Theorem riota5f 5686

Description: A method for computing restricted iota. (Contributed by NM, 16-Apr-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
riota5f.1	|- ( ph -> F/_ x B )
riota5f.2	|- ( ph -> B e. A )
riota5f.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> x = B ) )

Assertion

Ref	Expression
riota5f	|- ( ph -> ( iota_ x e. A ps ) = B )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   B( x)

Proof of Theorem riota5f

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riota5f.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ps <-> x = B ) )
2	1	ralrimiva 2464	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ( ps <-> x = B ) )
3		riota5f.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4		a1tru 1315	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> T. )
5		reu6i 2828	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) -> E! x e. A ps )
6	5	adantl 273	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> E! x e. A ps )
7		nfv 1476	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ph
8		nfv 1476	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x y e. A
9		nfra1 2425	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( ps <-> x = y )
10	8, 9	nfan 1512	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) )
11	7, 10	nfan 1512	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) )
12		nfcvd 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> F/_ x y )
13		nfvd 1477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> F/ x T. )
14		simprl 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> y e. A )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x = y )
16		simplrr 506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> A. x e. A ( ps <-> x = y ) )
17		simplrl 505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> y e. A )
18	15, 17	eqeltrd 2176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> x e. A )
19		rsp 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( x e. A -> ( ps <-> x = y ) ) )
20	16, 18, 19	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( ps <-> x = y ) )
21	15, 20	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ps )
22		a1tru 1315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> T. )
23	21, 22	2thd 174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ x = y ) -> ( ps <-> T. ) )
24	11, 12, 13, 14, 23	riota2df 5682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) /\ E! x e. A ps ) -> ( T. <-> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
25	6, 24	mpdan 415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> ( T. <-> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
26	4, 25	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ A. x e. A ( ps <-> x = y ) ) ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y )
27	26	expr 370	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
28	27	ralrimiva 2464	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. A ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
29		rspsbc 2943	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A. y e. A ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) -> [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) ) )
30	3, 28, 29	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) )
31		nfcvd 2241	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F/_ x y )
32		riota5f.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F/_ x B )
33	31, 32	nfeqd 2255	. . . . . . 7 |- ( ph -> F/ x y = B )
34	7, 33	nfan1 1511	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ y = B )
35		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = B ) -> y = B )
36	35	eqeq2d 2111	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( x = y <-> x = B ) )
37	36	bibi2d 231	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( ps <-> x = y ) <-> ( ps <-> x = B ) ) )
38	34, 37	ralbid 2394	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) <-> A. x e. A ( ps <-> x = B ) ) )
39	35	eqeq2d 2111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( iota_ x e. A ps ) = y <-> ( iota_ x e. A ps ) = B ) )
40	38, 39	imbi12d 233	. . . 4 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) <-> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) ) )
41	3, 40	sbcied 2897	. . 3 |- ( ph -> ( [. B / y ]. ( A. x e. A ( ps <-> x = y ) -> ( iota_ x e. A ps ) = y ) <-> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) ) )
42	30, 41	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. A ( ps <-> x = B ) -> ( iota_ x e. A ps ) = B ) )
43	2, 42	mpd 13	1 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ps ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1299   T. wtru 1300   e. wcel 1448   F/_wnfc 2227   A.wral 2375   E!wreu 2377   [.wsbc 2862   iota_crio 5661

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-iota 5024  df-riota 5662

This theorem is referenced by:  riota5  5687