Theorem eldif 3220

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem eldif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2825	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2295	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2295	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	5	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-dif 3213	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∖ cdif 3208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213

This theorem is referenced by:  eldifd  3221  eldifad  3222  eldifbd  3223  difeqri  3339  eldifi  3341  eldifn  3342  difdif  3344  ddifstab  3351  ssconb  3352  sscon  3353  ssdif  3354  raldifb  3359  dfss4st  3454  ssddif  3455  unssdif  3456  inssdif  3457  difin  3458  unssin  3460  inssun  3461  invdif  3463  indif  3464  difundi  3473  difindiss  3475  indifdir  3477  undif3ss  3482  difin2  3483  symdifxor  3487  dfnul2  3510  reldisj  3560  disj3  3561  undif4  3571  ssdif0im  3573  inssdif0im  3576  ssundifim  3593  eldifpr  3716  eldiftp  3735  eldifsn  3820  difprsnss  3832  iundif2ss  4057  iindif2m  4059  brdif  4163  unidif0  4280  eldifpw  4598  elirr  4663  en2lp  4676  difopab  4888  intirr  5149  cnvdif  5169  imadiflem  5435  imadif  5436  suppimacnvfn  6446  suppssdc  6460  suppssrst  6461  suppssrgst  6462  elfi2  7259  xrlenlt  8338  nzadd  9630  irradd  9978  irrmul  9979  fzdifsuc  10415  fisumss  12078  prodssdc  12275  fprodssdc  12276  bitscmp  12644  inffinp1  13180  bj-charfunr  16580