Theorem cotr 5083

Description: Two ways of saying a relation is transitive. Definition of transitivity in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
cotr	|- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Distinct variable group:   x, y, z, R

Proof of Theorem cotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 4702	. . . 4 |- ( R o. R ) = { <. x , z >. | E. y ( x R y /\ y R z ) }
2	1	relopabi 4821	. . 3 |- Rel ( R o. R )
3		ssrel 4781	. . 3 |- ( Rel ( R o. R ) -> ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) )
5		vex 2779	. . . . . . . 8 |- x e. _V
6		vex 2779	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	5, 6	opelco 4868	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( R o. R ) <-> E. y ( x R y /\ y R z ) )
8		df-br 4060	. . . . . . . 8 |- ( x R z <-> <. x , z >. e. R )
9	8	bicomi 132	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. R <-> x R z )
10	7, 9	imbi12i 239	. . . . . 6 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
11		19.23v 1907	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( E. y ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
12	10, 11	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	12	albii 1494	. . . 4 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
14		alcom 1502	. . . 4 |- ( A. z A. y ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
15	13, 14	bitri 184	. . 3 |- ( A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
16	15	albii 1494	. 2 |- ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( R o. R ) -> <. x , z >. e. R ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
17	4, 16	bitri 184	1 |- ( ( R o. R ) C_ R <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1516   e. wcel 2178   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   o. ccom 4697   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-co 4702

This theorem is referenced by:  xpidtr  5092  trin2  5093  dfer2  6644