Theorem cotr 4928

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	|- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4556	. . . 4 |- ( R o. R ) = { <. x , z >. | E. y ( x R y /\ y R z ) }
2	1	relopabi 4673	. . 3 |- Rel ( R o. R )
3		ssrel 4635	. . 3 |- ( Rel ( R o. R ) -> ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
5		vex 2692	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2692	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	5, 6	opelco 4719	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( R o. R ) <-> E. y ( x R y /\ y R z ) )
8		df-br 3938	. . . . . . . 8 |- ( x R z <-> <. x , z >. e. R )
9	8	bicomi 131	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. R <-> x R z )
10	7, 9	imbi12i 238	. . . . . 6 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
11		19.23v 1856	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
12	10, 11	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	12	albii 1447	. . . 4 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
14		alcom 1455	. . . 4 |- ( A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
15	13, 14	bitri 183	. . 3 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
16	15	albii 1447	. 2 |- ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
17	4, 16	bitri 183	1 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   E.wex 1469   e. wcel 1481   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   o. ccom 4551   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-co 4556

This theorem is referenced by:  xpidtr  4937  trin2  4938  dfer2  6438