Theorem pm5.32i 454

Description: Distribution of implication over biconditional (inference form). (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
pm5.32i.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
pm5.32i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem pm5.32i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.32i.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2		pm5.32 453	. 2 ⊢ ((𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒)))
3	1, 2	mpbi 145	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  pm5.32ri  455  biadan2  456  anbi2i  457  abai  562  anabs5  575  pm5.33  613  annotanannot  676  eq2tri  2294  rexbiia  2559  reubiia  2732  rmobiia  2737  rabbiia  2801  ceqsrexbv  2951  euxfrdc  3006  eldifpr  3721  eldiftp  3740  eldifsn  3825  elrint  3994  elriin  4067  opeqsn  4374  rabxp  4792  eliunxp  4899  restidsing  5099  ressn  5308  fncnv  5427  dff1o5  5628  respreima  5810  dff4im  5828  dffo3  5829  f1ompt  5833  fsn  5854  fconst3m  5908  fconst4m  5909  eufnfv  5922  dff13  5947  f1mpt  5950  isores2  5992  isoini  5997  eloprabga  6148  mpomptx  6152  resoprab  6157  ov6g  6200  dfopab2  6396  dfoprab3s  6397  dfoprab3  6398  f1od2  6444  brtpos2  6495  dftpos3  6506  tpostpos  6508  dfsmo2  6531  elixp2  6950  mapsnen  7066  xpcomco  7090  eqinfti  7324  dfplpq2  7685  dfmpq2  7686  enq0enq  7762  nqnq0a  7785  nqnq0m  7786  genpassl  7855  genpassu  7856  axsuploc  8362  recexre  8869  recexgt0  8871  reapmul1  8886  apsqgt0  8892  apreim  8894  recexaplem2  8943  rerecclap  9021  elznn0  9609  elznn  9610  msqznn  9696  eluz2b1  9951  eluz2b3  9954  qreccl  9992  rpnegap  10037  elfz2nn0  10468  elfzo3  10520  frecuzrdgtcl  10798  frecuzrdgfunlem  10805  qexpclz  10946  shftidt2  11542  clim0  11995  iser3shft  12056  summodclem3  12091  fprod2dlemstep  12333  eftlub  12401  ndvdsadd  12642  algfx  12774  isprm3  12840  isprm5  12864  ballotfilemodife  13184  xpsfrnel  13641  isabl2  14095  dvdsrcl2  14329  unitinvcl  14353  unitinvinv  14354  unitlinv  14356  unitrinv  14357  isrim  14399  isnzr2  14414  drngprop  14540  islmod  14551  isridl  14764  cnfldui  14849  ssntr  15099  tx1cn  15246  tx2cn  15247  pilem1  15756  lgsdir2lem4  16016