Theorem topopn 12656

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topopn	|- ( J e. Top -> X e. J )

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 |- X = U. J
2		ssid 3162	. . 3 |- J C_ J
3		uniopn 12649	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ J C_ J ) -> U. J e. J )
4	2, 3	mpan2 422	. 2 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	1, 4	eqeltrid 2253	1 |- ( J e. Top -> X e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   U.cuni 3789   Topctop 12645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-uni 3790  df-top 12646

This theorem is referenced by:  toponmax  12673  cldval  12749  ntrfval  12750  clsfval  12751  iscld  12753  ntrval  12760  clsval  12761  0cld  12762  ntrtop  12778  neifval  12790  neif  12791  neival  12793  isnei  12794  tpnei  12810  cnrest  12885  txcn  12925