Theorem elec 6468

Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
elec.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elec.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elec	⊢ (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐵𝑅𝐴)

Proof of Theorem elec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elec.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elec.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		elecg 6467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐵𝑅𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 422	1 ⊢ (𝐴 ∈ [𝐵]𝑅 ↔ 𝐵𝑅𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  [cec 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-ec 6431

This theorem is referenced by:  ecid  6492