Theorem elpw2g 4157

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 3584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	biimparc 299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5	2, 4	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
6	5	expcom 116	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
7	1, 6	impbid2 143	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ⊆ wss 3130  𝒫 cpw 3576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578

This theorem is referenced by:  elpw2  4158  pwnss  4160  ifelpwung  4482  elfir  6972  issubm  12863  issubg  13033  issubrg  13342  istopg  13502  uniopn  13504  iscld  13606  ntrval  13613  clsval  13614  discld  13639  neival  13646  isnei  13647  restdis  13687  cnpfval  13698  cndis  13744  blfvalps  13888  blfps  13912  blf  13913  reldvg  14151