Theorem strsl0 12667

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strsl0	⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4156	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		strsl0.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	simpri 113	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	1, 3, 4	strnfvn 12639	. 2 ⊢ (𝐸‘∅) = (∅‘(𝐸‘ndx))
6		0fv 5590	. 2 ⊢ (∅‘(𝐸‘ndx)) = ∅
7	5, 6	eqtr2i 2215	1 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446  ‘cfv 5254  ℕcn 8982  ndxcnx 12615  Slot cslot 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-slot 12622

This theorem is referenced by:  base0  12668