Theorem eldif 3174

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem eldif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2267	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2267	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	5	notbid 668	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-dif 3167	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∖ cdif 3162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-dif 3167

This theorem is referenced by:  eldifd  3175  eldifad  3176  eldifbd  3177  difeqri  3292  eldifi  3294  eldifn  3295  difdif  3297  ddifstab  3304  ssconb  3305  sscon  3306  ssdif  3307  raldifb  3312  dfss4st  3405  ssddif  3406  unssdif  3407  inssdif  3408  difin  3409  unssin  3411  inssun  3412  invdif  3414  indif  3415  difundi  3424  difindiss  3426  indifdir  3428  undif3ss  3433  difin2  3434  symdifxor  3438  dfnul2  3461  reldisj  3511  disj3  3512  undif4  3522  ssdif0im  3524  inssdif0im  3527  ssundifim  3543  eldifpr  3659  eldiftp  3678  eldifsn  3759  difprsnss  3770  iundif2ss  3992  iindif2m  3994  brdif  4096  unidif0  4210  eldifpw  4523  elirr  4588  en2lp  4601  difopab  4810  intirr  5068  cnvdif  5088  imadiflem  5352  imadif  5353  elfi2  7073  xrlenlt  8136  nzadd  9424  irradd  9766  irrmul  9767  fzdifsuc  10202  fisumss  11674  prodssdc  11871  fprodssdc  11872  bitscmp  12240  inffinp1  12771  bj-charfunr  15708