ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  map1 GIF version

Theorem map1 6481
Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
map1 (𝐴𝑉 → (1𝑜𝑚 𝐴) ≈ 1𝑜)

Proof of Theorem map1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6364 . . 3 𝑚 Fn (V × V)
2 1oex 6143 . . 3 1𝑜 ∈ V
3 elex 2624 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
4 fnovex 5639 . . 3 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 1𝑜 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (1𝑜𝑚 𝐴) ∈ V)
51, 2, 3, 4mp3an12i 1275 . 2 (𝐴𝑉 → (1𝑜𝑚 𝐴) ∈ V)
62a1i 9 . 2 (𝐴𝑉 → 1𝑜 ∈ V)
7 0ex 3941 . . 3 ∅ ∈ V
872a1i 27 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴) → ∅ ∈ V))
9 p0ex 3997 . . . 4 {∅} ∈ V
10 xpexg 4520 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ {∅} ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ∈ V)
119, 10mpan2 416 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ∈ V)
1211a1d 22 . 2 (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ 1𝑜 → (𝐴 × {∅}) ∈ V))
13 el1o 6155 . . . . 5 (𝑦 ∈ 1𝑜𝑦 = ∅)
1413a1i 9 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ 1𝑜𝑦 = ∅))
15 df1o2 6148 . . . . . . . 8 1𝑜 = {∅}
1615oveq1i 5623 . . . . . . 7 (1𝑜𝑚 𝐴) = ({∅} ↑𝑚 𝐴)
1716eleq2i 2151 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴))
18 elmapg 6370 . . . . . . 7 (({∅} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
199, 18mpan 415 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
2017, 19syl5bb 190 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
217fconst2 5475 . . . . 5 (𝑥:𝐴⟶{∅} ↔ 𝑥 = (𝐴 × {∅}))
2220, 21syl6rbb 195 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 = (𝐴 × {∅}) ↔ 𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴)))
2314, 22anbi12d 457 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑦 ∈ 1𝑜𝑥 = (𝐴 × {∅})) ↔ (𝑦 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴))))
24 ancom 262 . . 3 ((𝑦 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑦 = ∅))
2523, 24syl6rbb 195 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ (1𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝑦 = ∅) ↔ (𝑦 ∈ 1𝑜𝑥 = (𝐴 × {∅}))))
265, 6, 8, 12, 25en2d 6437 1 (𝐴𝑉 → (1𝑜𝑚 𝐴) ≈ 1𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2615  c0 3275  {csn 3431   class class class wbr 3820   × cxp 4409   Fn wfn 4976  wf 4977  (class class class)co 5613  1𝑜c1o 6128  𝑚 cmap 6357  cen 6407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-1o 6135  df-map 6359  df-en 6410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator