Theorem topopn 14999

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
topopn	|- ( J e. Top -> X e. J )

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 |- X = U. J
2		ssid 3262	. . 3 |- J C_ J
3		uniopn 14992	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ J C_ J ) -> U. J e. J )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
5	1, 4	eqeltrid 2321	1 |- ( J e. Top -> X e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   U.cuni 3919   Topctop 14988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-uni 3920  df-top 14989

This theorem is referenced by:  toponmax  15016  cldval  15090  ntrfval  15091  clsfval  15092  iscld  15094  ntrval  15101  clsval  15102  0cld  15103  ntrtop  15119  neifval  15131  neif  15132  neival  15134  isnei  15135  tpnei  15151  cnrest  15226  txcn  15266  dvply1  15756