Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1tonninf GIF version

Theorem 1tonninf 10245
 Description: The mapping of one into ℕ∞ is a sequence which is a one followed by zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
1tonninf (𝐼‘1) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1o, ∅))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 1tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
21fveq1i 5430 . . . 4 (𝐼‘1) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘1)
3 1nn0 9018 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
4 nn0xnn0 9069 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0*)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ ℕ0*
6 nn0nepnf 9073 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
73, 6ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≠ +∞
87necomi 2394 . . . . 5 +∞ ≠ 1
9 fvunsng 5622 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 1) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘1) = ((𝐹𝐺)‘1))
105, 8, 9mp2an 423 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘1) = ((𝐹𝐺)‘1)
11 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
1211frechashgf1o 10233 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
13 f1ocnv 5388 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺:ℕ01-1-onto→ω
15 f1of 5375 . . . . . 6 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ω
17 fvco3 5500 . . . . 5 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
1816, 3, 17mp2an 423 . . . 4 ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1))
192, 10, 183eqtri 2165 . . 3 (𝐼‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1))
20 df-1o 6321 . . . . . . 7 1o = suc ∅
2120fveq2i 5432 . . . . . 6 (𝐺‘1o) = (𝐺‘suc ∅)
22 0zd 9091 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
23 peano1 4516 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
2423a1i 9 . . . . . . . . 9 (⊤ → ∅ ∈ ω)
2522, 11, 24frec2uzsucd 10206 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1))
2625mptru 1341 . . . . . . 7 (𝐺‘suc ∅) = ((𝐺‘∅) + 1)
2722, 11frec2uz0d 10204 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2827mptru 1341 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 0
2928oveq1i 5792 . . . . . . 7 ((𝐺‘∅) + 1) = (0 + 1)
3026, 29eqtri 2161 . . . . . 6 (𝐺‘suc ∅) = (0 + 1)
31 0p1e1 8859 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3221, 30, 313eqtri 2165 . . . . 5 (𝐺‘1o) = 1
33 1onn 6424 . . . . . 6 1o ∈ ω
34 f1ocnvfv 5688 . . . . . 6 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 1o ∈ ω) → ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o))
3512, 33, 34mp2an 423 . . . . 5 ((𝐺‘1o) = 1 → (𝐺‘1) = 1o)
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (𝐺‘1) = 1o
3736fveq2i 5432 . . 3 (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1o)
38 eleq2 2204 . . . . . . 7 (𝑛 = 1o → (𝑖𝑛𝑖 ∈ 1o))
3938ifbid 3498 . . . . . 6 (𝑛 = 1o → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅))
4039mpteq2dv 4027 . . . . 5 (𝑛 = 1o → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅)))
41 fxnn0nninf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
42 omex 4515 . . . . . 6 ω ∈ V
4342mptex 5654 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt3i 5509 . . . 4 (1o ∈ ω → (𝐹‘1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅)))
4533, 44ax-mp 5 . . 3 (𝐹‘1o) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅))
4619, 37, 453eqtri 2165 . 2 (𝐼‘1) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅))
47 el1o 6342 . . . 4 (𝑖 ∈ 1o𝑖 = ∅)
48 ifbi 3497 . . . 4 ((𝑖 ∈ 1o𝑖 = ∅) → if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅) = if(𝑖 = ∅, 1o, ∅))
4947, 48ax-mp 5 . . 3 if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅) = if(𝑖 = ∅, 1o, ∅)
5049mpteq2i 4023 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 1o, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, ∅))
51 eqeq1 2147 . . . 4 (𝑖 = 𝑥 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝑥 = ∅))
5251ifbid 3498 . . 3 (𝑖 = 𝑥 → if(𝑖 = ∅, 1o, ∅) = if(𝑥 = ∅, 1o, ∅))
5352cbvmptv 4032 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, ∅)) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1o, ∅))
5446, 50, 533eqtri 2165 1 (𝐼‘1) = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = ∅, 1o, ∅))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ∪ cun 3074  ∅c0 3368  ifcif 3479  {csn 3532  ⟨cop 3535   ↦ cmpt 3997  suc csuc 4295  ωcom 4512   × cxp 4545  ◡ccnv 4546   ∘ ccom 4551  ⟶wf 5127  –1-1-onto→wf1o 5130  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295  1oc1o 6314  0cc0 7645  1c1 7646   + caddc 7648  +∞cpnf 7822  ℕ0cn0 9002  ℕ0*cxnn0 9065  ℤcz 9079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-addcom 7745  ax-addass 7747  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-ltadd 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-1o 6321  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-inn 8746  df-n0 9003  df-xnn0 9066  df-z 9080  df-uz 9352 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator