ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strsl0 GIF version

Theorem strsl0 12238
Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
strsl0.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
strsl0 ∅ = (𝐸‘∅)

Proof of Theorem strsl0
StepHypRef Expression
1 0ex 4091 . . 3 ∅ ∈ V
2 strsl0.e . . . 4 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
32simpli 110 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
42simpri 112 . . 3 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
51, 3, 4strnfvn 12211 . 2 (𝐸‘∅) = (∅‘(𝐸‘ndx))
6 0fv 5503 . 2 (∅‘(𝐸‘ndx)) = ∅
75, 6eqtr2i 2179 1 ∅ = (𝐸‘∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  c0 3394  cfv 5170  cn 8833  ndxcnx 12187  Slot cslot 12189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-slot 12194
This theorem is referenced by:  base0  12239
  Copyright terms: Public domain W3C validator