Theorem cotr 5009

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	|- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4634	. . . 4 |- ( R o. R ) = { <. x , z >. | E. y ( x R y /\ y R z ) }
2	1	relopabi 4751	. . 3 |- Rel ( R o. R )
3		ssrel 4713	. . 3 |- ( Rel ( R o. R ) -> ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
5		vex 2740	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2740	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	5, 6	opelco 4798	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( R o. R ) <-> E. y ( x R y /\ y R z ) )
8		df-br 4003	. . . . . . . 8 |- ( x R z <-> <. x , z >. e. R )
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. R <-> x R z )
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
11		19.23v 1883	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	12	albii 1470	. . . 4 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
14		alcom 1478	. . . 4 |- ( A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
15	13, 14	bitri 184	. . 3 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
16	15	albii 1470	. 2 |- ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
17	4, 16	bitri 184	1 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   E.wex 1492   e. wcel 2148   C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4002   o. ccom 4629   Rel wrel 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-rel 4632  df-co 4634

This theorem is referenced by:  xpidtr  5018  trin2  5019  dfer2  6533