Theorem eldif 3229

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem eldif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	5	notbid 677	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	4, 6	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-dif 3222	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222

This theorem is used by:  eldifd  3230  eldifad  3231  eldifbd  3232  difeqri  3349  eldifi  3351  eldifn  3352  difdif  3354  ddifstab  3361  ssconb  3362  sscon  3363  ssdif  3364  raldifb  3369  dfss4st  3464  ssddif  3465  unssdif  3466  inssdif  3467  difin  3468  unssin  3470  inssun  3471  invdif  3473  indif  3474  difundi  3483  difindiss  3485  indifdir  3487  undif3ss  3492  difin2  3493  symdifxor  3497  reldisj  3576  disj3  3577  undif4  3587  ssdif0im  3589  inssdif0imOLD  3593  ssundifim  3611  eldifpr  3736  eldiftp  3755  eldifsn  3841  difprsnss  3853  iundif2ss  4078  iindif2m  4080  brdif  4185  unidif0  4306  eldifpw  4625  elirr  4690  en2lp  4703  difopab  4915  intirr  5177  cnvdif  5197  imadiflem  5463  imadif  5464  suppimacnvfn  6490  suppssdc  6504  suppssrst  6505  suppssrgst  6506  elfi2  7311  xrlenlt  8396  nzadd  9708  irradd  10062  irrmul  10064  fzdifsuc  10505  fisumss  12184  prodssdc  12381  fprodssdc  12382  bitscmp  12750  ballotfilemdifcfi  13283  ballotfilemdifcfz  13285  ballotfilemodife  13298  ballotfilemth  13339  inffinp1  13378  bj-charfunr  17041  wexmiddiffi  17249