ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1tonninf GIF version

Theorem 1tonninf 9766
Description: The mapping of one into is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
Assertion
Ref Expression
1tonninf (𝐼‘1) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1𝑜, ∅))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 1tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
21fveq1i 5262 . . . 4 (𝐼‘1) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘1)
3 1nn0 8614 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4 nn0xnn0 8665 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0*)
53, 4ax-mp 7 . . . . 5 1 ∈ ℕ0*
6 nn0nepnf 8669 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
73, 6ax-mp 7 . . . . . 6 1 ≠ +∞
87necomi 2336 . . . . 5 +∞ ≠ 1
9 fvunsng 5447 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 1) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘1) = ((𝐹𝐺)‘1))
105, 8, 9mp2an 417 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘1) = ((𝐹𝐺)‘1)
11 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
1211frechashgf1o 9755 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
13 f1ocnv 5222 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . 6 𝐺:ℕ01-1-onto→ω
15 f1of 5209 . . . . . 6 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
1614, 15ax-mp 7 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ω
17 fvco3 5331 . . . . 5 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
1816, 3, 17mp2an 417 . . . 4 ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1))
192, 10, 183eqtri 2109 . . 3 (𝐼‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1))
20 df-1o 6128 . . . . . . 7 1𝑜 = suc ∅
2120fveq2i 5264 . . . . . 6 (𝐺‘1𝑜) = (𝐺‘suc ∅)
22 0zd 8687 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
23 peano1 4380 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
2423a1i 9 . . . . . . . . 9 (⊤ → ∅ ∈ ω)
2522, 11, 24frec2uzsucd 9728 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
2625trud 1296 . . . . . . 7 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
2722, 11frec2uz0d 9726 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2827trud 1296 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 0
2928oveq1i 5616 . . . . . . 7 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
3026, 29eqtri 2105 . . . . . 6 (𝐺‘suc ∅) = (0 + 1)
31 0p1e1 8463 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3221, 30, 313eqtri 2109 . . . . 5 (𝐺‘1𝑜) = 1
33 1onn 6224 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
34 f1ocnvfv 5512 . . . . . 6 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1𝑜 ∈ ω) → ((𝐺‘1𝑜) = 1 → (𝐺‘1) = 1𝑜))
3512, 33, 34mp2an 417 . . . . 5 ((𝐺‘1𝑜) = 1 → (𝐺‘1) = 1𝑜)
3632, 35ax-mp 7 . . . 4 (𝐺‘1) = 1𝑜
3736fveq2i 5264 . . 3 (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1𝑜)
38 eleq2 2148 . . . . . . 7 (𝑛 = 1𝑜 → (𝑖𝑛𝑖 ∈ 1𝑜))
3938ifbid 3398 . . . . . 6 (𝑛 = 1𝑜 → if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅))
4039mpteq2dv 3903 . . . . 5 (𝑛 = 1𝑜 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
41 fxnn0nninf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
42 omex 4379 . . . . . 6 ω ∈ V
4342mptex 5477 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt3i 5340 . . . 4 (1𝑜 ∈ ω → (𝐹‘1𝑜) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅)))
4533, 44ax-mp 7 . . 3 (𝐹‘1𝑜) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅))
4619, 37, 453eqtri 2109 . 2 (𝐼‘1) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅))
47 el1o 6148 . . . 4 (𝑖 ∈ 1𝑜𝑖 = ∅)
48 ifbi 3397 . . . 4 ((𝑖 ∈ 1𝑜𝑖 = ∅) → if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 = ∅, 1𝑜, ∅))
4947, 48ax-mp 7 . . 3 if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 = ∅, 1𝑜, ∅)
5049mpteq2i 3899 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1𝑜, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1𝑜, ∅))
51 eqeq1 2091 . . . 4 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝑥 = ∅))
5251ifbid 3398 . . 3 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = ∅, 1𝑜, ∅) = if(𝑥 = ∅, 1𝑜, ∅))
5352cbvmptv 3907 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1𝑜, ∅)) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1𝑜, ∅))
5446, 50, 533eqtri 2109 1 (𝐼‘1) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1𝑜, ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1287  wtru 1288  wcel 1436  wne 2251  cun 2986  c0 3275  ifcif 3379  {csn 3430  cop 3433  cmpt 3873  suc csuc 4164  ωcom 4376   × cxp 4407  ccnv 4408  ccom 4413  wf 4973  1-1-ontowf1o 4976  cfv 4977  (class class class)co 5606  freccfrec 6102  1𝑜c1o 6121  0cc0 7286  1c1 7287   + caddc 7289  +∞cpnf 7455  0cn0 8598  0*cxnn0 8661  cz 8675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-addcom 7381  ax-addass 7383  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-ltadd 7397
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-recs 6017  df-frec 6103  df-1o 6128  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-inn 8350  df-n0 8599  df-xnn0 8662  df-z 8676  df-uz 8944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator