Theorem strsl0 12464

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strsl0	⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		strsl0.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	simpri 112	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	1, 3, 4	strnfvn 12437	. 2 ⊢ (𝐸‘∅) = (∅‘(𝐸‘ndx))
6		0fv 5531	. 2 ⊢ (∅‘(𝐸‘ndx)) = ∅
7	5, 6	eqtr2i 2192	1 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∅c0 3414  ‘cfv 5198  ℕcn 8878  ndxcnx 12413  Slot cslot 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-slot 12420

This theorem is referenced by:  base0  12465