ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elpw2g GIF version

Theorem elpw2g 4171
Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)
Assertion
Ref Expression
elpw2g (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem elpw2g
StepHypRef Expression
1 elpwi 3599 . 2 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵)
2 ssexg 4157 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3 elpwg 3598 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
43biimparc 299 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
52, 4syldan 282 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
65expcom 116 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴𝐵𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
71, 6impbid2 143 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2160  Vcvv 2752  wss 3144  𝒫 cpw 3590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592
This theorem is referenced by:  elpw2  4172  pwnss  4174  ifelpwung  4496  elfir  6992  issubm  12897  issubg  13085  issubrng  13514  issubrg  13536  islssm  13641  islssmg  13642  lspval  13674  lspcl  13675  sraval  13721  istopg  13903  uniopn  13905  iscld  14007  ntrval  14014  clsval  14015  discld  14040  neival  14047  isnei  14048  restdis  14088  cnpfval  14099  cndis  14145  blfvalps  14289  blfps  14313  blf  14314  reldvg  14552
  Copyright terms: Public domain W3C validator