Theorem eldifpr 3732

Description: Membership in a set with two elements removed. Similar to eldifsn 3836 and eldiftp 3751. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eldifpr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Proof of Theorem eldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3725	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
2	1	notbid 677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷)))
3		neanior 2507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐶 ∨ 𝐴 = 𝐷))
4	2, 3	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷} ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
5	4	pm5.32i 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
6		eldif 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝐶, 𝐷}))
7		3anass 1013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶, 𝐷}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {cpr 3706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712

This theorem is referenced by:  rexdifpr  3733  rplogbval  15970