Theorem elpwi 3698

Description: Subset relation implied by membership in a power class. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elpwi	⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem elpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwg 3696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  elpwid  3700  elelpwi  3701  elpw2g  4294  eldifpw  4625  iunpw  4628  f1opw2  6299  pw1dc1  7225  fi0  7314  2omap  7324  2omapfi  7326  pw1m  7589  pw1on  7591  indval0  9306  hashfibclem  11304  lspf  14835  cnntr  15451  edgssv2en  16645  pw1map  17230