Theorem toponss 14613

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3892	. . 3 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ U. J )
3		toponuni 14602	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> X = U. J )
5	2, 4	sseqtrrd 3240	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   C_ wss 3174   U.cuni 3864   ` cfv 5290  TopOnctopon 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-topon 14598

This theorem is referenced by:  iscnp3  14790  cnntr  14812  cncnp  14817  tx1cn  14856  tx2cn  14857  txcnp  14858  mopnss  15037  xmettx  15097  dvmptfsum  15312