ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cotr Unicode version

Theorem cotr 4966
Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
cotr  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R

Proof of Theorem cotr
StepHypRef Expression
1 df-co 4594 . . . 4  |-  ( R  o.  R )  =  { <. x ,  z
>.  |  E. y
( x R y  /\  y R z ) }
21relopabi 4711 . . 3  |-  Rel  ( R  o.  R )
3 ssrel 4673 . . 3  |-  ( Rel  ( R  o.  R
)  ->  ( ( R  o.  R )  C_  R  <->  A. x A. z
( <. x ,  z
>.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
5 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
6 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
75, 6opelco 4757 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  <->  E. y ( x R y  /\  y R z ) )
8 df-br 3966 . . . . . . . 8  |-  ( x R z  <->  <. x ,  z >.  e.  R
)
98bicomi 131 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  R  <->  x R z )
107, 9imbi12i 238 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  ( E. y
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
11 19.23v 1863 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( E. y ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1210, 11bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1312albii 1450 . . . 4  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
14 alcom 1458 . . . 4  |-  ( A. z A. y ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1513, 14bitri 183 . . 3  |-  ( A. z ( <. x ,  z >.  e.  ( R  o.  R )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R )  <->  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1615albii 1450 . 2  |-  ( A. x A. z ( <.
x ,  z >.  e.  ( R  o.  R
)  ->  <. x ,  z >.  e.  R
)  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
174, 16bitri 183 1  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1333   E.wex 1472    e. wcel 2128    C_ wss 3102   <.cop 3563   class class class wbr 3965    o. ccom 4589   Rel wrel 4590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-rel 4592  df-co 4594
This theorem is referenced by:  xpidtr  4975  trin2  4976  dfer2  6478
  Copyright terms: Public domain W3C validator