Theorem ntropn 14704

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntropn	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntrval 14697	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss1 3401	. . . 4 |- ( J i^i ~P S ) C_ J
4		uniopn 14588	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( J i^i ~P S ) C_ J ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( J e. Top -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2284	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   U.cuni 3864   ` cfv 5290   Topctop 14584   intcnt 14680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-top 14585  df-ntr 14683

This theorem is referenced by:  ntrss3  14710  ntrin  14711  isopn3  14712  ntridm  14713  neiint  14732  topssnei  14749  iscnp4  14805  cnntri  14811  cnptoprest  14826  dvfvalap  15268  dvfgg  15275