ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpw2g GIF version

Theorem elpw2g 4156
Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)
Assertion
Ref Expression
elpw2g (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem elpw2g
StepHypRef Expression
1 elpwi 3584 . 2 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵)
2 ssexg 4142 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3 elpwg 3583 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
43biimparc 299 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
52, 4syldan 282 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
65expcom 116 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
71, 6impbid2 143 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129  𝒫 cpw 3575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577
This theorem is referenced by:  elpw2  4157  pwnss  4159  ifelpwung  4481  elfir  6971  issubm  12857  issubg  13026  issubrg  13342  istopg  13430  uniopn  13432  iscld  13534  ntrval  13541  clsval  13542  discld  13567  neival  13574  isnei  13575  restdis  13615  cnpfval  13626  cndis  13672  blfvalps  13816  blfps  13840  blf  13841  reldvg  14079
  Copyright terms: Public domain W3C validator