Theorem riota5f 5997

Description: A method for computing restricted iota. (Contributed by NM, 16-Apr-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
riota5f.1	|- ( ph -> F/_ x B )
riota5f.2	|- ( ph -> B e. A )
riota5f.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> x = B ) )

Assertion

Ref	Expression
riota5f	|- ( ph -> ( iota_ x e. A ps ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   B( x)

Proof of Theorem riota5f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riota5f.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> x = B ) )
2	1	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ps <-> x = B ) )
3		riota5f.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4		trud 1413	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> T. )
5		reu6i 2997	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) -> E! x e. A ps )
6	5	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> E! x e. A ps )
7		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
8		nfv 1576	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x y e. A
9		nfra1 2563	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( ps <-> x = y )
10	8, 9	nfan 1613	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) )
11	7, 10	nfan 1613	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) )
12		nfcvd 2375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> F/_ x y )
13		nfvd 1577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> F/ x T. )
14		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> y e. A )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x = y )
16		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> A. x e. A ( ps <-> x = y ) )
17		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> y e. A )
18	15, 17	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x e. A )
19		rsp 2579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ps <-> x = y ) ) )
20	16, 18, 19	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( ps <-> x = y ) )
21	15, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ps )
22		trud 1413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> T. )
23	21, 22	2thd 175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( ps <-> T. ) )
24	11, 12, 13, 14, 23	riota2df 5992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ E! x e. A ps ) -> ( T. <-> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
25	6, 24	mpdan 421	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> ( T. <-> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
26	4, 25	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y )
27	26	expr 375	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
28	27	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
29		rspsbc 3115	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A. y e. A ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) -> [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) ) )
30	3, 28, 29	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
31		nfcvd 2375	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F/_ x y )
32		riota5f.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F/_ x B )
33	31, 32	nfeqd 2389	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x y = B )
34	7, 33	nfan1 1612	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ y = B )
35		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = B ) -> y = B )
36	35	eqeq2d 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( x = y <-> x = B ) )
37	36	bibi2d 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( ps <-> x = y ) <-> ( ps <-> x = B ) ) )
38	34, 37	ralbid 2530	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) <-> A. x e. A ( ps <-> x = B ) ) )
39	35	eqeq2d 2243	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( iota_ x e. A ps ) = y <-> ( iota_ x e. A ps ) = B ) )
40	38, 39	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) <-> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) ) )
41	3, 40	sbcied 3068	. . 3 |- ( ph -> ( [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) <-> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) ) )
42	30, 41	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) )
43	2, 42	mpd 13	1 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ps ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   F/_wnfc 2361   A.wral 2510   E!wreu 2512   [.wsbc 3031   iota_crio 5969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-iota 5286  df-riota 5970

This theorem is referenced by:  riota5  5998