Theorem sscls 14534

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
sscls	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem sscls

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 3902	. 2 |- S C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x }
2		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
3	2	clsval 14525	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
4	1, 3	sseqtrrid 3243	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   {crab 2487   C_ wss 3165   U.cuni 3849   |^|cint 3884   ` cfv 5270   Topctop 14411   Clsdccld 14506   clsccl 14508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-top 14412  df-cld 14509  df-cls 14511

This theorem is referenced by:  ntrcls0  14545