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Theorem riota5f 5761
Description: A method for computing restricted iota. (Contributed by NM, 16-Apr-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
riota5f.1  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
riota5f.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
riota5f.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
Assertion
Ref Expression
riota5f  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  B
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    B( x)

Proof of Theorem riota5f
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riota5f.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<->  x  =  B ) )
21ralrimiva 2508 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) )
3 riota5f.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 a1tru 1348 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  -> T.  )
5 reu6i 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )  ->  E! x  e.  A  ps )
65adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  E! x  e.  A  ps )
7 nfv 1509 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ph
8 nfv 1509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  y  e.  A
9 nfra1 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)
108, 9nfan 1545 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
117, 10nfan 1545 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )
12 nfcvd 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/_ x y )
13 nfvd 1510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  F/ x T.  )
14 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  y  e.  A )
15 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  =  y )
16 simplrr 526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) )
17 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  y  e.  A )
1815, 17eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  x  e.  A )
19 rsp 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  ( ps 
<->  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ps  <->  x  =  y ) ) )
2016, 18, 19sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <->  x  =  y ) )
2115, 20mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ps )
22 a1tru 1348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  -> T.  )
2321, 222thd 174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  x  =  y )  ->  ( ps  <-> T.  )
)
2411, 12, 13, 14, 23riota2df 5757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
) ) )  /\  E! x  e.  A  ps )  ->  ( T.  <-> 
( iota_ x  e.  A  ps )  =  y
) )
256, 24mpdan 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( T.  <->  (
iota_ x  e.  A  ps )  =  y
) )
264, 25mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y )
2726expr 373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y ) )
2827ralrimiva 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y ) )
29 rspsbc 2994 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y )
) )
303, 28, 29sylc 62 . . 3  |-  ( ph  ->  [. B  /  y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y )
)
31 nfcvd 2283 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x y )
32 riota5f.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ x B )
3331, 32nfeqd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F/ x  y  =  B )
347, 33nfan1 1544 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  y  =  B )
35 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
3635eqeq2d 2152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
x  =  y  <->  x  =  B ) )
3736bibi2d 231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( ps  <->  x  =  y )  <->  ( ps  <->  x  =  B ) ) )
3834, 37ralbid 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y
)  <->  A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
) ) )
3935eqeq2d 2152 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( iota_ x  e.  A  ps )  =  y  <->  (
iota_ x  e.  A  ps )  =  B
) )
4038, 39imbi12d 233 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  (
( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  y )  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B
)  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  B ) ) )
413, 40sbcied 2948 . . 3  |-  ( ph  ->  ( [. B  / 
y ]. ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  y )  -> 
( iota_ x  e.  A  ps )  =  y
)  <->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  -> 
( iota_ x  e.  A  ps )  =  B
) ) )
4230, 41mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( ps  <->  x  =  B )  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  B )
)
432, 42mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ps )  =  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332   T. wtru 1333    e. wcel 1481   F/_wnfc 2269   A.wral 2417   E!wreu 2419   [.wsbc 2912   iota_crio 5736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-iota 5095  df-riota 5737
This theorem is referenced by:  riota5  5762
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