ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cotr Unicode version

Theorem cotr 4800
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4437 . . . 4  |-  ( R  o.  R )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x R y  /\  y R z ) }
21relopabi 4551 . . 3  |-  Rel  ( R  o.  R )
3 ssrel 4514 . . 3  |-  ( Rel  ( R  o.  R
)  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  <->  A. x A. z
( <. x ,  z
>.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
42, 3ax-mp 7 . 2  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
5 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
75, 6opelco 4596 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  <->  E. y ( x R y  /\  y R z ) )
8 df-br 3838 . . . . . . . 8  |-  ( x R z  <->  <. x ,  z >.  e.  R
)
98bicomi 130 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  R  <->  x R z )
107, 9imbi12i 237 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  ( E. y
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
11 19.23v 1811 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( E. y ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1210, 11bitr4i 185 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1312albii 1404 . . . 4  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
14 alcom 1412 . . . 4  |-  ( A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1513, 14bitri 182 . . 3  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1615albii 1404 . 2  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
174, 16bitri 182 1  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   E.wex 1426    e. wcel 1438    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837    o. ccom 4432   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-co 4437
This theorem is referenced by:  xpidtr  4809  trin2  4810  dfer2  6273
  Copyright terms: Public domain W3C validator