Theorem trin2 5002

Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
trin2	|- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) )

Proof of Theorem trin2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cotr 4992	. . . 4 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
2		cotr 4992	. . . . . 6 |- ( ( S o. S ) C_ S <-> A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) )
3		brin 4041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x ( R i^i S ) y <-> ( x R y /\ x S y ) )
4		brin 4041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ( R i^i S ) z <-> ( y R z /\ y S z ) )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
6		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) )
7	5, 6	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ ( x S y /\ y S z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
8	7	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ ( x S y /\ y S z ) ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
9	8	an4s 583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x R y /\ x S y ) /\ ( y R z /\ y S z ) ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
10	3, 4, 9	syl2anb 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
11	10	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> ( x R z /\ x S z ) ) )
12		brin 4041	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( R i^i S ) z <-> ( x R z /\ x S z ) )
13	11, 12	syl6ibr 161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
14	13	alanimi 1452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
15	14	alanimi 1452	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
16	15	alanimi 1452	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) /\ A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
17	16	ex 114	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
18	2, 17	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( S o. S ) C_ S -> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
19	18	com12 30	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) -> ( ( S o. S ) C_ S -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
20	1, 19	sylbi 120	. . 3 |- ( ( R o. R ) C_ R -> ( ( S o. S ) C_ S -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) ) )
21	20	imp 123	. 2 |- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
22		cotr 4992	. 2 |- ( ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) <-> A. x A. y A. z ( ( x ( R i^i S ) y /\ y ( R i^i S ) z ) -> x ( R i^i S ) z ) )
23	21, 22	sylibr 133	1 |- ( ( ( R o. R ) C_ R /\ ( S o. S ) C_ S ) -> ( ( R i^i S ) o. ( R i^i S ) ) C_ ( R i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   i^i cin 3120   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   o. ccom 4615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-co 4620

This theorem is referenced by:  trinxp  5004