Theorem toponss 12664

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3817	. . 3 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ U. J )
3		toponuni 12653	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> X = U. J )
5	2, 4	sseqtrrd 3181	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188  TopOnctopon 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topon 12649

This theorem is referenced by:  iscnp3  12843  cnntr  12865  cncnp  12870  tx1cn  12909  tx2cn  12910  txcnp  12911  mopnss  13090  xmettx  13150