Theorem trin2 4995

Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
trin2	|- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) )

Proof of Theorem trin2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotr 4985	. . . 4 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
2		cotr 4985	. . . . . 6 |- ( ( S o. S ) C_ S <-> A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) )
3		brin 4034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x ( R i^i S ) y <-> ( x R y /\ x S y ) )
4		brin 4034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ( R i^i S ) z <-> ( y R z /\ y S z ) )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
6		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) )
7	5, 6	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ ( x S y /\ y S z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
8	7	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ ( x S y /\ y S z ) ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
9	8	an4s 578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x R y /\ x S y ) /\ ( y R z /\ y S z ) ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
10	3, 4, 9	syl2anb 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
11	10	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
12		brin 4034	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( R i^i S ) z <-> ( x R z /\ x S z ) )
13	11, 12	syl6ibr 161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
14	13	alanimi 1447	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
15	14	alanimi 1447	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
16	15	alanimi 1447	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
17	16	ex 114	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
18	2, 17	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( S o. S ) C_ S -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
19	18	com12 30	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> ( ( S o. S ) C_ S -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
20	1, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( ( R o. R ) C_ R -> ( ( S o. S ) C_ S -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
21	20	imp 123	. 2 |- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
22		cotr 4985	. 2 |- ( ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) <-> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
23	21, 22	sylibr 133	1 |- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1341   i^i cin 3115   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   o. ccom 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-co 4613

This theorem is referenced by:  trinxp  4997