Theorem toponss 12232

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3772	. . 3 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ U. J )
3		toponuni 12221	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> X = U. J )
5	2, 4	sseqtrrd 3141	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   U.cuni 3744   ` cfv 5131  TopOnctopon 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-topon 12217

This theorem is referenced by:  iscnp3  12411  cnntr  12433  cncnp  12438  tx1cn  12477  tx2cn  12478  txcnp  12479  mopnss  12658  xmettx  12718