Theorem elpw2g 4156

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		ssexg 4142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3		elpwg 3583	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
4	3	biimparc 299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5	2, 4	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
6	5	expcom 116	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
7	1, 6	impbid2 143	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129  𝒫 cpw 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577

This theorem is referenced by:  elpw2  4157  pwnss  4159  ifelpwung  4481  elfir  6971  issubm  12862  issubg  13031  issubrg  13340  istopg  13469  uniopn  13471  iscld  13573  ntrval  13580  clsval  13581  discld  13606  neival  13613  isnei  13614  restdis  13654  cnpfval  13665  cndis  13711  blfvalps  13855  blfps  13879  blf  13880  reldvg  14118