Theorem pm5.32i 458

Description: Distribution of implication over biconditional (inference form). (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
pm5.32i.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
pm5.32i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem pm5.32i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.32i.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		pm5.32 457	. 2 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒)))
3	1, 2	mpbi 145	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This proof depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is used by:  pm5.32ri  459  biadan2  460  anbi2i  461  abai  566  anabs5  579  pm5.33  617  annotanannot  680  eq2tri  2298  rexbiia  2565  reubiia  2738  rmobiia  2743  rabbiia  2807  ceqsrexbv  2957  euxfrdc  3012  eldifpr  3736  eldiftp  3755  eldifsn  3841  elrint  4010  elriin  4083  opeqsn  4395  rabxp  4814  eliunxp  4921  restidsing  5122  ressn  5331  fncnv  5450  dff1o5  5651  respreima  5839  dff4im  5857  dffo3  5858  f1ompt  5862  fsn  5883  fconst3m  5937  fconst4m  5938  eufnfv  5952  dff13  5977  f1mpt  5980  isores2  6022  isoini  6027  eloprabga  6178  mpomptx  6182  resoprab  6187  ov6g  6230  dfopab2  6427  dfoprab3s  6428  dfoprab3  6429  f1od2  6475  brtpos2  6527  dftpos3  6538  tpostpos  6540  dfsmo2  6563  elixp2  6990  mapsnen  7106  xpcomco  7130  eqinfti  7367  dfplpq2  7728  dfmpq2  7729  enq0enq  7805  nqnq0a  7828  nqnq0m  7829  genpassl  7898  genpassu  7899  axsuploc  8405  recexre  8915  recexgt0  8917  reapmul1  8932  apsqgt0  8938  apreim  8940  recexaplem2  8989  rerecclap  9069  elznn0  9669  elznn  9670  msqznn  9757  eluz2b1  10017  eluz2b3  10020  qreccl  10058  rpnegap  10104  elfz2nn0  10536  elfzo3  10588  frecuzrdgtcl  10870  frecuzrdgfunlem  10877  qexpclz  11018  shftidt2  11619  clim0  12076  iser3shft  12137  summodclem3  12172  fprod2dlemstep  12414  eftlub  12482  ndvdsadd  12723  algfx  12855  isprm3  12921  isprm5  12946  ballotfilemodife  13298  xpsfrnel  13724  isabl2  14187  dvdsrcl2  14515  unitinvcl  14539  unitinvinv  14540  unitlinv  14542  unitrinv  14543  isrim  14585  isnzr2  14600  drngprop  14726  islmod  14736  isridl  14950  cnfldui  15033  isassa  15111  mvrclfi  15238  ssntr  15381  tx1cn  15528  tx2cn  15529  pilem1  16039  lgsdir2lem4  16388  alsralrex  17393  dfalseu2  17417