Theorem pm5.32i 458

Description: Distribution of implication over biconditional (inference form). (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
pm5.32i.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
pm5.32i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem pm5.32i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.32i.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		pm5.32 457	. 2 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒)))
3	1, 2	mpbi 145	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This proof depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is used by:  pm5.32ri  459  biadan2  460  anbi2i  461  abai  566  anabs5  579  pm5.33  617  annotanannot  680  eq2tri  2298  rexbiia  2565  reubiia  2738  rmobiia  2743  rabbiia  2807  ceqsrexbv  2957  euxfrdc  3012  eldifpr  3736  eldiftp  3755  eldifsn  3841  elrint  4010  elriin  4083  opeqsn  4393  rabxp  4812  eliunxp  4919  restidsing  5119  ressn  5328  fncnv  5447  dff1o5  5648  respreima  5836  dff4im  5854  dffo3  5855  f1ompt  5859  fsn  5880  fconst3m  5934  fconst4m  5935  eufnfv  5949  dff13  5974  f1mpt  5977  isores2  6019  isoini  6024  eloprabga  6175  mpomptx  6179  resoprab  6184  ov6g  6227  dfopab2  6423  dfoprab3s  6424  dfoprab3  6425  f1od2  6471  brtpos2  6522  dftpos3  6533  tpostpos  6535  dfsmo2  6558  elixp2  6984  mapsnen  7100  xpcomco  7124  eqinfti  7361  dfplpq2  7722  dfmpq2  7723  enq0enq  7799  nqnq0a  7822  nqnq0m  7823  genpassl  7892  genpassu  7893  axsuploc  8399  recexre  8909  recexgt0  8911  reapmul1  8926  apsqgt0  8932  apreim  8934  recexaplem2  8983  rerecclap  9063  elznn0  9664  elznn  9665  msqznn  9751  eluz2b1  10011  eluz2b3  10014  qreccl  10052  rpnegap  10098  elfz2nn0  10530  elfzo3  10582  frecuzrdgtcl  10863  frecuzrdgfunlem  10870  qexpclz  11011  shftidt2  11612  clim0  12069  iser3shft  12130  summodclem3  12165  fprod2dlemstep  12407  eftlub  12475  ndvdsadd  12716  algfx  12848  isprm3  12914  isprm5  12939  ballotfilemodife  13291  xpsfrnel  13716  isabl2  14148  dvdsrcl2  14457  unitinvcl  14481  unitinvinv  14482  unitlinv  14484  unitrinv  14485  isrim  14527  isnzr2  14542  drngprop  14668  islmod  14678  isridl  14892  cnfldui  14975  isassa  15053  ssntr  15275  tx1cn  15422  tx2cn  15423  pilem1  15933  lgsdir2lem4  16272  alsralrex  17275  dfalseu2  17299