Theorem toponss 14262

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 3867	. . 3 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ U. J )
3		toponuni 14251	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> X = U. J )
5	2, 4	sseqtrrd 3222	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. J ) -> A C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   U.cuni 3839   ` cfv 5258  TopOnctopon 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-topon 14247

This theorem is referenced by:  iscnp3  14439  cnntr  14461  cncnp  14466  tx1cn  14505  tx2cn  14506  txcnp  14507  mopnss  14686  xmettx  14746  dvmptfsum  14961