ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpnei GIF version

Theorem tpnei 12359
Description: The underlying set of a topology is a neighborhood of any of its subsets. Special case of opnneiss 12357. (Contributed by FL, 2-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
tpnei.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
tpnei (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem tpnei
StepHypRef Expression
1 tpnei.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21topopn 12205 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3 opnneiss 12357 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝐽𝑆𝑋) → 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
433exp 1181 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑋𝐽 → (𝑆𝑋𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
52, 4mpd 13 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6 ssnei 12350 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑋)
76ex 114 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑋))
85, 7impbid 128 1 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋𝑋 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wss 3072   cuni 3740  cfv 5127  Topctop 12194  neicnei 12337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-top 12195  df-nei 12338
This theorem is referenced by:  neiuni  12360
  Copyright terms: Public domain W3C validator