Theorem strsl0 13067

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strsl0	⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4210	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		strsl0.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	1, 3, 4	strnfvn 13039	. 2 ⊢ (𝐸‘∅) = (∅‘(𝐸‘ndx))
6		0fv 5659	. 2 ⊢ (∅‘(𝐸‘ndx)) = ∅
7	5, 6	eqtr2i 2251	1 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  ‘cfv 5314  ℕcn 9098  ndxcnx 13015  Slot cslot 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-slot 13022

This theorem is referenced by:  base0  13068  iedgval0  15840