvrex 2783	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  cbvrex2v  2800  reu7  3021  reusv3  4606  funcnvuni  5450  fun11iun  5660  fvelimab  5759  fliftfun  6002  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllemaccex  6632  tfrcldm  6634  frecsuc  6678  nnaordex  6801  fimax2gtri  7206  supmoti  7333  suplub2ti  7341  fodjuomnilemdc  7484  fodjuomnilemres  7488  fodjuomni  7489  fodjumkvlemres  7499  fodjumkv  7500  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  cardval3ex  7530  prarloclemlo  7861  prarloclem3  7864  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgpr  8029  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemcl  8043  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgpr  8049  caucvgprprlemell  8052  caucvgprprlemelu  8053  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemclphr  8072  caucvgprprlemexbt  8073  suplocexprlemmu  8085  suplocexpr  8092  suplocsrlem  8175  nntopi  8261  axcaucvglemres  8266  axpre-suploc  8269  suprzclex  9744  supinfneg  9995  infsupneg  9996  ublbneg  10013  suprzubdc  10671  exbtwnzlemstep  10682  exbtwnzlemshrink  10683  rebtwn2zlemstep  10687  rebtwn2zlemshrink  10688  hashunlem  11244  cvg1nlemres  11751  resqrexlemoverl  11787  resqrexlemsqa  11790  resqrexlemex  11791  rexanre  11986  rexico  11987  fimaxre2  11993  summodclem2  12149  summodc  12150  mertenslemub  12301  mertensabs  12304  odd2np1lem  12639  divalglemeunn  12688  divalglemeuneg  12690  bitsfzolem  12721  bezoutlemex  12778  ballotfilemodife  13240  ballotfilemimin  13249  ennnfoneleminc  13302  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemhom  13306  ennnfonelemr  13314  ctinfom  13319  nninfdclemp1  13341  nninfdc  13344  cnptoprest  15340  dedekindeulemuub  15718  dedekindeulemub  15719  dedekindeulemloc  15720  dedekindeulemlub  15721  dedekindeulemlu  15722  dedekindicclemuub  15727  dedekindicclemub  15728  dedekindicclemloc  15729  dedekindicclemlub  15730  dedekindicclemlu  15731  ivthdich  15754  bj-nn0sucALT  17004  nconstwlpolem  17115  neapmkvlem  17117