ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trin2 Unicode version

Theorem trin2 4790
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )

Proof of Theorem trin2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 4780 . . . 4  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
2 cotr 4780 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  <->  A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z ) )
3 brin 3867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x ( R  i^i  S
) y  <->  ( x R y  /\  x S y ) )
4 brin 3867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  i^i  S
) z  <->  ( y R z  /\  y S z ) )
5 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
6 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z ) )
75, 6anim12d 328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  (
x R z  /\  x S z ) ) )
87com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
98an4s 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x R y  /\  x S y )  /\  ( y R z  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
103, 4, 9syl2anb 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( x R z  /\  x S z ) ) )
1110com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
12 brin 3867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( R  i^i  S
) z  <->  ( x R z  /\  x S z ) )
1311, 12syl6ibr 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1413alanimi 1391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1514alanimi 1391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  ->  A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y ( R  i^i  S ) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1615alanimi 1391 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1716ex 113 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  -> 
( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
182, 17sylbi 119 . . . . 5  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
1918com12 30 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  -> 
( ( S  o.  S )  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
201, 19sylbi 119 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( S  o.  S
)  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
2120imp 122 . 2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
22 cotr 4780 . 2  |-  ( ( ( R  i^i  S
)  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S )  <->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
2321, 22sylibr 132 1  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1285    i^i cin 2987    C_ wss 2988   class class class wbr 3820    o. ccom 4415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-rel 4418  df-co 4420
This theorem is referenced by:  trinxp  4792
  Copyright terms: Public domain W3C validator