Theorem map0e 6573

Description: Set exponentiation with an empty exponent (ordinal number 0) is ordinal number 1. Exercise 4.42(a) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0e	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = 1o)

Proof of Theorem map0e

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4050	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 6548	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐴))
4		f0bi 5310	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐴 ↔ 𝑓 = ∅)
5		el1o 6327	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 1o ↔ 𝑓 = ∅)
6	4, 5	bitr4i 186	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐴 ↔ 𝑓 ∈ 1o)
7	3, 6	syl6bb 195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ↔ 𝑓 ∈ 1o))
8	7	eqrdv 2135	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  ∅c0 3358  ⟶wf 5114  (class class class)co 5767  1_oc1o 6299   ↑_𝑚 cmap 6535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1o 6306  df-map 6537

This theorem is referenced by: (None)