Theorem map0e 6841

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 6816	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
4		f0bi 5520	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐴 ↔ 𝑓 = ∅)
5		el1o 6591	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 1o ↔ 𝑓 = ∅)
6	4, 5	bitr4i 187	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐴 ↔ 𝑓 ∈ 1o)
7	3, 6	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ 1o))
8	7	eqrdv 2227	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491  ⟶wf 5314  (class class class)co 6007  1_oc1o 6561   ↑_𝑚 cmap 6803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1o 6568  df-map 6805

This theorem is referenced by: (None)