Theorem ntropn 14785

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntropn	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntrval 14778	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss1 3424	. . . 4 |- ( J i^i ~P S ) C_ J
4		uniopn 14669	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( J i^i ~P S ) C_ J ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( J e. Top -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2306	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3887   ` cfv 5317   Topctop 14665   intcnt 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-top 14666  df-ntr 14764

This theorem is referenced by:  ntrss3  14791  ntrin  14792  isopn3  14793  ntridm  14794  neiint  14813  topssnei  14830  iscnp4  14886  cnntri  14892  cnptoprest  14907  dvfvalap  15349  dvfgg  15356