Theorem ntropn 12286

Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntropn	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Proof of Theorem ntropn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntrval 12279	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
3		inss1 3296	. . . 4 |- ( J i^i ~P S ) C_ J
4		uniopn 12168	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( J i^i ~P S ) C_ J ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
5	3, 4	mpan2 421	. . 3 |- ( J e. Top -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> U. ( J i^i ~P S ) e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2216	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12164   intcnt 12262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-ntr 12265

This theorem is referenced by:  ntrss3  12292  ntrin  12293  isopn3  12294  ntridm  12295  neiint  12314  topssnei  12331  iscnp4  12387  cnntri  12393  cnptoprest  12408  dvfvalap  12819  dvfgg  12826