Theorem toponss 12818

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3824	. . 3 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ U. J )
3		toponuni 12807	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> X = U. J )
5	2, 4	sseqtrrd 3186	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   U.cuni 3796   ` cfv 5198  TopOnctopon 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topon 12803

This theorem is referenced by:  iscnp3  12997  cnntr  13019  cncnp  13024  tx1cn  13063  tx2cn  13064  txcnp  13065  mopnss  13244  xmettx  13304