Theorem eldifpr 3587

Description: Membership in a set with two elements removed. Similar to eldifsn 3686 and eldiftp 3605. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldifpr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Proof of Theorem eldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3580	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
2	1	notbid 657	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
3		neanior 2414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷))
4	2, 3	bitr4di 197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
5	4	pm5.32i 450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
6		eldif 3111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}))
7		3anass 967	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   ∖ cdif 3099  {cpr 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-sn 3566  df-pr 3567

This theorem is referenced by:  rexdifpr  3588  rplogbval  13233