Theorem map1 6868

Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
map1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 1o)

Proof of Theorem map1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6711	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		1oex 6479	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
3		elex 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4		fnovex 5952	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
5	1, 2, 3, 4	mp3an12i 1352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ∈ V)
7		0ex 4157	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	2a1i 27	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴) → ∅ ∈ V))
9		p0ex 4218	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
10		xpexg 4774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {∅} ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ∈ V)
11	9, 10	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ∈ V)
12	11	a1d 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 1o → (𝐴 × {∅}) ∈ V))
13		el1o 6492	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 1o ↔ 𝑦 = ∅))
15		df1o2 6484	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
16	15	oveq1i 5929	. . . . . . 7 ⊢ (1o ↑𝑚 𝐴) = ({∅} ↑𝑚 𝐴)
17	16	eleq2i 2260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴))
18		elmapg 6717	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
19	9, 18	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
20	17, 19	bitrid 192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴⟶{∅}))
21	7	fconst2 5776	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴⟶{∅} ↔ 𝑥 = (𝐴 × {∅}))
22	20, 21	bitr2di 197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 = (𝐴 × {∅}) ↔ 𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴)))
23	14, 22	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ∈ 1o ∧ 𝑥 = (𝐴 × {∅})) ↔ (𝑦 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴))))
24		ancom 266	. . 3 ⊢ ((𝑦 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑦 = ∅))
25	23, 24	bitr2di 197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (1o ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝑦 = ∅) ↔ (𝑦 ∈ 1o ∧ 𝑥 = (𝐴 × {∅}))))
26	5, 6, 8, 12, 25	en2d 6824	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3447  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  (class class class)co 5919  1_oc1o 6464   ↑_𝑚 cmap 6704   ≈ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-map 6706  df-en 6797

This theorem is referenced by: (None)